1/10專題03空間向量中的探索性及最值（范圍）問題目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 2類型一、平行中的探索性問題 2類型二、垂直中的探索性問題 3類型三、距離中的探索性問題 6類型四、線面角的最值（范圍）問題 7類型五、線面角中的探索性問題 9類型六、二面角、平面與平面所成角中的最值（范圍）問題 10類型七、二面角、平面與平面所成角中的探索性問題 13壓軸專練 151、用向量法處理立體幾何中的探索性、存在性問題探索性、存在性問題是條件不完備、結論不確定的問題,利用向量的方法將這類問題由立體幾何問題轉化為代數(shù)的方程(不等式)的解的問題,考查了化歸、轉化的數(shù)學思想,培養(yǎng)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).2、用向量的坐標運算解決幾何問題用向量的坐標運算解決幾何問題,使幾何問題代數(shù)化,以數(shù)助形,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.同時本題還運用了方程的思想,通過列方程、解方程使問題得以解決.這足以說明“向量的坐標運算”是“幾何”與“代數(shù)”間的一座新的橋梁.這類問題的基本形式是判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結論是否成立,解決這類問題的基本策略是假設題中的數(shù)學結論成立,在這個前提下進行邏輯推理,若由此導出矛盾,則否定假設,否則,給出肯定證明.3、對于存在判斷型問題：通常應先假設存在，把要成立的結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.4、對于位置探究型問題：通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結論列出等式，解出參數(shù).類型一、平行中的探索性問題利用空間向量證明平行關系的方法和步驟1、要證明線線平行，首先需要證明兩直線的方向向量共線，再說明其中一條直線上存在某個點不在另一條直線上.2、要證明線面平行，首先需要證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直，或直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，再說明該直線上存在某個點不在平面內(nèi).3、要證明面面平行，首先需要證明兩平面的法向量為共線向量，再說明其中一個平面內(nèi)存在某個點不在另一個平面內(nèi)(也可轉化為證明線面平行、線線平行).一、解答題1．（24-25高二上·廣東佛山·月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱上一點．請用向量方法解決以下問題：(1)證明：直線平面；(2)是否存在點，使直線平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．2．（23-24高二上·湖北孝感·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，為中點，點在上，且.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)線段上是否存在點，使得平面？說明理由.3．（23-24高二下·江蘇南京·月考）如圖，在正四棱錐中，各棱長均為，為側棱上的點，是中點.(1)若是中點，求直線與平面所成角的正弦值；(2)是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.類型二、垂直中的探索性問題利用空間向量證明垂直關系的方法和步驟1、要證明線線垂直，需證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.2、要證明線面垂直，需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或先通過向量證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明.3、要證明面面垂直，需證明兩個平面的法向量垂直.一、解答題1．（23-24高二上·四川成都·月考）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點，為棱上的動點.(1)證明：當為棱的中點時，平面；(2)是否存在點，使得；若存在，求的值；若不存在，請說明理由.2．（24-25高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．(1)設平面平面，若P為的中點，求證：；(2)設，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．3．（24-25高二上·浙江嘉興·月考）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點T是的中點，點M是的中點，求點P到平面的距離．(3)點是線段上的動點，上是否存在一點M，使平面，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．4．（24-25高二上·吉林·期中）如圖，在三棱臺中，平面，，，，是棱的中點，為棱上一動點.(1)若，證明：平面；(2)是否存在，使平面平面？若存在，求此時與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.5．（24-25高二上·浙江臺州·期中）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且，點在棱上（不與點，重合）.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.類型三、距離中的探索性問題一、解答題1．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長方體中，，，分別是棱，，的中點.(1)判斷直線與平面的位置關系，并證明你的結論；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得點到平面的距離是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.2．（24-25高二上·廣東梅州·月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點．

(1)求平面與平面的夾角余弦值；(2)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．3．（23-24高二上·福建廈門·期中）如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線段上一點.(1)若，求證：平面；(2)若，，異面直線與成角，二面角的余弦值為，在線段上是否存在點，使得點到直線的距離為，若存在請指出點的位置，若不存在請說明理由.類型四、線面角的最值（范圍）問題一、解答題1．（2025·湖南·三模）如圖，在長方體中，，，，點是棱的中點，點，分別是線段，的中點.(1)求證：平面平面；(2)平面與平面的交線記為直線，點為直線上一動點，求直線與平面所成角的范圍.2．（24-25高二上·福建泉州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)求證：平面；(2)過直線與線段的中點E的平面與線段交于點F.（i）試確定F點位置；（ii）若H點為線段上一動點，求直線與平面所成角正弦值的最小值.3．（24-25高二下·江蘇南通·期末）如圖，已知圓臺的上、下底面半徑分別為3和6，母線與下底面所成的角為．(1)求圓臺的體積；(2)設，分別是圓臺的兩條母線．（ⅰ）求證：；（ⅱ）若，P是圓上的動點，求直線與平面所成角正弦值的最大值．4．（24-25高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·月考）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點，點F在PC上，且，設點G是線段PB上的一點．(1)求證：CD⊥平面PAD；(2)若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．(3)設CG與平面AEF所成角為，求的范圍.類型五、線面角中的探索性問題一、解答題1．（23-24高二上·北京順義·期中）在梯形中，為的中點，線段與交于點，將沿折起到的位置，使得平面平面.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.2．（2025·天津·二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，為邊CD的中點，且.(1)求線段的長；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上（不含端點）是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.3．（23-24高二下·浙江寧波·期中）如圖，多面體中，直角梯形所在平面與正三角形所在平面垂直，，．(1)求該多面體的體積V；(2)在棱上是否存在點P，使得直線和平面所成的角大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．4．（23-24高二下·廣東廣州·期末）如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點．將沿折起，連接與，如圖2．

