1/10專題11直線和圓的方程中的最值（范圍）及新定義問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、點(diǎn)到直線的距離最值（范圍）問題 1類型二、兩點(diǎn)間的距離最值（范圍）問題 4類型三、兩平行線間的距離最值（范圍）問題 8類型四、三點(diǎn)共線類的最值（范圍）問題（含將軍飲馬） 10類型五、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問題 16類型六、直線與圓中的位置關(guān)系中的最值（范圍）問題 19類型七、圓與圓中的位置關(guān)系中的最值（范圍）問題 24類型八、代數(shù)式的幾何意義類最值（范圍）問題 28類型九、直線與圓中的新定義問題 34壓軸專練 39類型一、點(diǎn)到直線的距離最值（范圍）問題點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離．1．（24-25高二上·四川達(dá)州·期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上動(dòng)點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，、兩點(diǎn)間距離最小，點(diǎn)到直線的距離，故、兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：B.2．（24-25高二上·四川綿陽·月考）若點(diǎn)在直線：上，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】根據(jù)表達(dá)式特征求出點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】易知代表點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，因此當(dāng)兩點(diǎn)連線與直線垂直時(shí)，取得最小值，其最小值為點(diǎn)到直線的距離.故選：A3．（24-25高二上·海南省直轄縣級單位·期中）已知直線不過第二象限，則原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線不過第二象限，可得到的范圍，再由點(diǎn)到直線的距離可求出其范圍.【詳解】，即令，解得，∴直線過定點(diǎn)∵直線不過第二象限，∴或，解得則原點(diǎn)到直線的距離故選：B4．已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】由交點(diǎn)在兩條直線，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得的關(guān)系，再將關(guān)系變形代入點(diǎn)到直線的距離公式消元求最值可得.【詳解】因?yàn)閮芍本€交于，則，即，且，則；由原點(diǎn)到直線的距離由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.故選：B.5．（24-25高二下·上海松江·月考）已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)P到直線l的距離最大值為．【答案】【分析】先求得直線的定點(diǎn)，分析可得時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，進(jìn)而求解即可.【詳解】由，即，令，解得，則直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)最大距離為.故答案為：.6．（24-25高二上·福建廈門·月考）已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)直線，則的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離，求解即可.【詳解】設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以，則直線的斜率為，若直線的斜率不存在，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.類型二、兩點(diǎn)間的距離最值（范圍）問題點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式：平面內(nèi)兩點(diǎn)，間的距離公式為：．1．（25-26高二上·全國·單元測試）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】將轉(zhuǎn)化成到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差，再結(jié)合和兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解．【詳解】由所求的式子的形式想到距離之差，，可轉(zhuǎn)化成軸上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），所以的最大值為．故選：B.2．（24-25高二上·北京·月考）若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C．13 D．【答案】C【分析】通過消元，將所求轉(zhuǎn)化為，分析該式子的幾何意義為軸上某動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，利用的性質(zhì)，即可得出所求最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，所以，表示軸上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和.在軸兩側(cè)，因?yàn)橹?，兩邊之和大于第三邊，所以，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最小值為，即的最小值為.故選：C.3．（23-24高二上·山東棗莊·月考）已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出點(diǎn)(或點(diǎn))關(guān)于直線的對稱點(diǎn)（），作直線（）與直線相交，則交點(diǎn)則就是使取最大值的點(diǎn),求出點(diǎn)（點(diǎn)）坐標(biāo)，即得最大距離即（）.【詳解】如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接延長交直線于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)使取得最大值.(原因如下：根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱圖形特征，知,此時(shí),在直線上另取點(diǎn),連接,則,)不妨設(shè)點(diǎn)，則有：解得：即,故故選：C.4．（23-24高二上·河南·月考）函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】分析可知，函數(shù)的幾何意義為軸上的點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，函?shù)的幾何意義為軸上的點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和，即，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，且.故答案為：.5．（23-24高二上·江蘇無錫·月考）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．已知，則的最小值為．【答案】【分析】依題意轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到的距離之和，結(jié)合圖象得到為矩形對角線交點(diǎn)時(shí)距離最小，進(jìn)而得到答案.【詳解】相當(dāng)于動(dòng)點(diǎn)到的距離之和，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，所以?dāng)為矩形對角線交點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最小，最小為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)幾何意義，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到的距離之和問題，畫出圖象，，當(dāng)為矩形對角線交點(diǎn)時(shí)，距離最小.