2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模初步試題（二）一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，首要步驟是（）A.編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序B.分析問(wèn)題背景與目標(biāo)C.繪制數(shù)據(jù)可視化圖表D.求解數(shù)學(xué)方程在超市購(gòu)物時(shí)，若要根據(jù)商品單價(jià)、重量和保質(zhì)期選擇最優(yōu)組合，這類(lèi)問(wèn)題屬于（）A.預(yù)測(cè)模型B.優(yōu)化模型C.分類(lèi)模型D.評(píng)價(jià)模型下列哪種方法適用于處理具有周期性變化的數(shù)據(jù)（如季節(jié)氣溫變化）（）A.線(xiàn)性回歸B.移動(dòng)平均法C.季節(jié)性分解法D.蒙特卡洛模擬數(shù)學(xué)建模中"合理假設(shè)"的主要目的是（）A.使模型結(jié)果與真實(shí)值完全一致B.簡(jiǎn)化問(wèn)題，降低建模難度C.增加模型的復(fù)雜程度D.避免進(jìn)行數(shù)據(jù)收集某同學(xué)記錄了一周內(nèi)每天的體溫?cái)?shù)據(jù)（單位：℃）：36.5,36.7,36.6,36.8,36.7,36.9,36.8，若采用移動(dòng)平均法預(yù)測(cè)下一天體溫，取窗口大小為3時(shí)，預(yù)測(cè)值為（）A.36.7B.36.8C.36.83D.36.9在回歸分析中，決定系數(shù)R2=0.85表示（）A.自變量解釋了85%的因變量變化B.模型預(yù)測(cè)誤差為85%C.自變量與因變量呈負(fù)相關(guān)D.數(shù)據(jù)中有85%是異常值下列屬于數(shù)學(xué)建模常用軟件的是（）A.PhotoshopB.ExcelC.微信D.抖音用層次分析法評(píng)價(jià)學(xué)校食堂菜品時(shí)，若"口味"比"價(jià)格"的重要性為"稍重要"，則成對(duì)比較矩陣中對(duì)應(yīng)元素的值為（）A.1/3B.1C.3D.5蒙特卡洛方法的核心思想是（）A.通過(guò)求解微分方程得到精確解B.利用隨機(jī)抽樣模擬復(fù)雜過(guò)程C.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序后取中位數(shù)D.計(jì)算數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際偏差較大，最合理的處理方式是（）A.直接放棄該模型B.修改原始數(shù)據(jù)使結(jié)果吻合C.檢查假設(shè)條件，優(yōu)化模型結(jié)構(gòu)D.增加模型中的變量數(shù)量二、填空題（每空2分，共20分）數(shù)學(xué)建模的基本流程包括：?jiǎn)栴}分析→→模型構(gòu)建→→模型檢驗(yàn)與優(yōu)化。數(shù)據(jù)預(yù)處理中，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)化方法是______。線(xiàn)性規(guī)劃模型的三要素是：目標(biāo)函數(shù)、和。某城市2020-2024年的人口數(shù)（單位：萬(wàn)人）分別為120,125,132,140,150，使用線(xiàn)性回歸預(yù)測(cè)2025年人口時(shí)，需先建立______關(guān)于______的函數(shù)關(guān)系。在時(shí)間序列分析中，______法適用于數(shù)據(jù)波動(dòng)較小的短期預(yù)測(cè)，而______法更適合處理具有趨勢(shì)性的數(shù)據(jù)。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，論文的______部分需清晰說(shuō)明模型的假設(shè)條件和理論依據(jù)。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共20分）簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)系，并舉例說(shuō)明為什么需要對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。某班級(jí)計(jì)劃組織研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有A、B、C三個(gè)目的地備選，需考慮距離（km）、費(fèi)用（元/人）、學(xué)生興趣度（滿(mǎn)分10分）三個(gè)因素，數(shù)據(jù)如下表：目的地距離費(fèi)用興趣度A501208B801509C601007若采用加權(quán)評(píng)分法，三個(gè)因素的權(quán)重分別為0.3、0.4、0.3，計(jì)算各目的地的綜合得分并確定最佳方案。