基于正交配置的最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法的深度剖析與應(yīng)用拓展一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代科學(xué)與工程技術(shù)的發(fā)展進(jìn)程中，最優(yōu)控制問(wèn)題作為一個(gè)關(guān)鍵的研究領(lǐng)域，廣泛滲透于眾多學(xué)科和實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。從航空航天領(lǐng)域中飛行器的精確軌跡規(guī)劃，到機(jī)器人技術(shù)里機(jī)器人的高效運(yùn)動(dòng)控制；從電力系統(tǒng)的優(yōu)化調(diào)度，到交通系統(tǒng)的智能管控；從制造系統(tǒng)的生產(chǎn)流程優(yōu)化，到經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的宏觀(guān)政策制定，最優(yōu)控制理論都發(fā)揮著不可或缺的作用。其核心目標(biāo)是在給定的系統(tǒng)模型和約束條件下，通過(guò)巧妙地選擇控制策略，使得系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)資源的高效利用、成本的有效降低以及系統(tǒng)性能的顯著提升。以航空航天領(lǐng)域?yàn)槔w行器的軌跡規(guī)劃直接關(guān)系到飛行任務(wù)的成敗和資源的消耗。通過(guò)最優(yōu)控制理論，可以精確計(jì)算出飛行器在不同飛行階段的最佳控制指令，使其沿著最優(yōu)化的軌跡飛行，不僅能夠節(jié)省燃料，延長(zhǎng)飛行器的航程，還能提高飛行的安全性和準(zhǔn)確性。在機(jī)器人技術(shù)中，最優(yōu)控制可用于優(yōu)化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，使其能夠在復(fù)雜的環(huán)境中快速、準(zhǔn)確地完成任務(wù)，同時(shí)減少能量消耗和機(jī)械磨損，提高機(jī)器人的工作效率和使用壽命。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，最優(yōu)控制理論同樣有著重要的應(yīng)用。例如，在宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)政策的制定中，政府可以運(yùn)用最優(yōu)控制方法來(lái)設(shè)計(jì)財(cái)政政策和貨幣政策，以實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、物價(jià)穩(wěn)定和充分就業(yè)等多重目標(biāo)的平衡。通過(guò)建立經(jīng)濟(jì)模型，分析不同政策變量對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的影響，從而確定最優(yōu)的政策組合，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定和可持續(xù)發(fā)展。在微觀(guān)經(jīng)濟(jì)層面，企業(yè)可以利用最優(yōu)控制理論來(lái)優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃、庫(kù)存管理和投資決策，以提高生產(chǎn)效率、降低成本、增加利潤(rùn)。然而，在實(shí)際求解最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)面臨諸多挑戰(zhàn)。許多最優(yōu)控制問(wèn)題涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，如偏微分方程、非線(xiàn)性方程等，這些模型的求解難度極大，難以獲得精確的解析解。例如，在電力系統(tǒng)中，電力傳輸和分配過(guò)程涉及到大量的電氣元件和復(fù)雜的電磁關(guān)系，其數(shù)學(xué)模型通常包含多個(gè)變量和非線(xiàn)性約束，使得最優(yōu)控制問(wèn)題的求解變得異常困難。在交通系統(tǒng)中，交通流量的變化受到眾多因素的影響，如道路條件、車(chē)輛類(lèi)型、駕駛員行為等，這些因素的復(fù)雜性導(dǎo)致交通系統(tǒng)的最優(yōu)控制模型具有高度的非線(xiàn)性和不確定性。正交配置數(shù)值方法作為一種強(qiáng)大的數(shù)值求解技術(shù)，為解決這些復(fù)雜的最優(yōu)控制問(wèn)題提供了新的途徑。它通過(guò)巧妙地在整個(gè)求解域上采用高階插值多項(xiàng)式作為待求量的近似函數(shù)，將連續(xù)的最優(yōu)控制問(wèn)題離散化為有限維的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，從而使得問(wèn)題的求解變得更加可行和高效。正交配置法具有諸多顯著的優(yōu)勢(shì)。其精度高，對(duì)于連續(xù)光滑問(wèn)題，能夠通過(guò)較少的配置點(diǎn)達(dá)到較高的求解精度，這意味著在處理復(fù)雜的最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，可以在保證精度的前提下，顯著降低求解規(guī)模，減少計(jì)算時(shí)間和計(jì)算資源的消耗。與傳統(tǒng)的差分法相比，正交配置法具有譜精度特點(diǎn)，能夠更準(zhǔn)確地逼近真實(shí)解。正交配置法形式簡(jiǎn)潔、易于求導(dǎo)，這有助于快速得到狀態(tài)變量的近似解析解，為后續(xù)的分析和優(yōu)化提供了便利。在電力-天然氣互聯(lián)系統(tǒng)的最優(yōu)校正控制中，通過(guò)時(shí)空正交配置法將偏微分方程描述的無(wú)限維氣網(wǎng)動(dòng)態(tài)管流模型在時(shí)空維度同時(shí)離散，轉(zhuǎn)換為配置點(diǎn)處的有限維代數(shù)方程約束，進(jìn)而結(jié)合電網(wǎng)交流潮流約束，構(gòu)建了以校正控制代價(jià)最小為目標(biāo)的安全約束最優(yōu)能流模型，有效提高了計(jì)算效率和精度，為電力-天然氣互聯(lián)系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行提供了有力支持。在固定床反應(yīng)器的模擬中，采用正交配置法能夠可靠地計(jì)算出反應(yīng)器內(nèi)的溫度及組成分布，搜索到不同條件下沿反應(yīng)器的熱點(diǎn)、組成變化規(guī)律及難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得的“飛溫”條件，為確定適宜的工藝條件提供了重要依據(jù)。綜上所述，對(duì)基于正交配置的最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法進(jìn)行深入研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。從理論層面來(lái)看，該研究有助于豐富和完善最優(yōu)控制理論的數(shù)值求解方法體系，推動(dòng)相關(guān)數(shù)學(xué)理論和算法的發(fā)展。通過(guò)深入探究正交配置法的原理、性質(zhì)和應(yīng)用范圍，能夠進(jìn)一步揭示最優(yōu)控制問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，為解決更復(fù)雜的最優(yōu)控制問(wèn)題提供理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用方面，該研究成果可以為眾多工程領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的系統(tǒng)優(yōu)化和決策提供高效、準(zhǔn)確的計(jì)算方法，幫助工程師和決策者在復(fù)雜的實(shí)際情況下做出最優(yōu)的選擇，從而提高系統(tǒng)的性能和效益，促進(jìn)相關(guān)行業(yè)的發(fā)展和進(jìn)步。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀最優(yōu)控制問(wèn)題的研究源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，可追溯至17世紀(jì)的變分法。在那個(gè)時(shí)期，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始探討諸如最速降線(xiàn)問(wèn)題等經(jīng)典的優(yōu)化問(wèn)題，這些早期的研究為最優(yōu)控制理論的形成奠定了基礎(chǔ)。隨著時(shí)間的推移，到了20世紀(jì)50年代，現(xiàn)代最優(yōu)控制理論在航空航天等領(lǐng)域需求的推動(dòng)下，取得了重大的突破。龐特里亞金提出的最大值原理以及貝爾曼創(chuàng)立的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，成為了最優(yōu)控制理論發(fā)展的重要里程碑，為解決各類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題提供了有力的工具。正交配置法作為求解最優(yōu)控制問(wèn)題的一種重要數(shù)值方法，近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外受到了廣泛的關(guān)注和深入的研究。在國(guó)外，許多學(xué)者對(duì)正交配置法的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用進(jìn)行了多方面的探索。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]對(duì)正交配置法在偏微分方程約束的最優(yōu)控制問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行了深入研究，提出了一種基于正交配置的離散化方法，將連續(xù)的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為大規(guī)模的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性和高精度。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]研究了正交配置法在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化中的應(yīng)用，針對(duì)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)模型，提出了一種自適應(yīng)的正交配置策略，能夠根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性自動(dòng)調(diào)整配置點(diǎn)的分布，從而提高求解效率和精度。在國(guó)內(nèi)，相關(guān)研究也取得了顯著的成果。武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院的杜蕙、林濤、李輕言等研究人員提出了一種基于時(shí)空正交配置的電力-天然氣互聯(lián)系統(tǒng)最優(yōu)校正控制方法。通過(guò)時(shí)空正交配置法將偏微分方程描述的無(wú)限維氣網(wǎng)動(dòng)態(tài)管流模型在時(shí)空維度同時(shí)離散，轉(zhuǎn)換為配置點(diǎn)處的有限維代數(shù)方程約束；進(jìn)而，結(jié)合離散的氣網(wǎng)動(dòng)態(tài)管流約束和電網(wǎng)交流潮流約束，構(gòu)建了以校正控制代價(jià)最小為目標(biāo)的安全約束最優(yōu)能流模型，以獲取最優(yōu)校正控制策略。算例仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法與現(xiàn)有方法相比在計(jì)算效率和精度上的優(yōu)越性，以及通過(guò)所提方法生成的最優(yōu)校正控制策略有效性。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]針對(duì)化工過(guò)程中的最優(yōu)控制問(wèn)題，采用正交配置法對(duì)反應(yīng)過(guò)程進(jìn)行建模和優(yōu)化，通過(guò)合理選擇配置點(diǎn)和插值多項(xiàng)式，實(shí)現(xiàn)了對(duì)反應(yīng)過(guò)程的精確控制和優(yōu)化，提高了化工生產(chǎn)的效率和質(zhì)量。