類型三、兩平行線間的距離最值（范圍）問題直線到直線的距離公式：兩條平行直線，，它們之間的距離為：．1．（24-25高二上·江蘇徐州·月考）已知分別是直線與上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得的最小值即為兩平行直線與的距離，代公式計(jì)算可得．【詳解】，直線與平行，的最小值，即為兩平行直線與的距離，化直線方程為，由平行線間的距離公式可得故選：B．2．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知，，，均為實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】表示兩點(diǎn)與之間的距離，表示兩點(diǎn)與之間的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡方程為兩平行直線，可求最小值.【詳解】表示兩點(diǎn)與之間的距離，表示兩點(diǎn)與之間的距離，又點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線平行，所以的最小值即為直線與直線之間的距離，所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于把兩根式轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)間的距離問題，進(jìn)而可得的最小值即為直線與直線之間的距離，從而求解.3．（25-26高二上·江蘇宿遷·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意確定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，將的最小值轉(zhuǎn)化為兩平行線間距離的平方，即可求得答案.【詳解】由題意知實(shí)數(shù)滿足，則，故點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，而表示點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離的平方，故的最小值為兩平行線和間距離的平方，最小值為，故選：B4．設(shè)，已知直線，過點(diǎn)作直線，且，則直線與之間距離的最大值是.【答案】5【分析】求出直線恒過點(diǎn)，從而得到兩平行線的最大距離為點(diǎn)與點(diǎn)的距離，得到答案.【詳解】由于直線，整理得：，故，解得，即直線恒過點(diǎn)，則過點(diǎn)作直線，且，則最大距離為點(diǎn)與點(diǎn)的距離，即.故答案為：55．兩平行線，分別過點(diǎn)與．設(shè)與之間距離是，求的取值范圍為．【答案】【分析】由過定點(diǎn)的兩條平行直線可得，極限思想可得出其最小要大于重合時(shí)的距離，最大時(shí)為與直線垂直時(shí).【詳解】由極限思想可得，兩直線的距離，而當(dāng)平行線，與直線垂直時(shí)，兩平行線的距離最大，即，所以，．故答案為：類型四、三點(diǎn)共線類的最值（范圍）問題（含將軍飲馬）1、點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則AP+BPmin=AB'(當(dāng)點(diǎn)2、點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP3、點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB 1．（24-25高二上·安徽六安·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關(guān)兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，如圖所示，則且，解得，即，則，在直線上取點(diǎn)P，由對稱性可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，所以，“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．2．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圓，直線，M為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓的性質(zhì)可知，求點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，根據(jù)對稱性轉(zhuǎn)化，并結(jié)合幾何性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號成立，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，則，所以的最小值為．故選：C.3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圓，圓，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在軸上，則的最大值為（

）A． B． C． D．9【答案】D【分析】結(jié)合圖形，先得到，作圓關(guān)于軸的對稱圓，則得，則，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值.【詳解】如圖，由圓，圓可得，兩圓半徑依次為，因點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是圓和圓上一點(diǎn)，則，如圖作圓關(guān)于軸的對稱圓，其圓心為，半徑為，由圖知，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，即的最大值為9.故選：D.4．（24-25高二下·浙江·期中）已知圓，點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作出點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，由圓的幾何性質(zhì)可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，由于為軸上的動(dòng)點(diǎn)，由對稱性知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、分別為線段與圓、軸的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.5．（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)，則的最小值為【答案】【知識點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)后可求線段差的最小值.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，于是，結(jié)合圖形知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取得最小值，即取得最小值為故答案為：6．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，且有．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)，和列方程化簡可得；（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，結(jié)合圖形分析即可得解.【詳解】（1）設(shè)，如圖，連接，為切點(diǎn)，，由勾股定理得，又，，，整理得．點(diǎn)的軌跡方程為．（2）如圖，作出直線，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接，則，解得，．連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號．則的最大值為．類型五、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問題1、若點(diǎn)M在圓內(nèi)，則MNmin=2、若點(diǎn)M在圓外，則MNmin=3、圓上一點(diǎn)到圓外一定直線的距離最值若直線l與圓⊙O相離，圓上一點(diǎn)P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，為圓半徑，則PEmin=P1．（23-24高二上·四川廣安·月考）已知點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先確定點(diǎn)在定直線上，根據(jù)的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑求解.【詳解】因?yàn)椋栽谥本€即上.又圓心到直線的距離為：，所以的最小值為：.故選：C2．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)椋影毒€所在直線方程為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短路程為（