四、建模應(yīng)用題（30分）校園共享單車(chē)投放優(yōu)化問(wèn)題背景：某校計(jì)劃在東西兩個(gè)校區(qū)投放共享單車(chē)，已知：東校區(qū)師生人數(shù)8000人，西校區(qū)5000人；每輛單車(chē)日均使用次數(shù)約5次，每次使用時(shí)長(zhǎng)30分鐘；單車(chē)成本為200元/輛，日均維護(hù)費(fèi)2元/輛；學(xué)校要求日均總收益不低于3000元（收益=使用收入-維護(hù)成本，假設(shè)每次使用收費(fèi)1元）；東西校區(qū)投放比例需滿(mǎn)足1:1至2:1之間。問(wèn)題：（1）設(shè)東校區(qū)投放x輛，西校區(qū)投放y輛，列出該問(wèn)題的約束條件（不需求解）；（10分）（2）若僅考慮師生人數(shù)與投放量的關(guān)系，建立簡(jiǎn)單的比例分配模型，計(jì)算兩個(gè)校區(qū)的投放數(shù)量；（10分）（3）實(shí)際投放時(shí)可能遇到哪些不確定因素？如何在模型中體現(xiàn)這些因素？（10分）五、開(kāi)放性試題（20分）家庭用電量預(yù)測(cè)模型請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)預(yù)測(cè)家庭日用電量的數(shù)學(xué)模型，要求：（1）明確模型的假設(shè)條件（至少3條）；（2）確定影響用電量的主要因素（至少4個(gè)）；（3）選擇合適的建模方法并說(shuō)明理由；（4）寫(xiě)出模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式（用符號(hào)表示變量）。（注：無(wú)需求解模型，只需闡述建模思路）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（附后）一、單項(xiàng)選擇題1-5:BBCBB6-10:ABCCC二、填空題模型假設(shè)模型求解Z-score標(biāo)準(zhǔn)化決策變量約束條件人口數(shù)年份移動(dòng)平均線(xiàn)性回歸問(wèn)題重述三、簡(jiǎn)答題關(guān)系：數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象與簡(jiǎn)化，反映問(wèn)題本質(zhì)規(guī)律但非完全復(fù)制。（4分）簡(jiǎn)化原因示例：研究拋射體運(yùn)動(dòng)時(shí)，忽略空氣阻力；分析人口增長(zhǎng)時(shí)，假設(shè)出生率和死亡率為常數(shù)。（6分）綜合得分計(jì)算：A:50×0.3+120×0.4+8×0.3=15+48+2.4=65.4B:80×0.3+150×0.4+9×0.3=24+60+2.7=86.7C:60×0.3+100×0.4+7×0.3=18+40+2.1=60.1最佳方案為B目的地。（10分，計(jì)算過(guò)程6分，結(jié)論4分）四、建模應(yīng)用題（1）約束條件：x/y∈[1,2]（投放比例）5(x+y)-2(x+y)≥3000（收益約束）x,y≥0且為整數(shù)（非負(fù)約束）（10分，每個(gè)條件3分，全對(duì)加1分）（2）比例分配模型：總投放量按人數(shù)比例分配，東:西=8:5設(shè)東校區(qū)投放8k輛，西校區(qū)5k輛，k為正整數(shù)（5分）示例解：若總投放260輛，則東校區(qū)160輛，西校區(qū)100輛（5分）（3）不確定因素及處理：天氣影響使用需求：加入天氣系數(shù)（晴雨天調(diào)整使用次數(shù)）師生出行習(xí)慣變化：定期更新模型參數(shù)單車(chē)故障概率：增加備用車(chē)輛投放比例（10分，因素列舉4分，處理方法6分）五、開(kāi)放性試題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)條件（6分）：如"忽略突發(fā)停電影響""家庭成員數(shù)量穩(wěn)定""電器功率不變"等影響因素（6分）：如"氣溫""家庭成員數(shù)""用電設(shè)備數(shù)量""電價(jià)政策"等建模方法（4分）：如多元線(xiàn)性回歸（因素與用電量呈線(xiàn)性關(guān)系）、時(shí)間序列分析（歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)）等數(shù)學(xué)表達(dá)式（4分）：如y=a?x?+a?x?+...+a?x?+b（y為用電量