盡管?chē)?guó)內(nèi)外在基于正交配置的最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法研究方面已經(jīng)取得了豐碩的成果，但仍存在一些不足之處。一方面，對(duì)于復(fù)雜的非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題，尤其是具有強(qiáng)非線(xiàn)性和多約束條件的問(wèn)題，現(xiàn)有的正交配置方法在求解精度和計(jì)算效率上仍有待進(jìn)一步提高。在處理高維系統(tǒng)時(shí)，隨著配置點(diǎn)數(shù)量的增加，計(jì)算量會(huì)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，導(dǎo)致計(jì)算效率低下，甚至可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的情況。另一方面，目前的研究大多集中在特定領(lǐng)域的應(yīng)用，缺乏對(duì)正交配置法通用性和普適性的深入研究，使得該方法在不同領(lǐng)域之間的推廣和應(yīng)用受到一定的限制。在一些新興領(lǐng)域，如量子控制、生物系統(tǒng)控制等，如何有效地應(yīng)用正交配置法來(lái)解決最優(yōu)控制問(wèn)題，還需要進(jìn)一步的探索和研究。此外，對(duì)于正交配置法的誤差分析和收斂性研究還不夠完善，缺乏系統(tǒng)的理論框架和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這也在一定程度上影響了該方法的可靠性和應(yīng)用范圍。1.3研究目標(biāo)與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在深入探究基于正交配置的最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法，以解決復(fù)雜系統(tǒng)中最優(yōu)控制問(wèn)題求解的難題，提高求解精度和效率，拓展正交配置法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用范圍。具體研究目標(biāo)如下：優(yōu)化正交配置算法：針對(duì)現(xiàn)有正交配置方法在處理復(fù)雜非線(xiàn)性最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)精度和效率不足的問(wèn)題，深入研究正交配置算法的原理和性質(zhì)，通過(guò)改進(jìn)配置點(diǎn)的選擇策略、優(yōu)化插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法以及創(chuàng)新離散化技術(shù)，提出一種高效的正交配置算法，顯著提高算法在求解復(fù)雜最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)的精度和計(jì)算效率，降低計(jì)算成本。拓展應(yīng)用領(lǐng)域：在已有的航空航天、電力系統(tǒng)、化工等應(yīng)用領(lǐng)域基礎(chǔ)上，探索正交配置法在新興領(lǐng)域如量子控制、生物系統(tǒng)控制中的應(yīng)用。結(jié)合這些領(lǐng)域的特點(diǎn)和需求，建立相應(yīng)的最優(yōu)控制模型，并運(yùn)用改進(jìn)的正交配置算法進(jìn)行求解，為新興領(lǐng)域的系統(tǒng)優(yōu)化和控制提供有效的方法和技術(shù)支持。完善理論體系：系統(tǒng)地研究正交配置法的誤差分析和收斂性理論，建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架，給出精確的誤差估計(jì)和收斂性證明。通過(guò)理論分析，明確正交配置法的適用范圍和局限性，為算法的實(shí)際應(yīng)用提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，增強(qiáng)算法的可靠性和穩(wěn)定性。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：算法創(chuàng)新：提出一種自適應(yīng)動(dòng)態(tài)配置點(diǎn)的正交配置策略，該策略能夠根據(jù)最優(yōu)控制問(wèn)題的局部特性和求解過(guò)程中的誤差分布，實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)地調(diào)整配置點(diǎn)的位置和數(shù)量。在函數(shù)變化劇烈的區(qū)域自動(dòng)增加配置點(diǎn)，以提高局部求解精度；在函數(shù)變化平緩的區(qū)域適當(dāng)減少配置點(diǎn)，以降低計(jì)算量。這種自適應(yīng)的配置點(diǎn)調(diào)整方式，打破了傳統(tǒng)正交配置法中配置點(diǎn)固定的局限，顯著提高了算法對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的適應(yīng)性和求解精度，同時(shí)兼顧了計(jì)算效率。理論創(chuàng)新：在誤差分析和收斂性研究方面取得突破，建立了基于廣義正交多項(xiàng)式的誤差估計(jì)理論和收斂性判據(jù)。通過(guò)引入廣義正交多項(xiàng)式，充分考慮了正交配置法在不同函數(shù)空間和邊界條件下的特性，能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)誤差，并給出更嚴(yán)格的收斂性證明。這一理論創(chuàng)新填補(bǔ)了現(xiàn)有正交配置法理論體系的部分空白，為算法的進(jìn)一步優(yōu)化和應(yīng)用提供了更堅(jiān)實(shí)的理論支撐。應(yīng)用創(chuàng)新：首次將正交配置法應(yīng)用于量子控制和生物系統(tǒng)控制領(lǐng)域，針對(duì)量子系統(tǒng)的量子態(tài)演化控制和生物系統(tǒng)的生物化學(xué)反應(yīng)過(guò)程控制等問(wèn)題，建立了基于正交配置的最優(yōu)控制模型。通過(guò)巧妙地處理量子系統(tǒng)的量子特性和生物系統(tǒng)的復(fù)雜非線(xiàn)性關(guān)系，成功實(shí)現(xiàn)了對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制，為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了全新的思路和方法，拓展了正交配置法的應(yīng)用邊界。二、正交配置與最優(yōu)控制基礎(chǔ)理論2.1最優(yōu)控制問(wèn)題的基本概念最優(yōu)控制問(wèn)題旨在給定的約束條件下，尋求一個(gè)控制策略，使給定的系統(tǒng)性能指標(biāo)達(dá)到極大值或極小值。從本質(zhì)上講，它反映了系統(tǒng)有序結(jié)構(gòu)向更高水平發(fā)展的必然要求，屬于最優(yōu)化的范疇，與最優(yōu)化有著共同的性質(zhì)和理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，最優(yōu)控制問(wèn)題廣泛存在于各個(gè)領(lǐng)域，如航空航天、機(jī)器人控制、電力系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理等，其核心是在滿(mǎn)足各種物理、技術(shù)和經(jīng)濟(jì)等約束條件下，找到最優(yōu)的控制策略，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能的優(yōu)化。在航空航天領(lǐng)域，衛(wèi)星的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題是一個(gè)典型的最優(yōu)控制問(wèn)題。衛(wèi)星需要從初始軌道轉(zhuǎn)移到目標(biāo)軌道，在這個(gè)過(guò)程中，需要考慮燃料消耗、轉(zhuǎn)移時(shí)間、軌道精度等因素。通過(guò)最優(yōu)控制理論，可以設(shè)計(jì)出最優(yōu)的控制策略，使衛(wèi)星在滿(mǎn)足各種約束條件下，以最少的燃料消耗和最短的時(shí)間完成軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，同時(shí)保證軌道的精度滿(mǎn)足要求。在機(jī)器人控制中，機(jī)器人的路徑規(guī)劃問(wèn)題也涉及到最優(yōu)控制。機(jī)器人需要在復(fù)雜的環(huán)境中從初始位置移動(dòng)到目標(biāo)位置，在移動(dòng)過(guò)程中，需要考慮避障、能量消耗、運(yùn)動(dòng)速度等因素。通過(guò)最優(yōu)控制理論，可以找到最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)路徑和控制策略，使機(jī)器人能夠安全、高效地完成任務(wù)，同時(shí)減少能量消耗和運(yùn)動(dòng)時(shí)間。最優(yōu)控制問(wèn)題可以根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)。按系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分類(lèi)，可分為線(xiàn)性系統(tǒng)最優(yōu)控制和非線(xiàn)性系統(tǒng)最優(yōu)控制。線(xiàn)性系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題中，系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)函數(shù)都是線(xiàn)性的，這類(lèi)問(wèn)題相對(duì)較為簡(jiǎn)單，有較為成熟的求解方法，如線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制理論。而非線(xiàn)性系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題則更為復(fù)雜，由于系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性，求解難度較大，通常需要采用數(shù)值方法或智能算法進(jìn)行求解。按控制的類(lèi)型分類(lèi)，可分為連續(xù)控制和離散控制。連續(xù)控制是指控制信號(hào)在時(shí)間上是連續(xù)變化的，如在工業(yè)生產(chǎn)中，通過(guò)連續(xù)調(diào)節(jié)閥門(mén)的開(kāi)度來(lái)控制流量；離散控制則是指控制信號(hào)在時(shí)間上是離散的，如在數(shù)字控制系統(tǒng)中，控制信號(hào)以固定的時(shí)間間隔進(jìn)行更新。按性能指標(biāo)的類(lèi)型分類(lèi)，可分為綜合型性能指標(biāo)最優(yōu)控制、跟蹤型性能指標(biāo)最優(yōu)控制和調(diào)節(jié)型性能指標(biāo)最優(yōu)控制。綜合型性能指標(biāo)最優(yōu)控制是指同時(shí)考慮多個(gè)性能指標(biāo)，如在飛行器的控制中，既要考慮燃料消耗，又要考慮飛行時(shí)間和飛行精度等；跟蹤型性能指標(biāo)最優(yōu)控制是指要求系統(tǒng)的輸出盡可能地跟蹤給定的參考信號(hào)，如在自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中，要求車(chē)輛的行駛軌跡跟蹤預(yù)定的路線(xiàn)；調(diào)節(jié)型性能指標(biāo)最優(yōu)控制是指要求系統(tǒng)在受到干擾后能夠盡快恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，如在電力系統(tǒng)中，當(dāng)負(fù)荷發(fā)生變化時(shí)，要求系統(tǒng)能夠快速調(diào)整發(fā)電功率，保持電壓和頻率的穩(wěn)定。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，最優(yōu)控制問(wèn)題通?？梢员硎鰹樵谶\(yùn)動(dòng)方程和允許控制范圍的約束下，對(duì)以控制函數(shù)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為變量的性能指標(biāo)函數(shù)（稱(chēng)為泛函）求取極值（極大值或極小值）。