）A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】利用對稱性以及兩點(diǎn)間的距離公式來求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，，所以“將軍飲馬”的最短路程為.故選：B

3．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）（多選題）若P為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值可以為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】ABC【分析】根據(jù)的取值，計(jì)算的取值范圍，即可判斷選項(xiàng).【詳解】圓，代入點(diǎn)，則，則點(diǎn)在圓外，所以的最大值為，最小值為，，所以的取值范圍是，所以的取值是3,5,7.故選：ABC4．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】求出的值，即可得出的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以的最大值為．故答案為?5．（24-25高二下·上海·月考）已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系：，則的最小值.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最值，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，進(jìn)而求解即可.【詳解】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，則圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為.故答案為：.類型六、直線與圓中的位置關(guān)系中的最值（范圍）問題1、圓上的點(diǎn)到直線的最大、最小距離設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為（1）當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大、最小的距離分別為和；（2）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大、最小的距離分別為和，此時(shí)；（3）當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大、最小的距離分別為和0．2、設(shè)點(diǎn)M是圓C內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點(diǎn)的直徑垂垂直的弦弦長為1．（24-25高二下·河南商丘·月考）直線被圓截得的最短的弦長為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】求出圓心和半徑，求出直線過的定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)，根據(jù)當(dāng)直線垂直于圓心到定點(diǎn)的連線時(shí)圓心到直線的距離最大即可求解.【詳解】原圓方程配方得，所以圓心為，半徑，因?yàn)橹本€，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)和圓心的距離，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線垂直于圓心到定點(diǎn)的連線時(shí)圓心到直線的距離最大為，所以弦長最短為.故選：C.2．（24-25高二上·山東臨沂·期中）若圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理，切線長、圓的半徑和圓心到點(diǎn)的距離構(gòu)成直角三角形，圓的半徑固定，當(dāng)圓心到點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長最小，而圓心到直線上點(diǎn)的最小距離就是圓心到直線的距離.【詳解】對于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，則.根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點(diǎn)距離構(gòu)成直角三角形，設(shè)切線長為，圓心到點(diǎn)的距離為，圓半徑.由勾股定理，當(dāng)取最小值時(shí)，最小，此時(shí).故選：B.3．已知直線：，是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將直線方程變形求出直線所過的定點(diǎn)，再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分析點(diǎn)到直線距離的最值情況，進(jìn)而確定距離的取值范圍.【詳解】直線：，可化為，由，解得，，所以過定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，圓的圓心為，半徑，所以當(dāng)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大為，此時(shí)，所以直線的斜率為1，即，無解，故直線不存在，所以；當(dāng)直線與圓相交或相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，最小為0，故點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為．故選：B．4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，直線與圓交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓心到直線的距離，可求出點(diǎn)到直線距離的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則，點(diǎn)到直線距離的最大值為，所以，面積的最大值為.故選：A.5．（24-25高二上·海南·月考）曲線與直線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是.【答案】【分析】通過化簡知曲線是圓心為，半徑為的上半圓，再借助數(shù)形結(jié)合的方法，利用直線與半圓相切時(shí)直線的斜率可得結(jié)果.【詳解】直線過定點(diǎn)，由得，故曲線是圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示：當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，設(shè)切線傾斜角為，，則，∴切線的斜率，所以曲線與直線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是.故答案為：.6．直線與圓交于兩點(diǎn)，若的最大值為4，則的最小值為．【答案】【分析】先結(jié)合題意并利用圓的性質(zhì)得到，進(jìn)而分析出當(dāng)最大時(shí)，的值最小，再利用圓的性質(zhì)得到此時(shí)，進(jìn)而結(jié)合斜率公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，最后利用勾股定理求出的最小值即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，所以當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，其為圓的直徑，而的最大值為4，得到，則圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，如圖，記圓心，直線必過定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的值最小，由斜率公式得，此時(shí)，由題意得，則，由點(diǎn)到直線的距離公式得，由勾股定理得，解得，綜上可得的最小值為.故答案為：7．（24-25高二下·上海·期中）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】8【分析】設(shè)，由題意直線與圓有公共點(diǎn)，通過圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可以求解.【詳解】設(shè)，則在直線上，又因?yàn)樵趫A上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，解得.所以的最大值為.故答案為：.類型七、圓與圓中的位置關(guān)系中的最值（范圍）問題1．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】12【分析】用數(shù)形結(jié)合可知的最大值為兩圓圓心距加兩個(gè)圓的半徑求解即可.【詳解】設(shè)圓的圓心為，圓的圓心為，所以，