(1)當為何值時，平面平面?(2)設，當時，是否存在實數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)當三棱錐的體積最大時，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．類型六、二面角、平面與平面所成角中的最值（范圍）問題一、解答題1．（24-25高二上·山東棗莊·月考）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面，.

(1)若點為EF的中點，求平面APB與BFC的交線與平面ABCD所成的角正弦值(2)點在線段上運動，設平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.2．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．．(1)證明：平面(2)證明：(3)當為何值時，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．3．（23-24高二上·北京海淀·期末）如圖，四棱錐中，平面，過的平面分別與棱交于點M，N．(1)求證：;(2)記二面角的大小為，求的最大值．4．（24-25高二下·河南商丘·月考）如圖，在四棱臺中，底面，底面是邊長為2的正方形，，點為線段上的動點，棱臺的體積為.(1)求的長；(2)若平面，請確定點的位置；(3)求平面與平面的夾角的余弦值的最大值.5．（23-24高二上·上海奉賢·月考）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的大??；(3)若點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.6．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，為銳角，，，分別是，，的中點．(1)證明：∥平面．(2)求二面角的余弦值的最大值．類型七、二面角、平面與平面所成角中的探索性問題一、解答題1．（23-24高二下·湖南·期中）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，且直線與平面所成角為．(1)求直四棱柱的高；(2)在棱上是否能找到一點，使得平面與平面的夾角為？若能，求出的值；若不能，說明理由．2．（23-24高二上·河北邯鄲·月考）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上的一點．(1)求證：；(2)線段上是否存在點使得平面與平面所成面面夾角為．若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.3．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．4．（23-24高二上·湖南婁底·月考）如圖，在三棱柱中，平面，．(1)求證：；(2)若，在棱上確定一點P，使二面角的平面角的余弦值為．5．（24-25高二上·廣東深圳·月考）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，點在母線上，且，.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由一、解答題1．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）如圖，在正方體中，是的中點，是的中點.(1)在平面內(nèi)確定一點，使平面；(2)證明：棱上不存在點，使平面平面.2．（2024·貴州黔西·一模）如圖所示為直四棱柱，，分別是線段的中點.(1)證明:平面；(2)求直線BC與平面所成角的正弦值，并判斷線段BC上是否存在點，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，請說明理由.3．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)在截面內(nèi)是否存在點，使平面，并說明理由．4．（24-25高二上·山東臨沂·月考）如圖1，在邊長為2的菱形中，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2．(1)求證：平面；(2)求點B到平面的距離；(3)在線段上是否存在點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．5．（20-21高二上·北京朝陽·期末）在如圖所示的多面體中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分別為棱的中點.（I）求點F到直線EC的距離；（II）求平面BED與平面EDC夾角的余弦值；（III）在棱GF上是否存在一點Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出點Q的位置，若不存在，說明理由.6．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點，為線段的中點，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．(1)求線段的長度；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在異于端點的點，使得點到平面的距離為．若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由．7．（2025·山東青島·三模）如圖，已知底面是正三角形，平面，平面，．(1)若，是中點，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值．8．（2024·四川南充·二模）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，．(1)證明：平面PAC；(2)，是否存在常數(shù)，滿足，且直線AM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由．9．（24-25高二上·四川德陽·月考）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動點.(1)若為中點，證明：平面；(2)若，在線段上是否存在點使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點位置，若不存在，說明理由.10．（23-24高二上·湖北黃岡·期中）如圖①，在直角梯形中，，，.將沿折起，使平面平面，連，得如圖②的幾何體.(1)求證：平面平面；(2)若，二面角的平面角的正切值為，在棱上是否存在點使二面角的平面角的余弦值為，若存在，請求出的值，若不存在，說明理由.11．（24-25高二上·遼寧大連·月考）如圖，在三棱柱，平面平面，四邊形為矩形，，且.(1)求二面角的正弦值(2)設為棱上的