一般地，對(duì)于一個(gè)受控的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可以表示為：\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t),\quadt\in[t_0,t_f]其中，x(t)\in\mathbb{R}^n是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u(t)\in\mathbb{R}^m是控制向量，f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\times[t_0,t_f]\to\mathbb{R}^n是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)、控制和時(shí)間的函數(shù)，\dot{x}(t)表示狀態(tài)向量x(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，[t_0,t_f]是時(shí)間區(qū)間，t_0是初始時(shí)間，t_f是終端時(shí)間。性能指標(biāo)函數(shù)（泛函）通常表示為：J=\varphi(x(t_f))+\int_{t_0}^{t_f}L(x(t),u(t),t)dt其中，\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}是終端性能指標(biāo)函數(shù)，它描述了系統(tǒng)在終端時(shí)刻t_f的性能；L:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\times[t_0,t_f]\to\mathbb{R}是運(yùn)行性能指標(biāo)函數(shù)，它描述了系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中的性能。同時(shí)，最優(yōu)控制問(wèn)題還需要滿(mǎn)足一定的約束條件，包括初始狀態(tài)約束x(t_0)=x_0，其中x_0是給定的初始狀態(tài)向量；終端狀態(tài)約束\psi(x(t_f),t_f)=0，其中\(zhòng)psi:\mathbb{R}^n\times[t_0,t_f]\to\mathbb{R}^p是一個(gè)關(guān)于終端狀態(tài)和時(shí)間的函數(shù)；以及路徑約束g(x(t),u(t),t)\leq0，其中g(shù):\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\times[t_0,t_f]\to\mathbb{R}^q是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)、控制和時(shí)間的函數(shù)，表示系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中需要滿(mǎn)足的各種限制條件，如控制量的取值范圍、狀態(tài)變量的物理限制等。在實(shí)際應(yīng)用中，這些約束條件反映了系統(tǒng)的物理特性、運(yùn)行要求和安全限制等。在飛行器的最優(yōu)控制中，控制量可能受到發(fā)動(dòng)機(jī)推力、舵面偏轉(zhuǎn)角度等物理限制，狀態(tài)變量可能受到飛行器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、飛行環(huán)境等因素的限制。這些約束條件使得最優(yōu)控制問(wèn)題的求解變得更加復(fù)雜，需要綜合考慮各種因素，采用合適的方法進(jìn)行求解。2.2正交配置法的原理與特點(diǎn)2.2.1正交配置法的基本原理正交配置法作為加權(quán)余項(xiàng)法的一種特殊形式，在數(shù)值求解微分方程中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。其核心在于巧妙地運(yùn)用正交多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)，通過(guò)加權(quán)余項(xiàng)法將微分方程離散化，從而將連續(xù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為便于求解的離散形式。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，加權(quán)余項(xiàng)法是一種重要的數(shù)值求解思路。它的基本思想是將微分方程的未知解表示為一組帶有可調(diào)常數(shù)的試驗(yàn)函數(shù)。假設(shè)我們要解決的微分方程為L(zhǎng)(u)=0，其中L是微分算子，u是未知函數(shù)。我們構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)u_N(x)=\sum_{i=0}^{N}a_i\varphi_i(x)，這里a_i是可調(diào)常數(shù)，\varphi_i(x)是已知的基函數(shù)。將試驗(yàn)函數(shù)代入微分方程后，會(huì)產(chǎn)生余項(xiàng)R(x)=L(u_N)\neq0。加權(quán)余項(xiàng)法的關(guān)鍵就在于選擇合適的常數(shù)a_i，使得余項(xiàng)在某種加權(quán)意義下盡可能地接近于零，也就是通過(guò)調(diào)整a_i讓試驗(yàn)函數(shù)充分逼近微分方程的精確解。而正交配置法則是在加權(quán)余項(xiàng)法的基礎(chǔ)上，選用正交多項(xiàng)式作為試驗(yàn)函數(shù)，并取正交多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)。正交多項(xiàng)式具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，如在給定區(qū)間上的正交性，這使得它在數(shù)值計(jì)算中能夠有效地降低誤差。常見(jiàn)的正交多項(xiàng)式有勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式、切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式等。以勒讓德多項(xiàng)式為例，它在區(qū)間[-1,1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)w(x)=1正交，即滿(mǎn)足\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}，其中P_m(x)和P_n(x)是勒讓德多項(xiàng)式，\delta_{mn}是克羅內(nèi)克（Kronecker）符號(hào)，當(dāng)m=n時(shí)，\delta_{mn}=1；當(dāng)m\neqn時(shí)，\delta_{mn}=0。在實(shí)際應(yīng)用正交配置法時(shí)，假設(shè)我們要求解的微分方程為\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)，x\in[a,b]，并滿(mǎn)足邊界條件y(a)=y_a，y(b)=y_b。首先，通過(guò)合適的變換將區(qū)間[a,b]映射到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[-1,1]，例如采用線(xiàn)性變換x=\frac{b-a}{2}\xi+\frac{a+b}{2}，其中\(zhòng)xi\in[-1,1]。然后，選取N個(gè)配置點(diǎn)\xi_i，這些配置點(diǎn)是正交多項(xiàng)式（如勒讓德多項(xiàng)式）在區(qū)間[-1,1]上的根。接著，構(gòu)造插值多項(xiàng)式y(tǒng)_N(\xi)=\sum_{i=0}^{N}y_iL_i(\xi)來(lái)近似表示函數(shù)y(\xi)，其中y_i是配置點(diǎn)\xi_i處的函數(shù)值，L_i(\xi)是拉格朗日（Lagrange）插值基函數(shù)，滿(mǎn)足L_i(\xi_j)=\delta_{ij}。對(duì)插值多項(xiàng)式求導(dǎo)，得到\frac{dy_N}{d\xi}=\sum_{i=0}^{N}y_i\frac{dL_i}{d\xi}和\frac{d^2y_N}{d\xi^2}=\sum_{i=0}^{N}y_i\frac{d^2L_i}{d\xi^2}。將y_N(\xi)及其導(dǎo)數(shù)代入變換后的微分方程中，在每個(gè)配置點(diǎn)\xi_i處，方程變?yōu)椋篭sum_{i=0}^{N}y_i\left(\frac{d^2L_i}{d\xi^2}(\xi_i)+p(\xi_i)\frac{dL_i}{d\xi}(\xi_i)+q(\xi_i)L_i(\xi_i)\right)=f(\xi_i)這樣，我們就得到了一個(gè)關(guān)于y_i的代數(shù)方程組，結(jié)合邊界條件y(a)=y_a和y(b)=y_b（在變換后的區(qū)間上對(duì)應(yīng)的條件），就可以求解出y_i的值，從而得到微分方程在配置點(diǎn)處的近似解。通過(guò)這些配置點(diǎn)的解，利用插值多項(xiàng)式就可以近似得到整個(gè)區(qū)間上的解。在求解熱傳導(dǎo)方程\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partialx^2}時(shí)，可將時(shí)間域和空間域分別進(jìn)行離散。在空間域上采用正交配置法，選取配置點(diǎn)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組，再結(jié)合時(shí)間域的離散方法（如有限差分法）進(jìn)行求解，從而得到不同時(shí)刻、不同位置的溫度分布。2.2.2正交配置法的特點(diǎn)分析正交配置法在計(jì)算精度、穩(wěn)定性、計(jì)算效率等方面展現(xiàn)出諸多顯著優(yōu)勢(shì)，使其在眾多數(shù)值計(jì)算方法中脫穎而出，成為解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。高精度：對(duì)于連續(xù)光滑問(wèn)題，正交配置法能夠通過(guò)較少的配置點(diǎn)達(dá)到較高的求解精度，這一特性使其在處理復(fù)雜數(shù)學(xué)模型時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)。傳統(tǒng)的差分法通常采用固定的低階速率進(jìn)行離散，隨著求解問(wèn)題復(fù)雜度的增加，為了達(dá)到較高的精度，需要大量的網(wǎng)格點(diǎn)，這不僅增加了計(jì)算量，還可能引入更多的截?cái)嗾`差。而正交配置法利用正交多項(xiàng)式的良好逼近性質(zhì)，具有譜精度特點(diǎn)。在處理光滑函數(shù)的逼近問(wèn)題時(shí)，隨著配置點(diǎn)數(shù)量的增加，誤差以指數(shù)速度衰減，相比差分法的代數(shù)收斂速度，能夠更迅速地逼近真實(shí)解。以函數(shù)y=e^x在區(qū)間[0,1]上的逼近為例，當(dāng)使用相同數(shù)量的離散點(diǎn)時(shí)，正交配置法得到的逼近結(jié)果與真實(shí)值的誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于差分法，能夠更準(zhǔn)確地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)。穩(wěn)定性好：正交配置法在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。由于正交多項(xiàng)式的正交性，使得在配置點(diǎn)處的計(jì)算誤差相互獨(dú)立，不會(huì)像一些其他方法那樣產(chǎn)生誤差的累積和放大。在求解常微分方程組時(shí)，即使在長(zhǎng)時(shí)間的積分過(guò)程中，正交配置法也能保持相對(duì)穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，不會(huì)因?yàn)槌跏颊`差的微小擾動(dòng)而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的劇烈波動(dòng)。這一穩(wěn)定性特點(diǎn)使得正交配置法在處理一些對(duì)穩(wěn)定性要求較高的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，如飛行器的軌道計(jì)算、電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模擬等，能夠提供可靠的數(shù)值解。形式簡(jiǎn)潔、易于求導(dǎo)：正交配置法采用插值多項(xiàng)式來(lái)近似未知函數(shù)，其形式簡(jiǎn)潔明了。在對(duì)近似函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，由于插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)具有明確的表達(dá)式，計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，有助于快速得到狀態(tài)變量的近似解析解。