如圖，可知，的最大值是圓心距加兩個(gè)圓的半徑，即.故答案為：122．（24-25高二上·江蘇常州·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則線段長度的最大值為.【答案】7【分析】相關(guān)點(diǎn)法求出點(diǎn)的軌跡方程，得到點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，直接法得到點(diǎn)在圓上，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為7.【詳解】設(shè)，由于，點(diǎn)為的中點(diǎn)，故的坐標(biāo)為，將其代入中得，，化簡得，即點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，則，整理得，故點(diǎn)在圓上，畫出兩圓，可以看出當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，為7.故答案為：73．（25-26高二上·全國·單元測試）已知圓和圓，M，N分別是圓C，D上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】先得到，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求出的最小值，進(jìn)而得到的最小值．【詳解】的圓心為，半徑為1.，圓心為，半徑為2．因?yàn)?，所以兩圓相離，如圖所示．則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線且在之間，在之間時(shí)，等號成立．設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接，與直線交于點(diǎn)，此時(shí)，故即為的最小值，故的最小值為．故答案為：.4．（24-25高二上·山東煙臺·期中）已知點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為；若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為【答案】/【分析】根據(jù)直線經(jīng)過定點(diǎn)以及兩直線垂直可判斷的軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，即可根據(jù)圓心和半徑求解軌跡，利用圓心距與半徑的求解最值.【詳解】因?yàn)橹本€，即，令，解得，可知直線過定點(diǎn)，同理可知：直線：過定點(diǎn)，又因?yàn)?，可知，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故點(diǎn)的軌跡為圓；的圓心，半徑，所以的最大值是．故答案為：，5．已知A為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓E：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【分析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求出，要使的值最大，轉(zhuǎn)化為（其中為關(guān)于直線的對稱圓上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線，利用該直線過兩點(diǎn)可得答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，故，則圓關(guān)于對稱的圓的方程為，要使的值最大，則（其中為關(guān)于直線的對稱圓上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線，且該直線過兩點(diǎn)，如圖，其最大值為.

故答案為：.類型八、代數(shù)式的幾何意義類最值（范圍）問題1、形如，可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線斜率；2、形如，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)的距離的平方；3、形如，可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線縱截距1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，將其看作直線，由題知直線和圓有公共點(diǎn)，則利用圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，將其看作直線，由直線與圓有公共點(diǎn)，得圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑，即，解得，所以的最大值為，即的最大值為故選：D2．（24-25高二上·山東臨沂·期中）已知為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)及斜率坐標(biāo)公式求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，依題意，，可看作圓上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)確定直線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最大值或最小值，如圖，當(dāng)直線切圓于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，切圓于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，直線，，直線的斜率，所以的最小值為.故選：D

3．（24-25高二上·安徽·月考）已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍的求解，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得切線斜率，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，，的幾何意義是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為：，即，圓心到切線的距離，解得：，，.故選：C.4．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知，，，均為實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】表示兩點(diǎn)與之間的距離，表示兩點(diǎn)與之間的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡方程為兩平行直線，可求最小值.【詳解】表示兩點(diǎn)與之間的距離，表示兩點(diǎn)與之間的距離，又點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線平行，所以的最小值即為直線與直線之間的距離，所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于把兩根式轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)間的距離問題，進(jìn)而可得的最小值即為直線與直線之間的距離，從而求解.5．