第四章三角函數(shù)、解三角形第4節(jié)簡單的三角恒等變換學(xué)習(xí)導(dǎo)航站核心知識庫：重難考點總結(jié)，梳理必背知識、歸納重點考點一三角函數(shù)式的化簡★★★☆☆考點二三角函數(shù)式的求值★★★☆☆【知識拓展】和差化積與積化和差★★★☆☆考點三三角恒等變換的綜合應(yīng)用★★★☆☆（星級越高，重要程度越高）限時【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場：感知真題，檢驗成果，考點追溯考點一三角函數(shù)式的化簡★★★☆☆【典例】1化簡:(1)2cos4x?2co(2)1tanα2?tanα2·1+tan【變式訓(xùn)練】1(1)21+sin4+A.2cos2 B.2sin2C.4sin2+2cos2 D.2sin2+4cos2(2)已知0<θ<π,則(1+sinθ+cosθ)考點二三角函數(shù)式的求值★★★☆☆角度1給角求值【典例】2(1)(2025·蘭州調(diào)研)計算:12cos3πA.2 B.-12C.-1 D.-2(2)計算:(1+tan13°)(1+tan17°)(1+tan28°)·(1+tan32°)=.

角度2給值求值【典例】3(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2A.79 B.1C.-19 D.-7(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角,β為第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,則sin(α+β)=.

【知識拓展】和差化積與積化和差★★★☆☆1.教材母題人教A必修一P225【典例】8與P226練習(xí)T4,T5題給出了兩組公式:(1)積化和差公式:①sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β②cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β③cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β④sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β(2)和差化積公式:①sinθ+sinφ=2sinθ+②sinθ-sinφ=2cosθ+③cosθ+cosφ=2cosθ+④cosθ-cosφ=-2sinθ+2.應(yīng)用上述公式可實現(xiàn)三角函數(shù)式的積與和的相互轉(zhuǎn)化.【典例】(2025·廈門模擬)已知cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),則tanα=()A.33 B.-3C.3 D.-3角度3給值求角【典例】4(1)(2025·九江模擬)已知α,β∈0,π2,cos(α-β)=56,tanα·tanβ=14,則A.π3 B.πC.π6 D.(2)(2025·天津模擬)銳角α,β滿足α+2β=2π3,tanα2tanβ=2-3,則α和β中的較小角等于【變式訓(xùn)練】2(1)(2024·泰安模擬)若cosπ2+2α-4sin2α=-2,則tanA.-2 B.-12C.2 D.1(2)(2025·成都診斷)已知cos(α+2β)=56,tan(α+β)tanβ=-4,寫出符合條件的一個角α的值為.考點三三角恒等變換的綜合應(yīng)用★★★☆☆【典例】5已知函數(shù)f(x)=24sinπ4?x+(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間π4(2)若cosθ=45,θ∈3π2,2π,求【變式訓(xùn)練】3已知f(x)=sin2x?π3+23sin(1)求fπ3(2)若銳角α滿足f(α)=33,求sin2α【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）一、單選題1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinA.3?58 C.3?54 2.(2024·寶雞模擬)sin15°cos45°+sin105°sin135°=()A.12 B.C.32 3.(2025·江西紅色十校聯(lián)考)已知α為銳角,且tanα+tanπ4+α=1,A.12 B.-3C.-2 D.14.(2025·呼和浩特聯(lián)考)若α為銳角,且sinα(3·tan50°-1)=1,則α=()A.10° B.20° C.70° D.80°5.(2025·湖北重點高中聯(lián)考)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”,他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.黃金分割比t=5?12≈0.618,現(xiàn)給出三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα和二倍角公式sin2α=2sinαcosα,則t與sinA.t=52sin18° B.t=2sinC.t=5sin18° D.t=4sin18°6.(2025·廣東名校大聯(lián)考)設(shè)sin20°=m,cos20°=n,則tan10°+11?tan10°-1A.mn B.-C.nm D.-7.(2025·龍巖模擬)已知0<β<α<π2,cos(α+β)=15,sin(α-β)=45,則tanαtanA.12 B.3C.53 8.已知f(x)=sin2x+sin2(x+α)+sin2(x+β),其中α,β為參數(shù),若對?x∈R,f(x)恒為定值,則下列結(jié)論中正確的是()A.滿足題意的一組α,β可以是α=π3,β=B.α-β=πC.α+β=πD.滿足題意的一組α,β可以是α=π3,β=二、多選題9.(2025·岳陽質(zhì)檢)計算下列各式,結(jié)果為32A.sin15°cos15° B.cos215°-sin215°C.tan30°1?tan210.(2025·湖州調(diào)研)已知tanα-tanβ=tan(α-β),其中α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈A.sinαsinβ=0 B.sin(α-β)=0C.cos(α-β)=1 D.sin2α+cos2β=111.(2025·濟(jì)南質(zhì)檢)已知cos(α+β)=-55,cos2α=-513,其中α,β為銳角A.sin2α=1213 B.cos(α-β)=C.cosαcosβ=8565 D.tanαtanβ三、填空題12.求值:3?tan12°(2cos213.已知α∈0,π2,tanπ12=sinα?sinπ1214.已知α,β均為銳角,cosα=277,sinβ=3314,則cos2α=,2α-