在最優(yōu)控制問(wèn)題中，常常需要對(duì)狀態(tài)方程和性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，以獲取最優(yōu)控制策略。正交配置法的這一特點(diǎn)使得在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)更加高效，能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出導(dǎo)數(shù)信息，為后續(xù)的優(yōu)化算法提供有力支持。求解規(guī)模小、計(jì)算效率高：由于正交配置法能夠以較少的配置點(diǎn)達(dá)到較高的精度，因此在求解過(guò)程中所需的離散點(diǎn)數(shù)量相對(duì)較少，從而顯著降低了求解規(guī)模。這不僅減少了內(nèi)存的占用，還提高了計(jì)算效率，使得在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，能夠在更短的時(shí)間內(nèi)得到滿(mǎn)足精度要求的解。在求解復(fù)雜的偏微分方程約束的最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，傳統(tǒng)方法可能需要大量的計(jì)算資源和時(shí)間，而正交配置法通過(guò)合理選擇配置點(diǎn)，能夠在保證精度的前提下，大幅減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率，為實(shí)際工程應(yīng)用提供了更可行的解決方案。通用性強(qiáng)：正交配置法不僅適用于線(xiàn)性問(wèn)題，對(duì)于非線(xiàn)性問(wèn)題同樣具有良好的求解能力。在處理非線(xiàn)性微分方程時(shí)，通過(guò)將非線(xiàn)性項(xiàng)在配置點(diǎn)處進(jìn)行離散化處理，利用正交配置法的高精度和穩(wěn)定性，能夠有效地求解非線(xiàn)性問(wèn)題。無(wú)論是在化工過(guò)程中的反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模擬，還是在生物系統(tǒng)中的生物化學(xué)反應(yīng)建模，正交配置法都能夠根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)進(jìn)行靈活應(yīng)用，展現(xiàn)出較強(qiáng)的通用性。2.3正交配置法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用基礎(chǔ)在最優(yōu)控制領(lǐng)域，正交配置法通過(guò)巧妙的數(shù)學(xué)變換，將連續(xù)型最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散形式的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，為問(wèn)題的求解開(kāi)辟了新途徑。其核心步驟包括對(duì)時(shí)間區(qū)間的離散化、狀態(tài)變量和控制變量的插值逼近以及約束條件的處理。在實(shí)際應(yīng)用中，考慮一個(gè)一般的最優(yōu)控制問(wèn)題，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t)，t\in[t_0,t_f]，性能指標(biāo)函數(shù)為J=\varphi(x(t_f))+\int_{t_0}^{t_f}L(x(t),u(t),t)dt，同時(shí)滿(mǎn)足初始狀態(tài)約束x(t_0)=x_0，終端狀態(tài)約束\psi(x(t_f),t_f)=0，以及路徑約束g(x(t),u(t),t)\leq0。首先，對(duì)時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]進(jìn)行離散化處理。將時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]劃分為N個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]，k=0,1,\cdots,N-1，其中t_0為初始時(shí)刻，t_f為終端時(shí)刻，t_{k+1}-t_{k}=h_k為子區(qū)間的長(zhǎng)度，且t_N=t_f。這種離散化方式將連續(xù)的時(shí)間過(guò)程轉(zhuǎn)化為有限個(gè)離散的時(shí)間點(diǎn)，為后續(xù)的數(shù)值計(jì)算奠定基礎(chǔ)。接著，在每個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，運(yùn)用正交配置法。選擇合適的正交多項(xiàng)式，如勒讓德多項(xiàng)式或切比雪夫多項(xiàng)式，以其根作為配置點(diǎn)\tau_{i}，i=1,\cdots,n，其中n為配置點(diǎn)的個(gè)數(shù)。通過(guò)這些配置點(diǎn)，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)近似表示狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)。假設(shè)在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，狀態(tài)變量x(t)可以近似表示為x(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau)，其中x_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的狀態(tài)變量值，L_{i}(\tau)是拉格朗日插值基函數(shù)，滿(mǎn)足L_{i}(\tau_{j})=\delta_{ij}，\delta_{ij}為克羅內(nèi)克符號(hào)，當(dāng)i=j時(shí)，\delta_{ij}=1；當(dāng)i\neqj時(shí)，\delta_{ij}=0。同理，控制變量u(t)可以近似表示為u(t)\approx\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau)，其中u_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的控制變量值。在飛行器的最優(yōu)軌跡規(guī)劃中，飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由多個(gè)狀態(tài)變量描述，如位置、速度、加速度等，通過(guò)正交配置法將時(shí)間區(qū)間離散化后，在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)用拉格朗日插值多項(xiàng)式近似這些狀態(tài)變量和控制變量（如發(fā)動(dòng)機(jī)推力、舵面偏轉(zhuǎn)角度等），從而將連續(xù)的最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。然后，將狀態(tài)變量和控制變量的近似表達(dá)式代入狀態(tài)方程\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t)中。對(duì)x(t)的近似表達(dá)式求導(dǎo)，得到\dot{x}(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau)，將其與f(x(t),u(t),t)的近似表達(dá)式聯(lián)立，在每個(gè)配置點(diǎn)\tau_{i}處得到一組代數(shù)方程：\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau_{i})=f\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)這些代數(shù)方程構(gòu)成了離散化后的狀態(tài)方程約束。同時(shí)，性能指標(biāo)函數(shù)J也需要進(jìn)行離散化處理。對(duì)于積分項(xiàng)\int_{t_0}^{t_f}L(x(t),u(t),t)dt，可以利用數(shù)值積分方法，如高斯積分法進(jìn)行近似計(jì)算。將時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]上的積分轉(zhuǎn)化為在各個(gè)子區(qū)間上的積分之和，再在每個(gè)子區(qū)間上利用配置點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值積分。例如，在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，積分項(xiàng)可以近似為\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}L(x(t),u(t),t)dt\approx\frac{h_k}{2}\sum_{i=1}^{n}w_{i}L\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)，其中w_{i}是高斯積分的權(quán)重。對(duì)于終端性能指標(biāo)函數(shù)\varphi(x(t_f))，直接用x(t_f)的近似值\sum_{i=1}^{n}x_{N,i}L_{i}(1)代入計(jì)算。在處理約束條件時(shí)，初始狀態(tài)約束x(t_0)=x_0可以直接轉(zhuǎn)化為x_{0,1}=x_0，因?yàn)樵诘谝粋€(gè)子區(qū)間的起始點(diǎn)，配置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量值就是初始狀態(tài)。終端狀態(tài)約束\psi(x(t_f),t_f)=0則轉(zhuǎn)化為\psi\left(\sum_{i=1}^{n}x_{N,i}L_{i}(1),t_f\right)=0。路徑約束g(x(t),u(t),t)\leq0在每個(gè)配置點(diǎn)處進(jìn)行檢驗(yàn)，即g\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)\leq0，k=0,1,\cdots,N-1，i=1,\cdots,n。通過(guò)以上步驟，原連續(xù)型最優(yōu)控制問(wèn)題就被成功轉(zhuǎn)化為一個(gè)離散形式的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。該非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的決策變量為x_{k,i}和u_{k,i}，目標(biāo)函數(shù)為離散化后的性能指標(biāo)函數(shù)J，約束條件包括離散化后的狀態(tài)方程約束、初始狀態(tài)約束、終端狀態(tài)約束和路徑約束。可以使用各種成熟的非線(xiàn)性規(guī)劃算法，如序列二次規(guī)劃算法（SQP）、內(nèi)點(diǎn)法等對(duì)其進(jìn)行求解，從而得到最優(yōu)控制問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解，進(jìn)而通過(guò)插值多項(xiàng)式得到整個(gè)時(shí)間區(qū)間上的近似解。三、基于正交配置的最優(yōu)控制數(shù)值方法構(gòu)建3.1狀態(tài)變量與控制變量的離散化3.1.1Lagrange插值多項(xiàng)式的應(yīng)用在基于正交配置的最優(yōu)控制數(shù)值方法中，Lagrange插值多項(xiàng)式起著關(guān)鍵作用，它為狀態(tài)變量和控制變量的近似離散提供了有效的手段。對(duì)于一個(gè)在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y(x)，假設(shè)我們已知其在n+1個(gè)不同節(jié)點(diǎn)x_0,x_1,\cdots,x_n處的函數(shù)值y_0,y_1,\cdots,y_n，則可以構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式L_n(x)來(lái)近似表示函數(shù)y(x)。Lagrange插值多項(xiàng)式的表達(dá)式為：L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_il_i(x)其中，l_i(x)是Lagrange插值基函數(shù)，其定義為：l_i(x)=\frac{\prod_{j=0,j\neqi}^{n}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neqi}^{n}(x_i-x_j)}這些插值基函數(shù)具有重要的性質(zhì)，即l_i(x_j)=\delta_{ij}，其中\(zhòng)delta_{ij}為克羅內(nèi)克符號(hào)，當(dāng)i=j時(shí)，\delta_{ij}=1；當(dāng)i\neqj時(shí)，\delta_{ij}=0。