（25-26高二上·寧夏銀川·月考）若對圓上任意一點(diǎn)的取值與x，y無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】利用幾何意義得到的取值要想與x，y無關(guān)，只需圓位于直線與之間，利用點(diǎn)到直線距離公式列出不等式，求出a的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】設(shè)，設(shè)表示點(diǎn)到直線的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，即，顯然與平行，要使z為定值，則只需與分別在圓的兩側(cè)且與圓相離或相切，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，與位于圓心的同一側(cè)，不合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，與位于圓心的兩側(cè)，滿足題意.故，結(jié)合選項(xiàng)知選項(xiàng)D符合題意．故選：D6．（多選題）已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則下列說法不正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】CD【分析】設(shè)，則只需直線與圓有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得不等式求得z的范圍，可判斷A；同理可判斷D；設(shè)，利用幾何意義求得t的范圍判斷B；設(shè)，則直線和圓有公共點(diǎn)，進(jìn)而可得不等式求得k的范圍判斷C.【詳解】由題意知方程即表示圓，圓心為，半徑為，對于A，設(shè)，則只需直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，

即的最大值為，A正確；對于B，設(shè)，其幾何意義為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，即t的最大值為，故的最大值為，B正確；對于C，設(shè)，則，則直線和圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，D錯(cuò)誤；故選：CD7．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知x和y滿足，則的最大值為，最小值為.【答案】【分析】由題意知表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，先求出原點(diǎn)到圓心的距離為，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大、小距離為，求解即可.【詳解】的圓心為，，由題意知表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值.原點(diǎn)到圓心的距離為，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，因此的最大值和最小值分別為和.故答案為：；.8．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎獙?shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)在以為圓心，為半徑的半圓上，而表示半圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，根據(jù)圖形，利用幾何關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】由得到，所以是以為圓心，為半徑的半圓，如圖所示，令，即，由圖知，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，最小，將代入，得到，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，由，得到，解得或（舍），所以的取值范圍是，故答案為：.類型九、直線與圓中的新定義問題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）對于平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)，，我們將定義為PQ兩點(diǎn)的“耿直距離”.已知，，，，設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使得點(diǎn)M到A，B，C，D的“耿直距離”之和取得最小值，則點(diǎn)M應(yīng)位于下列哪個(gè)圖中的陰影區(qū)域之內(nèi)（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過所求圖形，求出最小值，利用特殊點(diǎn)求解點(diǎn)到A、B、C、D的“耿直距離”之和，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】由題意可知滿足所有陰影，點(diǎn)到A，B，C，D的“耿直距離”之和為12.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到A，B，C，D的“耿直距離”之和為12，排除C；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到A，B，C，D的“耿直距離”之和為14，排除A；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到A，B，C，D的“耿直距離”之和為12，排除D.故選：B2．（24-25高二上·山西晉城·期中）已知點(diǎn)，，定義為，的“對稱距離”．若點(diǎn)，在圓：上，則，的“對稱距離”的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】分析得到點(diǎn)，的“對稱距離”，相當(dāng)于點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)與點(diǎn)的距離，設(shè)圓關(guān)于的對稱圓為圓，轉(zhuǎn)化為兩圓上的點(diǎn)，的距離的最小值，由于兩圓外離，點(diǎn)到的距離的最小值的兩倍即為所求，得到答案.【詳解】點(diǎn)，的“對稱距離”，相當(dāng)于點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以當(dāng)點(diǎn)，在圓上時(shí)，點(diǎn)在圓關(guān)于的對稱圓上，又圓心到直的距離，所以圓與相離，從而圓與圓外離．所以，的“對稱距離”的最小值，即為兩圓上的點(diǎn)，的距離的最小值，也即點(diǎn)到的距離的最小值的兩倍，其中點(diǎn)到的距離最小值為圓心到直的距離減去半徑，即，所以所求最小值為．故選：D3．（23-24高二下·四川瀘州·期末）人臉識別在現(xiàn)今生活中應(yīng)用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”．其定義如下：設(shè)，，則A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.已知，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)N在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為【答案】【分析】根據(jù)題意，作出點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離問題，從而得解.【詳解】由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.故答案為：.4．（24-25高二上·海南·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)到直線的有向距離.(1)若直線，分別求；(2)若點(diǎn)，直線滿足，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若是圓上一動(dòng)點(diǎn)，直線，求的取值范圍.【答案】(1)，.(2)10(3)【分析】（1）根據(jù)有向距離的定義直接代入計(jì)算可得結(jié)果；（2）分情況討論直線斜率是否存在，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題求得兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得結(jié)果；（3）利用參數(shù)方程思想設(shè)點(diǎn)，求出關(guān)于的表達(dá)式，再由三角函數(shù)值域即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由有向距離的定義可知，.（2）若的斜率不存在，設(shè)其方程為，則，所以，不符合題意，故的斜率存在，設(shè)其方程為，即，則，解得，所以的方程為.易知點(diǎn)位于直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則解得，即.