排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法一、元素分析思想1.把4名實習(xí)生分配到5個車間實習(xí)共有種不同方法．2.甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是()A．180 B．210 C．360 D．729二、位置分析思想1.有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機和一名售票員，則可能的分配方法有()A．種 B．種C．種 D．種2.6個人排成前后兩排，每排3個人，那么不同的排法種數(shù)是()A.36種B.120種C.720種D.1440種3.8個同學(xué)排成前后兩排，每排4個同學(xué)，其中甲、乙要排在前排，丙排在后排，有種不同排法.三、相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列．1.記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種2.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有()A．60種B．48種C．36種D．24種3.有5名同學(xué)站成一排照相，則甲與乙且甲與丙都相鄰的不同排法種數(shù)是()A．8 B．12C．36 D．48四、相離問題插空法：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端．1.8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()A．B．C．D．2.已知集合，集合，且，若，則滿足條件的集合有個.3.某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為種.4.將個座位連成一排，安排個人就坐，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有()A． B． C． D．5.安排5位同學(xué)站成一排照相，若甲同學(xué)與乙同學(xué)相鄰，且甲同學(xué)與丙同學(xué)不相鄰，則不同的擺法數(shù)為()A．36 B．30 C．24 D．20五、定序問題消序法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法．1.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是()A．24種B．60種C．90種D．120種2.將六個字母排成一排，且均在的同側(cè)，則不同的排法共有種3.某工程隊有5項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后立即進(jìn)行．那么安排這5項工程的不同排法種數(shù)是()A．6 B．12 C．16 D．20六、保持順序分次插空法1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為種.2.12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排（這樣就成為前排6人，后排6人）若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A． B． C． D．七、選擇問題：注意選擇范圍，同一范圍內(nèi)選擇組合分次選可能會夾帶順序1.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法有()A．6種B．12種C．30種D．36種2.學(xué)校組織同學(xué)參加社會調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)，現(xiàn)從該小組中選出3位同學(xué)分別到三地進(jìn)行社會調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，則不同安排方法有()A．種B．種C．種D．種3.現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色、黃色、綠色、藍(lán)色卡片各3張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且藍(lán)色卡片至多1張．則不同的取法共有()A．135 B．172 C．189 D．2164.從3名語文老師、4名數(shù)學(xué)老師和5名英語老師中選派5人組成一個支教小組，則語文、數(shù)學(xué)和英語老師都至少有1人的選派方法種數(shù)是()A．590B．570C．360D．2105.25人排成5×5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有種．6.在的棋盤中，放入顆黑子和顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，則不同的排列方法種數(shù)為()A． B． C． D．八、分配問題分組法:一般是先分組，再分配，注意平均分配的情況，亦可用位置分析法．1.5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()A．480種B．240種C．120種D．96種2.四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有種．3.12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有()A．種B．種C．種D．種4.某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，要求每位同學(xué)僅報一科，每科至少有一位同學(xué)參加，且甲、乙不能參加同一學(xué)科，則不同的安排方法有()A．種B．C．種D．種5.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排名大學(xué)生到個學(xué)校進(jìn)行支教活動，每個學(xué)校至少安排人，其中甲校至少要安排名大學(xué)生，則不同的安排方法共有()種A． B． C． D．6.將4名醫(yī)生和8名護士分配到4個病房工作，每個病房分別有1名醫(yī)生和2名護士，則可能的分配方案種數(shù)是（）A． B．C． D．7.某醫(yī)院扻派名內(nèi)科醫(yī)生、名外科醫(yī)生和名護士共人組成兩個醫(yī)療分隊，分別到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個分隊各個人且都必需有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案()A．種 B．種 C．種 D．種九、名額分配問題隔板法1．10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有種不同分配方案．2.學(xué)校決定把12個參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個班級.要求每個班分得的名額不比班級序號少；即二(1)班至少1個名額，二(2)班至少2個名額,,……，則分配方案有()A．10種 B．6種 C．165種 D．495種3．將18個參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3個學(xué)校，要求每校至少有一個名額且各校分配的名額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為()A．96 B．114 C．128 D．136十、交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式1．從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有種不同的參賽方案.2.學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選，那么不同的組隊形式有種．十一、有相同元素的排列1.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．92.一個質(zhì)點從原點出發(fā)，每秒末必須向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質(zhì)點在第秒末到達(dá)點的跳法共有()A． B． C． D．3.把座位編號為的6張電影票分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少分一張，至多分兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同分法種數(shù)為()A．240 B．144 C．196 D．2884.