這意味著在節(jié)點(diǎn)x_i處，只有對(duì)應(yīng)的插值基函數(shù)l_i(x)的值為1，其他插值基函數(shù)的值均為0，從而保證了插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處能夠準(zhǔn)確地取到已知的函數(shù)值。在最優(yōu)控制問(wèn)題中，我們將時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]劃分為N個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]，k=0,1,\cdots,N-1。在每個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，選取n個(gè)配置點(diǎn)\tau_{i}，i=1,\cdots,n，這些配置點(diǎn)通常是正交多項(xiàng)式（如勒讓德多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式等）的根。通過(guò)這些配置點(diǎn)，利用Lagrange插值多項(xiàng)式來(lái)近似表示狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)。假設(shè)在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，狀態(tài)變量x(t)可以近似表示為：x(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau)其中，x_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的狀態(tài)變量值，L_{i}(\tau)是基于配置點(diǎn)\tau_{i}構(gòu)造的Lagrange插值基函數(shù)，\tau是在子區(qū)間[-1,1]上的變量，通過(guò)線(xiàn)性變換\tau=\frac{2(t-t_{k})}{t_{k+1}-t_{k}}-1與時(shí)間t相關(guān)聯(lián)。同理，控制變量u(t)可以近似表示為：u(t)\approx\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau)其中，u_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的控制變量值。通過(guò)這種方式，將連續(xù)的狀態(tài)變量和控制變量在時(shí)間區(qū)間上進(jìn)行了離散化處理，將無(wú)窮維的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維的問(wèn)題，便于后續(xù)的數(shù)值求解。在飛行器的最優(yōu)軌跡規(guī)劃中，飛行器的位置、速度等狀態(tài)變量以及發(fā)動(dòng)機(jī)推力、舵面偏轉(zhuǎn)角度等控制變量都可以通過(guò)Lagrange插值多項(xiàng)式在時(shí)間區(qū)間上進(jìn)行離散近似，從而將連續(xù)的最優(yōu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，為求解提供了可能。3.1.2離散化過(guò)程中的參數(shù)選擇在利用Lagrange插值多項(xiàng)式對(duì)狀態(tài)變量和控制變量進(jìn)行離散化的過(guò)程中，配置點(diǎn)數(shù)量、位置等參數(shù)的選擇對(duì)結(jié)果有著至關(guān)重要的影響，合理選擇這些參數(shù)是提高求解精度和效率的關(guān)鍵。配置點(diǎn)數(shù)量的影響：配置點(diǎn)數(shù)量的增加通常會(huì)提高離散化的精度。隨著配置點(diǎn)數(shù)量的增多，Lagrange插值多項(xiàng)式能夠更好地逼近原函數(shù)的變化趨勢(shì)，從而更準(zhǔn)確地描述狀態(tài)變量和控制變量的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)配置點(diǎn)數(shù)量較少時(shí)，插值多項(xiàng)式可能無(wú)法捕捉到函數(shù)的一些細(xì)微變化，導(dǎo)致近似結(jié)果存在較大誤差。在求解一個(gè)具有復(fù)雜動(dòng)態(tài)特性的最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，如果配置點(diǎn)數(shù)量不足，可能會(huì)使計(jì)算得到的最優(yōu)控制策略無(wú)法準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的實(shí)際需求，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降。然而，配置點(diǎn)數(shù)量的增加也會(huì)帶來(lái)計(jì)算量的大幅上升。更多的配置點(diǎn)意味著更多的未知變量和更復(fù)雜的代數(shù)方程組，這將增加求解非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的難度和計(jì)算時(shí)間。當(dāng)配置點(diǎn)數(shù)量過(guò)多時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，即插值多項(xiàng)式過(guò)于貼合已知的配置點(diǎn)數(shù)據(jù)，而對(duì)其他位置的函數(shù)值估計(jì)不準(zhǔn)確，反而降低了求解的精度。因此，需要在精度和計(jì)算量之間進(jìn)行權(quán)衡，選擇合適的配置點(diǎn)數(shù)量。一般來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，逐步增加配置點(diǎn)數(shù)量，觀(guān)察求解結(jié)果的變化趨勢(shì)，當(dāng)結(jié)果的精度提升不再明顯，而計(jì)算量卻顯著增加時(shí)，此時(shí)的配置點(diǎn)數(shù)量可能就是一個(gè)較為合適的選擇。配置點(diǎn)位置的影響：配置點(diǎn)的位置分布對(duì)離散化結(jié)果也有重要影響。不同的正交多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)，具有不同的分布特性。勒讓德多項(xiàng)式的根在區(qū)間內(nèi)的分布相對(duì)較為均勻，而切比雪夫多項(xiàng)式的根在區(qū)間端點(diǎn)處分布更為密集。對(duì)于函數(shù)變化較為均勻的情況，選擇勒讓德多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)可能能夠取得較好的效果；而對(duì)于函數(shù)在端點(diǎn)處變化劇烈的情況，切比雪夫多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)可能更能準(zhǔn)確地捕捉函數(shù)的變化。在處理一個(gè)邊界條件復(fù)雜的最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，函數(shù)在邊界處的變化較為復(fù)雜，此時(shí)采用切比雪夫多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)，可以更準(zhǔn)確地描述邊界處的狀態(tài)變量和控制變量的變化，從而提高求解的精度。配置點(diǎn)位置的選擇還會(huì)影響到數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。如果配置點(diǎn)分布不合理，可能會(huì)導(dǎo)致插值多項(xiàng)式在某些區(qū)域出現(xiàn)劇烈的振蕩，從而影響數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。因此，在選擇配置點(diǎn)位置時(shí)，需要充分考慮函數(shù)的特性和問(wèn)題的邊界條件，選擇合適的正交多項(xiàng)式及其根作為配置點(diǎn)。綜合考慮與參數(shù)優(yōu)化：在實(shí)際應(yīng)用中，需要綜合考慮配置點(diǎn)數(shù)量和位置等參數(shù)，進(jìn)行優(yōu)化選擇?？梢圆捎米赃m應(yīng)的方法，根據(jù)函數(shù)的局部特性動(dòng)態(tài)地調(diào)整配置點(diǎn)的數(shù)量和位置。在函數(shù)變化劇烈的區(qū)域自動(dòng)增加配置點(diǎn)數(shù)量，并選擇更合適的配置點(diǎn)位置，以提高局部的求解精度；在函數(shù)變化平緩的區(qū)域適當(dāng)減少配置點(diǎn)數(shù)量，降低計(jì)算量。還可以結(jié)合誤差估計(jì)方法，根據(jù)估計(jì)的誤差大小來(lái)調(diào)整配置點(diǎn)參數(shù)。通過(guò)不斷地調(diào)整和優(yōu)化配置點(diǎn)參數(shù)，使得離散化結(jié)果在滿(mǎn)足精度要求的前提下，盡可能地提高計(jì)算效率。在求解一個(gè)復(fù)雜的化工過(guò)程最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，通過(guò)自適應(yīng)配置點(diǎn)方法，在反應(yīng)劇烈的階段增加配置點(diǎn)數(shù)量和優(yōu)化配置點(diǎn)位置，在反應(yīng)平穩(wěn)階段減少配置點(diǎn)數(shù)量，最終在保證求解精度的同時(shí)，顯著提高了計(jì)算效率，為化工生產(chǎn)的優(yōu)化控制提供了有效的支持。3.2微分方程的離散與轉(zhuǎn)化3.2.1基于正交配置的微分方程離散在最優(yōu)控制問(wèn)題中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為通常由微分方程描述，將這些微分方程離散化是基于正交配置的最優(yōu)控制數(shù)值方法的關(guān)鍵步驟。以常見(jiàn)的常微分方程為例，假設(shè)我們要處理的系統(tǒng)狀態(tài)方程為一階常微分方程：\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t),\quadt\in[t_0,t_f]其中，x(t)是狀態(tài)變量，u(t)是控制變量，f是關(guān)于狀態(tài)、控制和時(shí)間的函數(shù)。為了將其離散化，首先對(duì)時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]進(jìn)行劃分。將其劃分為N個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]，k=0,1,\cdots,N-1，子區(qū)間長(zhǎng)度h_k=t_{k+1}-t_{k}。在每個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，運(yùn)用正交配置法。選擇合適的正交多項(xiàng)式，如勒讓德多項(xiàng)式P_n(x)，其根作為配置點(diǎn)\tau_{i}，i=1,\cdots,n（n為配置點(diǎn)個(gè)數(shù)）。通過(guò)配置點(diǎn)，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)近似狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)。在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，狀態(tài)變量x(t)近似表示為：x(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau)其中，x_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的狀態(tài)變量值，L_{i}(\tau)是拉格朗日插值基函數(shù)，滿(mǎn)足L_{i}(\tau_{j})=\delta_{ij}（\delta_{ij}為克羅內(nèi)克符號(hào)，i=j時(shí)，\delta_{ij}=1；i\neqj時(shí)，\delta_{ij}=0），\tau通過(guò)線(xiàn)性變換\tau=\frac{2(t-t_{k})}{t_{k+1}-t_{k}}-1與時(shí)間t相關(guān)聯(lián)，取值范圍為[-1,1]。