，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以的最小值為10.（3）設(shè).由題可得，所以.因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?5．（24-25高二上·江西·月考）定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”(1)求點(diǎn)P所在曲線的方程.(2)已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.（?。┣笾本€的方程.（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)（?。áⅲ┐嬖?，【分析】（1）根據(jù)新定義建立方程，化簡即可判斷軌跡為圓，得出軌跡方程；（2）（?。└鶕?jù)P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，可知為兩圓的公共弦，作差即可得解；（ⅱ）由題意求出圓H的方程為，假設(shè)存在，根據(jù)及根與系數(shù)的關(guān)系化簡為是否對任意成立，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，故點(diǎn)P所在曲線的方程為（2）（ⅰ）因?yàn)镻為圓B的“黃金點(diǎn)”，則所以，即點(diǎn)P在圓上，則P是圓和的交點(diǎn).因?yàn)镻，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，所以直線即為圓和的公共弦所在直線，兩圓方程相減可得，故直線的方程為.(ii)設(shè)的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為.直線的方程為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)S到直線的距離為，則，所以圓H的方程為.假設(shè)軸上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，.若軸平分，則，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以，代入①并整理得，此式對任意的都成立，所以.故軸上存在點(diǎn)，使得軸平分.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在（2）(ii)中，求出圓圓H的方程為后，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，能夠轉(zhuǎn)化為，再由斜率公式化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入后得，題目對運(yùn)算能力要求很高，屬于難題.1．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】的圓心為，半徑為，由題意得，故在圓外，所以的最大值為．故選：D2．（24-25高二上·廣東深圳·月考），分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，所以最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選：A3．已知P是：上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線l：距離的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知，點(diǎn)P到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑．【詳解】圓C的方程可化為，所以，半徑，則C到直線l：的距離為，所以所求距離的最小值為．故選：C4．（24-25高二上·江蘇·期中）已知，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】的最小值即為與的距離的平方的最小值，然后求點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】由于，所以的最小值即為與的距離的平方的最小值，則點(diǎn)到直線上的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，故，所以的最小值為.故選：C.5．（23-24高二上·北京延慶·期末）已知圓上一點(diǎn)和圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】易知圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，由圓，故其圓心為，半徑，兩圓圓心距為，所以兩圓相交，則，如圖所示.故選：A6．（24-25高二上·湖北·期中）已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】由得，所以在以為圓心，半徑為的圓上，表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過的圓的切線方程為，到直線的距離，解得或，所以的最大值為.故選：D7．（24-25高二上·山西大同·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩平行直線距離公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，是直線上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，則兩直線平行，的最小值是平行直線之間的距離的平方，可得最小值為.故選：D8．（24-25高三上·湖南衡陽·月考）已知圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．3【答案】C【分析】求出切線長，得出最小時(shí)，最小，再由點(diǎn)到直線距離公式求解可得.【詳解】連接，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，又圓的圓心為，半徑為，則，故的最小值為.故選：C.9．（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)半圓與直線的位置關(guān)系，求出切線斜率，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由得，直線經(jīng)過定點(diǎn)，如圖，，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，所以恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由圖可知，，故選：D．10．（24-25高二下·上海寶山·期中）已知圓，圓分別是圓、上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】作出圓關(guān)于軸對稱的圓，利用對稱的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及兩點(diǎn)間線段最短求出最小值.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，作圓關(guān)于軸對稱的圓，其圓心因此，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與軸的交點(diǎn)時(shí)取等號，所以的最小值為.故選：C11．（24-25高二上·陜西·期中）已知點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】可以驗(yàn)證點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，從而，結(jié)合三角不等式即可得解.【詳解】設(shè)，注意到點(diǎn)，，所以中點(diǎn)為，滿足，且，所以點(diǎn)關(guān)于直線對稱，從而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，所以的最大值為.故選：A.12．已知圓，圓，點(diǎn)M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圓關(guān)于軸的對稱圓，結(jié)合圖形分析即可得.【詳解】記圓關(guān)于軸的對稱圓為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，由題知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：B