現(xiàn)將張連號的門票按需求分配給個家庭，甲家庭需要張連號的門票，乙家庭需要張連號的門票，剩余的張隨機分給剩余的個家庭，則這張門票不同的分配方法的種數(shù)為()A． B． C． D．5.四根繩子上共掛有10只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1，2，3，4，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是.6.有張卡片分別寫有數(shù)字，從中任取張，可排出不同的四位數(shù)個數(shù)為()A． B． C． D．十二、多次不相鄰問題1.（2014重慶）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72 B．120 C．144 D．1682.從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是.十三、“多面手”問題1.有11名翻譯人員，其中5名是英語翻譯人員，4名是日語翻譯人員，另2人英、日語均精通.現(xiàn)從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，則有種不同的選派方法.2.某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語翻譯，小李等3名日語翻譯，另外2名既能翻譯英語又能翻譯日語，現(xiàn)需選取5名翻譯參加翻譯工作，3名翻譯英語，2名翻譯日語，且小張與小李恰有1人選中，則有種不同選取方法.十四、多重限制條件問題分類法1.（2010湖北）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是()A．152B．126C．90D．542.某電視臺的一個綜藝欄目對六個不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有()A．192種B．216種C．240種D．288種3.將5本不同的書擺成一排，若書甲與書乙必須相鄰，而書丙與書丁不能相鄰，則不同的擺法種數(shù)為()A．48B．24C．20D．124.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答)十五、方程的正整數(shù)解的個數(shù)問題：（隔板法）1.方程（，）的正整數(shù)解有個，非負(fù)整數(shù)解有個.2.將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中。①若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？②若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？③若要求每個盒子放的球的個數(shù)不小于其編號數(shù)，則一共有多少種放法？十六、配對問題1.5雙相異的鞋共10只，現(xiàn)隨機地取出6只，恰好能配成2雙鞋的取法有種.十七、全錯位問題瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用表示寫著位友人名字的信封，表示份相應(yīng)的寫好的信紙。把全錯裝的總數(shù)為記作.一般公式：常用：1.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有()A．6種B．9種C．11種D．23種2.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有種不同的方法.3.5位同學(xué)原來坐成一排，現(xiàn)讓他們重新坐，則至多有兩位同學(xué)坐在其原來的位置的不同的坐法是種.4.某人要給廚房中裝有不同調(diào)料的5個瓶子貼上對應(yīng)的標(biāo)簽，若恰好貼錯了3個，則貼錯的可能情況種數(shù)為()A．9 B．12 C．18 D．205.將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為()A． B． C． D．6.有4位同學(xué)在同一天的上午、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學(xué)測試兩個項目，分別在上午和下午，且每人上午和下午測試的項目不能相同．若上午不測“握力”，下午不測“臺階”，其余項目上午、下午都各測試一人，則不同的安排方式的種數(shù)為()A．264 B．72 C．266 D．274十八、染色問題1.如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()A．96 B．84 C．60 D．48DDBCA2.某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為()A． B． C． D．4.人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳求后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有種.5.用黑白兩種顏色隨機地染如圖所示表格中6個格子，每個格子染一種顏色，并且從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格?的染色方法種數(shù)為()A．15 B．16 C．18 D．206.在一個如圖所示的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域中種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則不同的栽種方案的總數(shù)為.7.如圖，給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.十九、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法1.設(shè)A是集合的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個數(shù)為()A．32 B．56 C．72 D．842.從1，2，3，…，20中選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個數(shù)是()A． B． C． D．3．已知正整數(shù)滿足：能整除2016，但不能整除2016，則的個數(shù)為()A．916 B．917 C．918 D．919二十、遞推問題1.10級臺階，某人可一步跨一級，也可跨兩級.(1)他6步就可上完臺階的方法數(shù)是多少？(2)他上完臺階的方法總數(shù)是多少？2.個人傳球，第一次由開始傳球，可傳給其他任意個人，第二次由拿球者再傳給其他任意一個人，如此繼續(xù)，則第次球仍回到的手中的傳球方法種數(shù)是多少？二十一、幾何問題1.以正方體的頂點為頂點的四面體共有()A、70種B、64種C、58種D、52種2.四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有()A．150種B．147種C．144種D．141種3.圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點最多有個.4.正方體8個頂點可以連成對異面直線.二十二、圓排問題單排法把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而無首位．末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，個元素的圓排列數(shù)有種．因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列．1.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有種不同站法.全錯位方法數(shù)的證明：瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用表示寫著位友人名字的信封，表示份相應(yīng)的寫好的信紙。把全錯裝的總數(shù)為記作.假設(shè)把錯裝進(jìn)里了，包含著這個錯誤的一切全錯裝法分兩類：①裝入里，這時每種錯裝的其余部分都與無關(guān)，應(yīng)有種全錯裝法。②裝入之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把（除之外的）個信紙裝入（除以外的）個信封，顯然這時全裝錯的方法有種。總之在裝入的錯誤之下，共有全錯裝法種.同理：裝入的全錯裝法也有種，裝入因此得到一個遞推公式：，分別帶入等可推得結(jié)果.也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：常用：參考答案一、元素分析思想1.6252.B二、位置分析思想1.C2.C3.5760三、相鄰問題捆綁法1.B2.D3.B四、相離問題插空法1.A2.3.204.B5.A五、定序問題縮倍法（消序）1.B2.48