同理，控制變量u(t)近似表示為：u(t)\approx\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau)對(duì)x(t)的近似表達(dá)式求導(dǎo)，得到\dot{x}(t)的近似表達(dá)式：\dot{x}(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau)將x(t)和\dot{x}(t)的近似表達(dá)式代入狀態(tài)方程\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t)中，在每個(gè)配置點(diǎn)\tau_{i}處，得到一組代數(shù)方程：\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau_{i})=f\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)這樣，就將連續(xù)的微分方程轉(zhuǎn)化為了離散的代數(shù)方程。在一個(gè)簡(jiǎn)單的車(chē)輛運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題中，車(chē)輛的速度v(t)滿(mǎn)足微分方程\dot{v}(t)=a(t)-\frac{k}{m}v(t)^2，其中a(t)是加速度（控制變量），k是阻力系數(shù)，m是車(chē)輛質(zhì)量。通過(guò)上述正交配置法，將時(shí)間區(qū)間離散化，在每個(gè)子區(qū)間上選擇配置點(diǎn)，用拉格朗日插值多項(xiàng)式近似v(t)和a(t)，代入微分方程后，得到在配置點(diǎn)處的代數(shù)方程，從而將連續(xù)的車(chē)輛運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程求解問(wèn)題。3.2.2離散后方程的性質(zhì)與求解難度分析經(jīng)過(guò)正交配置法離散后得到的代數(shù)方程具有一系列獨(dú)特的性質(zhì)，同時(shí)也伴隨著一定的求解難度和挑戰(zhàn)。方程的非線(xiàn)性性質(zhì)：在大多數(shù)實(shí)際的最優(yōu)控制問(wèn)題中，離散后的代數(shù)方程往往呈現(xiàn)出非線(xiàn)性的特點(diǎn)。這是因?yàn)樵⒎址匠讨械臓顟B(tài)變量和控制變量之間可能存在非線(xiàn)性關(guān)系，以及在將微分方程離散化的過(guò)程中，通過(guò)插值多項(xiàng)式近似變量的方式進(jìn)一步引入了非線(xiàn)性因素。在一個(gè)化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的最優(yōu)控制中，反應(yīng)速率通常與反應(yīng)物濃度之間存在非線(xiàn)性關(guān)系，當(dāng)將描述反應(yīng)過(guò)程的微分方程進(jìn)行正交配置離散化后，由于插值多項(xiàng)式對(duì)濃度變量的近似，使得離散后的代數(shù)方程包含了復(fù)雜的非線(xiàn)性項(xiàng)。非線(xiàn)性方程的求解相較于線(xiàn)性方程要困難得多，其解的存在性、唯一性以及求解算法的收斂性都需要進(jìn)行深入的分析和研究。常見(jiàn)的求解非線(xiàn)性方程的方法，如牛頓迭代法、擬牛頓法等，都需要較好的初始猜測(cè)值，否則可能會(huì)陷入局部最優(yōu)解或者不收斂的情況。方程的規(guī)模與維度：隨著配置點(diǎn)數(shù)量的增加以及系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量維度的增大，離散后代數(shù)方程的規(guī)模會(huì)迅速膨脹。更多的配置點(diǎn)可以提高離散化的精度，但同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致方程中未知數(shù)的數(shù)量大幅增加，從而增加了計(jì)算量和求解的難度。對(duì)于一個(gè)具有多個(gè)狀態(tài)變量和控制變量的復(fù)雜系統(tǒng)，如多自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制，每個(gè)狀態(tài)變量和控制變量在每個(gè)配置點(diǎn)上都對(duì)應(yīng)一個(gè)未知數(shù)，使得代數(shù)方程的維度急劇上升。這不僅對(duì)計(jì)算資源（如內(nèi)存、計(jì)算時(shí)間）提出了更高的要求，還可能導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差積累，影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。在處理大規(guī)模代數(shù)方程時(shí)，需要采用有效的數(shù)值算法和優(yōu)化策略，如稀疏矩陣技術(shù)、并行計(jì)算等，來(lái)降低計(jì)算成本和提高計(jì)算效率。約束條件的復(fù)雜性：最優(yōu)控制問(wèn)題通常伴隨著各種約束條件，如初始狀態(tài)約束、終端狀態(tài)約束、路徑約束等。在離散化過(guò)程中，這些約束條件也需要進(jìn)行相應(yīng)的處理和轉(zhuǎn)化，使得離散后的代數(shù)方程滿(mǎn)足這些約束。然而，約束條件的存在進(jìn)一步增加了方程求解的復(fù)雜性。路徑約束可能會(huì)限制狀態(tài)變量和控制變量在某些時(shí)間段內(nèi)的取值范圍，這就需要在求解代數(shù)方程時(shí)，確保解在滿(mǎn)足方程本身的同時(shí)，也滿(mǎn)足這些復(fù)雜的約束條件。處理約束條件通常需要采用特殊的算法和技巧，如罰函數(shù)法、拉格朗日乘子法等，將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題或者等價(jià)的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，但這些方法也會(huì)引入額外的參數(shù)和計(jì)算步驟，增加了求解的難度和復(fù)雜性。3.3非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的形成與求解3.3.1構(gòu)建基于正交配置的非線(xiàn)性規(guī)劃模型在完成狀態(tài)變量與控制變量的離散化以及微分方程的離散轉(zhuǎn)化后，我們成功將連續(xù)的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散形式，進(jìn)而構(gòu)建基于正交配置的非線(xiàn)性規(guī)劃模型。以一個(gè)具有一般性的最優(yōu)控制問(wèn)題為例，假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t)，其中x(t)\in\mathbb{R}^n是狀態(tài)向量，u(t)\in\mathbb{R}^m是控制向量，f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\times[t_0,t_f]\to\mathbb{R}^n是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)、控制和時(shí)間的函數(shù)，[t_0,t_f]為時(shí)間區(qū)間。性能指標(biāo)函數(shù)為J=\varphi(x(t_f))+\int_{t_0}^{t_f}L(x(t),u(t),t)dt，同時(shí)滿(mǎn)足初始狀態(tài)約束x(t_0)=x_0，終端狀態(tài)約束\psi(x(t_f),t_f)=0，以及路徑約束g(x(t),u(t),t)\leq0。首先，對(duì)時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]進(jìn)行離散化，將其劃分為N個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]，k=0,1,\cdots,N-1，子區(qū)間長(zhǎng)度h_k=t_{k+1}-t_{k}。在每個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，通過(guò)正交配置法選取n個(gè)配置點(diǎn)\tau_{i}，i=1,\cdots,n，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式近似狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)。狀態(tài)變量x(t)在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上近似表示為x(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau)，控制變量u(t)近似表示為u(t)\approx\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau)，其中x_{k,i}和u_{k,i}分別是狀態(tài)變量和控制變量在配置點(diǎn)\tau_{i}處的值，L_{i}(\tau)是拉格朗日插值基函數(shù)。將上述近似表達(dá)式代入狀態(tài)方程\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t)中，在每個(gè)配置點(diǎn)\tau_{i}處得到一組代數(shù)方程：\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau_{i})=f\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)對(duì)于性能指標(biāo)函數(shù)J，其中的積分項(xiàng)\int_{t_0}^{t_f}L(x(t),u(t),t)dt利用數(shù)值積分方法（如高斯積分法）進(jìn)行近似計(jì)算。在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，積分項(xiàng)近似為\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}L(x(t),u(t),t)dt\approx\frac{h_k}{2}\sum_{i=1}^{n}w_{i}L\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)，其中w_{i}是高斯積分的權(quán)重。終端性能指標(biāo)函數(shù)\varphi(x(t_f))則用x(t_f)的近似值\sum_{i=1}^{n}x_{N,i}L_{i}(1)代入計(jì)算。初始狀態(tài)約束x(t_0)=x_0轉(zhuǎn)化為x_{0,1}=x_0，終端狀態(tài)約束\psi(x(t_f),t_f)=0轉(zhuǎn)化為\psi\left(\sum_{i=1}^{n}x_{N,i}L_{i}(1),t_f\right)=0。路徑約束g(x(t),u(t),t)\leq0在每個(gè)配置點(diǎn)處進(jìn)行檢驗(yàn)，即g\left(\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau_{i}),t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i})\right)\leq0，k=0,1,\cdots,N-1，i=1,\cdots,n。此時(shí)，我們定義決策變量向量y=[x_{0,1},\cdots,x_{N,n},u_{0,1},\cdots,u_{N,n}]^T，目標(biāo)函數(shù)為離散化后的性能指標(biāo)函數(shù)J(y)，約束條件包括離散化后的狀態(tài)方程約束c_{eq}(y)=0（由上述在配置點(diǎn)處的代數(shù)方程組成）、初始狀態(tài)約束、終端狀態(tài)約束和路徑約束c(y)\leq0。則基于正交配置的非線(xiàn)性規(guī)劃模型可以表示為：\begin{align*}\min_{y}&J(y)\\\text{s.t.}&c_{eq}(y)=0\\&c(y)\leq0\end{align*}在一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)器人路徑規(guī)劃最優(yōu)控制問(wèn)題中，機(jī)器人的位置和速度作為狀態(tài)變量，電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力作為控制變量。通過(guò)正交配置法離散化后，將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為配置點(diǎn)處的代數(shù)方程，將路徑規(guī)劃的目標(biāo)（如最短路徑、最小能量消耗等）轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)限制（如速度限制、位置限制等）轉(zhuǎn)化為約束條件，從而構(gòu)建出基于正交配置的非線(xiàn)性規(guī)劃模型，為后續(xù)求解機(jī)器人的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。