13．（24-25高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】求出點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，把的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離加半徑，再求出到兩個(gè)定點(diǎn)距離差的最大值即可作答.【詳解】點(diǎn)在直線上，圓的圓心，半徑，而點(diǎn)在圓上，則，因此，令點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，，則有，解得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)取等號，直線方程為，由，解得，即直線與直線交于點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，.故選：C14．（24-25高二上·上?！て谥校┮阎c(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】問題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和最小，利用對稱點(diǎn)求解可得.【詳解】因?yàn)楸硎镜近c(diǎn)和的距離之和.又在直線上，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以，所求最小值為：.故選：B15．已知點(diǎn)是圓上的兩點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】題目轉(zhuǎn)化為、到直線的距離之和，變換得到，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因?yàn)?，、，在圓上，，因?yàn)?，則是等腰直角三角形，表示、到直線的距離之和的倍，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，作于，且，，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在的兩側(cè)時(shí)等號成立，又，故的最大值為的最大值為．故選：B．16．（24-25高二上·甘肅甘南·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，記動(dòng)點(diǎn)P為，若點(diǎn)P在直線上，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則的最小值即為到軸的距離，故可求得最小值.【詳解】如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，所以，而，，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.過點(diǎn)作軸，則即為的最小值，此時(shí)與重合.又，所以的最小值為.故選：B.17．設(shè)，圓M：．若動(dòng)直線：與圓M交于點(diǎn)A，C，動(dòng)直線：與圓M交于點(diǎn)B，D，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，經(jīng)過定點(diǎn)且互相垂直，再由圓的弦長公式得，再用基本不等式即可得最大值.【詳解】由題知圓M的方程為，圓心，半徑．可化為，可知經(jīng)過定點(diǎn)，同理可得也經(jīng)過定點(diǎn).又，所以，即，經(jīng)過定點(diǎn)且互相垂直，如圖，設(shè)AC和BD中點(diǎn)分別為F，G，可知四邊形EFMG為矩形．設(shè)，則，結(jié)合，，可得，所以,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故選：B.18．已知圓，設(shè)其與軸?軸正半軸分別交于，兩點(diǎn).已知另一圓的半徑為，且與圓相外切，則的最大值為（

）A．20 B． C．10 D．【答案】A【分析】分析可知，，點(diǎn)的軌跡方程為，整理可得，利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】對于圓，整理可得：，可知圓心為，半徑為，令，則，解得或，即；令，則，解得或，即；因?yàn)榕c相外切，則，可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

則點(diǎn)的軌跡方程為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為20.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡方程為，且，進(jìn)而利用基本不等式即可得結(jié)果.19．（多選題）定義點(diǎn)到直線的有向距離為.已知點(diǎn)到直線的有向距離分別是以下命題不正確的是（

）A．若，則直線與直線平行B．若，則直線與直線垂直C．若，則直線與直線垂直D．若，則直線與直線相交【答案】BCD【分析】根據(jù)有向距離的定義可得直線的方程，故可判斷A的正誤，根據(jù)反例可判斷BCD的正誤.【詳解】設(shè)，對于A，即為，故，所以直線的方程為：，因?yàn)?，直線與直線平行，故A正確；對于B，設(shè)直線，取，則，但，此時(shí)直線與直線不垂直，故B錯(cuò)誤；此時(shí)也成立，故C錯(cuò)誤；對于D，仍取直線，取，此時(shí)，故成立，此時(shí)與直線重合，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.20．（24-25高二上·山西太原·期中）（多選題）已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)斜率，兩點(diǎn)間的距離，以及直線的縱截距的集合意義即可求解.【詳解】由圓可知，圓心為，半徑為，A選項(xiàng)，設(shè)，則，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有最值，則，解得，則的最小值為，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，表示圓上的點(diǎn)到距離的平方和，故，則，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令，則當(dāng)直線與圓相切時(shí)有最值，即，解得，所以的最大值為，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD21．（23-24高二下·吉林延邊·月考）已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，再結(jié)合點(diǎn)圓關(guān)系確定最值和范圍即可求解.【詳解】圓的圓心，半徑，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，因?yàn)?，所以原點(diǎn)在圓外，，所以，即，即.故答案為：.22．（24-25高二上·海南?？凇て谥校┮阎c(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離最大值為．【答案】【分析】先求得直線的定點(diǎn)，分析可得時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，進(jìn)而求解即可.【詳解】由，即，令，解得，則直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)最大距離為.故答案為：.23．（24-25高二上·湖北·月考）實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是．【答案】【分析】根據(jù)幾何意義為圓上的點(diǎn)與距離的平方，找出圓上的與的最大值，再平方即可求解.【詳解】解：由題意知：設(shè)，，則為圓上的點(diǎn)，圓的圓心,半徑，則表示圓上的點(diǎn)與距離的平方，又因?yàn)?所以；故的最大值是.故答案為：.24．（23-24高二上·廣西·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，利用求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，則,

則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立.故答案為：25．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·月考）唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望