2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期高三10月學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】對(duì)于集合，由于，解得，則，對(duì)于集合，由于，即，則，所以；故選：A2.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則，解得.故選：D.3.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，由可得，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，由可得，所以由推不出，即充分性不成立；由推出，即必要性成立；所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B4.已知，則的最小值為（）A.12 B.16 C.18 D.20【答案】B【詳解】已知，則有，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16.故選：B5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C.和 D.【答案】C【詳解】的定義域?yàn)椋深}得，令，得，因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選：C.6.高斯，著名數(shù)學(xué)家、文學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由，可得，則可化為：，令得：，再令，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以，，只需.故選：D7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】已知，，則，，即，則，所以.故選：B．8.已知函數(shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為．現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意得，根據(jù)的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，可得的周期，所以，可得.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），可得的圖象，方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為和的圖象在區(qū)間上有且只有2個(gè)交點(diǎn)．由可得根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，作出函數(shù)的大致圖象如下：結(jié)合圖象，可得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：A二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)，滿足等式，則下列式子可以成立的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【詳解】實(shí)數(shù)，滿足等式，即在處的函數(shù)值和在處的函數(shù)值相等，做出和兩個(gè)函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)C選項(xiàng)成立；做出直線，此時(shí)，可得，，滿足，由圖象知，時(shí)，都有，由此知B選項(xiàng)成立；作出直線，此時(shí)，可得，，滿足，由圖象知，時(shí)，都有，由此知D選項(xiàng)成立.故選：BCD.10.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期是 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C. D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【詳解】函數(shù)的最小正周期是，函數(shù)圖象軸上及上方部分不變，軸下方的部分翻折到上方，得函數(shù)的圖象，則的最小正周期是，A選項(xiàng)正確；函數(shù)的圖象都在軸上及軸上方，不可能關(guān)于軸上的點(diǎn)中心對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，，有，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，結(jié)合圖像的翻折可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)與曲線相切的直線有且只有1條【答案】ABD詳解】對(duì)于A，，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，由于，則，所以成立，故B正確；對(duì)于C，由關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，得有兩個(gè)不等實(shí)根，整理得，則，即，令函數(shù)，則即為，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，由A選項(xiàng)知，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，而時(shí)，，時(shí)，，而有兩個(gè)根，必有，解得，所以a的取值范圍為，C不正確．對(duì)于D，當(dāng)時(shí),，函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則在處，的切線方程為：，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，此方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，此方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，滿足要求，因此方程只有這1個(gè)解，即過(guò)原點(diǎn)有且僅有一條直線與曲線相切，故D正確；故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.已知，則______．【答案】【詳解】由題可得：，因，所以，則，即，所以，故答案為：13.已知集合，，且，則______．【答案】【詳解】解不等式，等價(jià)于，即，解得，所以，因?yàn)?，所以不等式解為，則一元二次方程的兩根為，，，解得，，解得，.故答案為：.14.已知函數(shù)和的定義域均為，且，，若是偶函數(shù)，則______．【答案】8100【詳解】是偶函數(shù)，，，，，，，將換為，，將和這兩個(gè)等式相加，得，將換為，得，則有，得，將換為，得，的周期為4，，，，，，，的周期為4，，，，，，，將和兩個(gè)式子相加，得，.故答案為：8100.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極小值，求實(shí)數(shù)，的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1），；（2）分類(lèi)討論，答案見(jiàn)解析.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，，由題意知，，即，解得，．此時(shí)，，令，得或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取極小值．所以，．【小問(wèn)2詳解】，令，得，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．16.如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)在上，且，．（1）若點(diǎn)在上，且滿足，求證：平面；（2）若平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【小問(wèn)1詳解】在線段上取點(diǎn)，使得，連接，，因?yàn)?，所以，，又，，，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，，，故，，所以，四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)槠矫?，而，平面，故，．所以，，又，所以，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由可得，取，所以，，所以所以直線與平面所成角的正弦值為．17.2025年春節(jié)假期，文旅市場(chǎng)火爆．文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示：春節(jié)假期8天，全國(guó)國(guó)內(nèi)出游5.01億人次，同比增長(zhǎng)；國(guó)內(nèi)出游總花費(fèi)6770.02億元，同比增長(zhǎng)．某景區(qū)的某網(wǎng)紅飲品小店統(tǒng)計(jì)了春節(jié)假期前7天的營(yíng)業(yè)額（單位：千元），得到與的數(shù)據(jù)如表所示：第天1234567營(yíng)業(yè)額791113161817（1）已知與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)春節(jié)假期第8天的營(yíng)業(yè)額；（2）如果某天營(yíng)業(yè)額大于10（單位：千元），則該天“達(dá)標(biāo)”，從表格中的7組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選4組，設(shè)表示“達(dá)標(biāo)”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：在線性回歸方程中，，．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1），千元（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，，則，，可知線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)春節(jié)假期第8天的營(yíng)業(yè)額為千元．【小問(wèn)2詳解】由題意可知的所有可能取值為：2，3，4，則，，，所以的分布列為234的數(shù)學(xué)期望為．18.定義在上的函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時(shí)，若在處取最大值．①求；②關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，，求的值．【答案】（1）（2）①2；②.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?；【小?wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，，其中，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)，所以；②由題知，，由①知故方程的兩解滿足：，即，且；又由①知，.所以；由知，所以；所以．19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，求證：存在無(wú)數(shù)個(gè)的值，使得有兩個(gè)極值點(diǎn)．【答案】（1）；（2）或；（3）證明見(jiàn)解析.【小問(wèn)1詳解】由題知，所以切點(diǎn)為，又由，得，則切線的斜率為0，所以切線方程為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)闉閱握{(diào)函數(shù)，或在上恒成立，所以的取值范圍為：或；【小問(wèn)