3.3.2求解非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的常用算法在構(gòu)建了基于正交配置的非線(xiàn)性規(guī)劃模型后，需要選擇合適的算法來(lái)求解該模型，以獲得最優(yōu)控制問(wèn)題的近似解。以下介紹幾種求解非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的常用算法，并分析它們的優(yōu)缺點(diǎn)。梯度法：梯度法，也稱(chēng)為最速下降法，是一種經(jīng)典的求解非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的迭代算法。其基本思想是在當(dāng)前迭代點(diǎn)處，沿著目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索，以找到使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的方向。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)為J(y)，在第k次迭代時(shí)，迭代點(diǎn)為y^{(k)}，則搜索方向d^{(k)}=-\nablaJ(y^{(k)})，其中\(zhòng)nablaJ(y^{(k)})是目標(biāo)函數(shù)在y^{(k)}處的梯度。步長(zhǎng)\alpha^{(k)}的選擇通常通過(guò)線(xiàn)搜索方法確定，使得J(y^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)})\ltJ(y^{(k)})。新的迭代點(diǎn)更新為y^{(k+1)}=y^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)}。梯度法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)初始點(diǎn)的要求不高，具有全局收斂性，即只要初始點(diǎn)選擇合理，算法最終能夠收斂到一個(gè)局部最優(yōu)解。在一些簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中，梯度法能夠快速收斂到較優(yōu)的解。然而，梯度法也存在明顯的缺點(diǎn)。它的收斂速度較慢，特別是在接近最優(yōu)解時(shí)，會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度急劇下降。這是因?yàn)樘荻确ㄖ豢紤]了目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)的局部性質(zhì)，每次迭代的搜索方向僅僅是負(fù)梯度方向，沒(méi)有充分利用目標(biāo)函數(shù)的二階信息。在求解復(fù)雜的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，梯度法可能需要大量的迭代次數(shù)才能達(dá)到滿(mǎn)意的精度，計(jì)算效率較低。牛頓法：牛頓法是基于目標(biāo)函數(shù)的二階近似來(lái)求解非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的算法。它利用目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前迭代點(diǎn)處的二階泰勒展開(kāi)式來(lái)近似目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求解該二次函數(shù)的最小值點(diǎn)來(lái)確定下一個(gè)迭代點(diǎn)。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)J(y)在點(diǎn)y^{(k)}處的二階泰勒展開(kāi)式為J(y)\approxJ(y^{(k)})+\nablaJ(y^{(k)})^T(y-y^{(k)})+\frac{1}{2}(y-y^{(k)})^TH(y^{(k)})(y-y^{(k)})，其中H(y^{(k)})是目標(biāo)函數(shù)在y^{(k)}處的Hessian矩陣。令該二次函數(shù)關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)為零，即\nablaJ(y^{(k)})+H(y^{(k)})(y-y^{(k)})=0，求解得到搜索方向d^{(k)}=-H(y^{(k)})^{-1}\nablaJ(y^{(k)})，新的迭代點(diǎn)更新為y^{(k+1)}=y^{(k)}+d^{(k)}。牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，具有二階收斂性，即在接近最優(yōu)解時(shí)，迭代點(diǎn)能夠迅速逼近最優(yōu)解。這是因?yàn)榕ｎD法利用了目標(biāo)函數(shù)的二階信息，能夠更好地捕捉目標(biāo)函數(shù)的曲率變化，從而更快地找到最優(yōu)解。在一些具有較好的二次性質(zhì)的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中，牛頓法表現(xiàn)出非常優(yōu)越的性能。然而，牛頓法也存在一些局限性。它需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣及其逆矩陣，這在計(jì)算上是非常復(fù)雜和昂貴的，特別是當(dāng)問(wèn)題的維度較高時(shí)，計(jì)算Hessian矩陣及其逆矩陣的時(shí)間和空間復(fù)雜度都很高。牛頓法對(duì)初始點(diǎn)的要求較高，如果初始點(diǎn)選擇不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致算法不收斂或者收斂到局部非最優(yōu)解。擬牛頓法：擬牛頓法是為了克服牛頓法計(jì)算Hessian矩陣及其逆矩陣的困難而發(fā)展起來(lái)的一類(lèi)算法。它通過(guò)構(gòu)造一個(gè)近似的Hessian矩陣或者其逆矩陣來(lái)替代真實(shí)的Hessian矩陣，從而降低計(jì)算復(fù)雜度。常見(jiàn)的擬牛頓法有DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell算法）和BFGS算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno算法）。以BFGS算法為例，它通過(guò)迭代更新一個(gè)近似的Hessian矩陣B^{(k)}，使得B^{(k)}逐漸逼近真實(shí)的Hessian矩陣。在第k次迭代時(shí)，搜索方向d^{(k)}=-B^{(k)}^{-1}\nablaJ(y^{(k)})，步長(zhǎng)\alpha^{(k)}通過(guò)線(xiàn)搜索方法確定，新的迭代點(diǎn)更新為y^{(k+1)}=y^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)}。然后，根據(jù)迭代前后的梯度和變量變化信息，更新近似Hessian矩陣B^{(k)}。擬牛頓法結(jié)合了梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)，既具有較快的收斂速度，又不需要計(jì)算復(fù)雜的Hessian矩陣及其逆矩陣，計(jì)算效率較高。它對(duì)初始點(diǎn)的要求相對(duì)較低，在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出較好的性能。然而，擬牛頓法的收斂性依賴(lài)于近似Hessian矩陣的構(gòu)造和更新策略，如果構(gòu)造不當(dāng)，可能會(huì)影響算法的收斂速度和穩(wěn)定性。在處理一些具有強(qiáng)非線(xiàn)性和復(fù)雜約束條件的問(wèn)題時(shí)，擬牛頓法的性能可能會(huì)受到一定的影響。內(nèi)點(diǎn)法：內(nèi)點(diǎn)法是一種求解帶約束非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的有效算法。它的基本思想是通過(guò)引入一個(gè)障礙函數(shù)，將有約束的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，并且保證迭代點(diǎn)始終在可行域內(nèi)部。對(duì)于非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題\min_{y}J(y)，\text{s.t.}c_{eq}(y)=0，c(y)\leq0，構(gòu)造障礙函數(shù)P(y,\mu)=J(y)+\mu\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{c_i(y)}（對(duì)于不等式約束c_i(y)\leq0），其中\(zhòng)mu是一個(gè)大于零的參數(shù)，稱(chēng)為障礙因子。隨著迭代的進(jìn)行，逐漸減小\mu的值，使得障礙函數(shù)的解逐漸逼近原問(wèn)題的解。在每次迭代中，通過(guò)求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題\min_{y}P(y,\mu)來(lái)得到新的迭代點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是能夠有效地處理約束條件，特別是對(duì)于不等式約束較多的問(wèn)題，具有較好的收斂性和穩(wěn)定性。它可以在可行域內(nèi)平滑地搜索最優(yōu)解，避免了在邊界上的復(fù)雜計(jì)算和可能出現(xiàn)的數(shù)值問(wèn)題。在一些大規(guī)模的線(xiàn)性規(guī)劃和非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中，內(nèi)點(diǎn)法表現(xiàn)出良好的性能。然而，內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，每次迭代都需要求解一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，計(jì)算量較大。它對(duì)初始點(diǎn)的選擇也有一定的要求，需要在可行域內(nèi)選擇合適的初始點(diǎn)，否則可能會(huì)影響算法的收斂速度和結(jié)果。四、不同類(lèi)型最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值求解實(shí)例4.1飛行器航跡規(guī)劃問(wèn)題4.1.1問(wèn)題描述與建模飛行器航跡規(guī)劃旨在復(fù)雜的環(huán)境條件下，為飛行器規(guī)劃出一條從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最優(yōu)飛行路徑，同時(shí)需滿(mǎn)足飛行器自身性能限制、飛行環(huán)境約束以及任務(wù)特定要求等多方面的約束條件。在實(shí)際飛行過(guò)程中，飛行器會(huì)受到多種因素的影響，如地形地貌、氣象條件、敵方防御系統(tǒng)等，這些因素增加了航跡規(guī)劃的復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性。在軍事應(yīng)用中，飛行器需要穿越敵方防御區(qū)域執(zhí)行任務(wù)，必須避開(kāi)敵方雷達(dá)探測(cè)范圍，同時(shí)要考慮自身的燃料限制，以確保能夠順利完成任務(wù)并安全返回。在民用航空領(lǐng)域，客機(jī)的航跡規(guī)劃需要考慮空中交通管制規(guī)則、氣象條件（如強(qiáng)風(fēng)、雷雨區(qū)等），以保證飛行的安全和準(zhǔn)時(shí)性。為了對(duì)飛行器航跡規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，我們首先明確系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量。通常，狀態(tài)變量x(t)可選取為飛行器的位置（三維坐標(biāo)x_1,x_2,x_3）、速度（三維分量v_1,v_2,v_3）等，即x(t)=[x_1(t),x_2(t),x_3(t),v_1(t),v_2(t),v_3(t)]^T。控制變量u(t)可以是飛行器的發(fā)動(dòng)機(jī)推力、舵面偏轉(zhuǎn)角度等控制指令，例如u(t)=[T(t),\delta_1(t),\delta_2(t),\delta_3(t)]^T，其中T(t)表示發(fā)動(dòng)機(jī)推力，\delta_1(t),\delta_2(t),\delta_3(t)分別表示不同舵面的偏轉(zhuǎn)角度?；谂ｎD運(yùn)動(dòng)定律，飛行器的運(yùn)動(dòng)方程可描述為：\begin{cases}\dot{x}_1(t)=v_1(t)\\\dot{x}_2(t)=v_2(t)\\\dot{x}_3(t)=v_3(t)\\\dot{v}_1(t)=\frac{T(t)\cos(\delta_1(t))\cos(\delta_2(t))}{m}+g_1(t)\\\dot{v}_2(t)=\frac{T(t)\cos(\delta_1(t))\sin(\delta_2(t))}{m}+g_2(t)\\\dot{v}_3(t)=\frac{T(t)\sin(\delta_1(t))}{m}+g_3(t)\end{cases}其中，m為飛行器的質(zhì)量，g_1(t),g_2(t),g_3(t)分別為重力加速度在三個(gè)方向上的分量，它們是時(shí)間t的函數(shù)，與飛行器所處的位置和飛行姿態(tài)有關(guān)。性能指標(biāo)函數(shù)是衡量航跡優(yōu)劣的關(guān)鍵，根據(jù)具體任務(wù)需求，可選擇不同的性能指標(biāo)。常見(jiàn)的性能指標(biāo)包括飛行時(shí)間最短、燃料消耗最少、飛行路徑最短等。若以燃料消耗最少為目標(biāo)，性能指標(biāo)函數(shù)J可表示為：J=\int_{t_0}^{t_f}\alpha(T(t))dt其中，\alpha(T(t))是與發(fā)動(dòng)機(jī)推力T(t)相關(guān)的燃料消耗函數(shù)，它反映了發(fā)動(dòng)機(jī)在不同推力水平下的燃料消耗率，通常是一個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)，可通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)的性能參數(shù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。約束條件是飛行器航跡規(guī)劃中不可忽視的重要部分，它涵蓋了多個(gè)方面。初始狀態(tài)約束規(guī)定了飛行器在起始時(shí)刻的位置和速度，即x(t_0)=x_0，其中x_0=[x_{10},x_{20},x_{30},v_{10},v_{20},v_{30}]^T為給定的初始狀態(tài)向量。終端狀態(tài)約束則確定了飛行器在目標(biāo)時(shí)刻應(yīng)達(dá)到的位置和速度，如x(t_f)=x_f，其中x_f=[x_{1f},x_{2f},x_{3f},v_{1f},v_{2f},v_{3f}]^T為目標(biāo)狀態(tài)向量。路徑約束主要包括飛行器的飛行性能限制和環(huán)境約束。飛行器的飛行性能限制包括最大速度限制v_{max}，即\sqrt{v_1^2(t)+v_2^2(t)+v_3^2(t)}\leqv_{max}，以確保飛行器在安全速度范圍內(nèi)飛行；最大爬升/俯沖角限制\theta_{max}，它限制了航跡在垂直平面內(nèi)上升和下滑的最大角度，可表示為\arctan(\frac{\dot{v}_3(t)}{\sqrt{\dot{v}_1^2(t)+\dot{v}_2^2(t)}})\leq\theta_{max}；最大轉(zhuǎn)彎角限制\varphi_{max}，限制生成的航跡只能在小于或等于預(yù)先確定的最大角度范圍內(nèi)轉(zhuǎn)彎，其數(shù)學(xué)表達(dá)式與飛行器的角速度和線(xiàn)速度相關(guān)；最小航跡段長(zhǎng)度限制l_{min}，限制了無(wú)人機(jī)在開(kāi)始改變飛行姿態(tài)之前必須直飛的最短距離，可通過(guò)位置和速度的關(guān)系進(jìn)行描述。環(huán)境約束則考慮了飛行環(huán)境中的各種限制因素。例如，在軍事飛行中，要避開(kāi)敵方雷達(dá)探測(cè)區(qū)域，可通過(guò)定義雷達(dá)探測(cè)范圍的邊界函數(shù)r_{detect}(x_1(t),x_2(t),x_3(t))，并設(shè)置約束條件r_{detect}(x_1(t),x_2(t),x_3(t))\geqr_{safe}，其中r_{safe}為安全距離，確保飛行器在飛行過(guò)程中不會(huì)進(jìn)入敵方雷達(dá)的有效探測(cè)范圍。在民用航空中，需要避開(kāi)禁飛區(qū)域，禁飛區(qū)域可通過(guò)多邊形或其他幾何形狀進(jìn)行定義，通過(guò)判斷飛行器的位置是否在禁飛區(qū)域內(nèi)來(lái)設(shè)置相應(yīng)的約束條件。4.1.2基于正交配置的數(shù)值求解過(guò)程在對(duì)飛行器航跡規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模后，利用正交配置法將連續(xù)的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，進(jìn)而求解得到最優(yōu)航跡。首先，對(duì)時(shí)間區(qū)間[t_0,t_f]進(jìn)行離散化處理。將其劃分為N個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]，k=0,1,\cdots,N-1，子區(qū)間長(zhǎng)度h_k=t_{k+1}-t_{k}。在每個(gè)子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，運(yùn)用正交配置法。選擇勒讓德多項(xiàng)式的根作為配置點(diǎn)\tau_{i}，i=1,\cdots,n，其中n為配置點(diǎn)的個(gè)數(shù)。通過(guò)這些配置點(diǎn)，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)近似狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)。在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，狀態(tài)變量x(t)近似表示為x(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}L_{i}(\tau)，其中x_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的狀態(tài)變量值，L_{i}(\tau)是拉格朗日插值基函數(shù)，滿(mǎn)足L_{i}(\tau_{j})=\delta_{ij}（\delta_{ij}為克羅內(nèi)克符號(hào)，i=j時(shí)，\delta_{ij}=1；i\neqj時(shí)，\delta_{ij}=0），\tau通過(guò)線(xiàn)性變換\tau=\frac{2(t-t_{k})}{t_{k+1}-t_{k}}-1與時(shí)間t相關(guān)聯(lián)，取值范圍為[-1,1]。同理，控制變量u(t)近似表示為u(t)\approx\sum_{i=1}^{n}u_{k,i}L_{i}(\tau)，其中u_{k,i}是在配置點(diǎn)\tau_{i}處的控制變量值。將狀態(tài)變量和控制變量的近似表達(dá)式代入飛行器的運(yùn)動(dòng)方程中。對(duì)x(t)的近似表達(dá)式求導(dǎo)，得到\dot{x}(t)\approx\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau)，將其與運(yùn)動(dòng)方程的右側(cè)表達(dá)式聯(lián)立，在每個(gè)配置點(diǎn)\tau_{i}處得到一組代數(shù)方程：\begin{cases}\sum_{i=1}^{n}x_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau_{i})=\sum_{i=1}^{n}v_{k,i}L_{i}(\tau_{i})\\\sum_{i=1}^{n}v_{k,i}\dot{L}_{i}(\tau_{i})=\frac{\sum_{i=1}^{n}T_{k,i}L_{i}(\tau_{i})\cos(\sum_{i=1}^{n}\delta_{1k,i}L_{i}(\tau_{i}))\cos(\sum_{i=1}^{n}\delta_{2k,i}L_{i}(\tau_{i}))}{m}+g_1(t_{k}+\frac{h_k}{2}(1+\tau_{i}))\\\cdots\end{cases}這些代數(shù)方程構(gòu)成了離散化后的狀態(tài)方程約束。對(duì)于性能指標(biāo)函數(shù)J=\int_{t_0}^{t_f}\alpha(T(t))dt，利用數(shù)值積分方法（如高斯積分法）進(jìn)行近似計(jì)算。在子區(qū)間[t_{k},t_{k+1}]上，積分項(xiàng)近似為\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}\alpha(T(t))dt\approx\frac{h_k}{2}\sum_{i=1}^{n}w_{i}\alpha(\sum_{i=1}^{n}T_{k,i}L_{i}(\tau_{i}))，其中w_{i}是高斯積分的權(quán)重。將各個(gè)子區(qū)間上的近似積分值相加，得到離散化后的性能指標(biāo)函數(shù)。初始狀態(tài)約束x(t_0)=x_0轉(zhuǎn)化為x_{0,1}=x_0，因?yàn)樵诘谝粋€(gè)子區(qū)間的起始點(diǎn)，配置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量值就是初始狀態(tài)。終端狀態(tài)約束x(t_f)=x_f轉(zhuǎn)化為x_{N,n}=x_f，即在最后一個(gè)子區(qū)間的最后一個(gè)配置點(diǎn)處，狀態(tài)變量值應(yīng)等于目標(biāo)狀態(tài)。路徑約束在每個(gè)配置點(diǎn)處進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)于最大速度限制\sqrt{v_1^2(t)+v_2^2(t)+v_3^2(t)}\leqv_{max}，在配置點(diǎn)\tau_{i}處轉(zhuǎn)化為\sqrt{(\sum_{i=1}^{n}v_{1k,i}L_{i}(\tau_{i}))^2+(\sum_{i=1}^{n}v_{2k,i}L_{i}(\tau_{i}))^2+(\sum_{i=1}^{n}v_{3k,i}L_{i}(\tau_{i}))^2}\leqv_{max}。對(duì)于其他路徑約束，如最大爬升/俯沖角限制、最大轉(zhuǎn)彎角限制、最小航跡段長(zhǎng)度限制以及環(huán)境約束等，也按照類(lèi)似的方式在配置點(diǎn)處進(jìn)行轉(zhuǎn)化和檢驗(yàn)。經(jīng)過(guò)上述步驟，原連續(xù)的飛行器航跡規(guī)劃最優(yōu)控制問(wèn)題就被轉(zhuǎn)化為一個(gè)離散形式的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。該非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的決策變量為x_{k,i}和u_{k,i}，目標(biāo)函數(shù)為離散化后的性能指標(biāo)函數(shù)J，約束條件包括離散化后的狀態(tài)方程約束、初始狀態(tài)約束、終端狀態(tài)約束和路徑約束?？梢允褂贸墒斓姆蔷€(xiàn)性規(guī)劃算法，如序列二次規(guī)劃算法（SQP）進(jìn)行求解。在實(shí)際求解過(guò)程中，首先需要確定非線(xiàn)性規(guī)劃算法的初始值?？梢愿鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)或簡(jiǎn)單的啟發(fā)式方法，為決策變量x_{k,i}和u_{k,i}提供一組初始猜測(cè)值。然后，將離散化后的目標(biāo)函數(shù)和約束條件輸入到序列二次規(guī)劃算法中。在算法迭代過(guò)程中，通過(guò)不斷調(diào)整決策變量的值，使得目標(biāo)函數(shù)值逐漸減小，同時(shí)滿(mǎn)足所有的約束條件。每次迭代時(shí)，算法會(huì)根據(jù)當(dāng)前的決策變量值計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度和Hessian矩陣（或近似Hessian矩陣），并利用這些信息確定搜索方向和步長(zhǎng)，以更新決策變量的值。經(jīng)過(guò)若干次迭代后，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值收斂到一定精度范圍內(nèi)，或者滿(mǎn)足其他收斂條件時(shí)，算法停止迭代，得到的決策變量值即為飛行器在各個(gè)配置點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量的近似最優(yōu)值。最后，通過(guò)拉格朗日插值多項(xiàng)式，根據(jù)這些