第29頁（共29頁）2025-2026學年上學期高二數(shù)學北師大版（2019）期末必刷?？碱}之一元線性回歸一．選擇題（共6小題）1．某書店為了分析書籍銷量與宣傳投入之間的關(guān)系，對宣傳投入x（千元）和書籍銷量y（百本）的情況進行了調(diào)研，并統(tǒng)計得到如表中幾組對應數(shù)據(jù)，同時用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為y?=1.2xx3456y56.27.4mA．變量x、y之間呈正相關(guān) B．預測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為400本 C．m＝8.8 D．擬合誤差Q＝0.482．已知變量x，y的4組相關(guān)數(shù)據(jù)分別為（1，8），（2，7），（3，5），（4，4），則y關(guān)于x的線性回歸直線必經(jīng)過點（）A．（2，7） B．（2.5，6） C．（3，5） D．（3.5，4.5）3．某同學用收集到的6組數(shù)據(jù)對（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如圖所示的散點圖（點旁的數(shù)據(jù)為該點坐標），并由最小二乘法計算得到回歸直線l1的方程：y^=b^1x+a^1，相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為R12；經(jīng)過殘差分析確定點E為“離群點”（對應殘差過大的點），把它去掉后，再用剩下的A．r1＞0，r2＞0 B．b^1＞C．b^1＞b4．2023年第5屆藏博會在拉薩舉行，藏博會上本地核桃油深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量，如表所示：時間x12345銷售量y/萬瓶5.74.83.83.22.5若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y?A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關(guān) B．樣本中心點為（3，4） C．可以預測當x＝6時銷量約為1.8萬瓶 D．線性回歸方程y?=-0.85．下列命題中錯誤的是（）A．在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強 B．若變量y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且根據(jù)最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為y?=2x+a?，樣本點中心為（3，6.5），則樣本點（C．在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好 D．對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k越小，說明“X與Y有關(guān)系”的把握越大6．已知某一家旗艦店近五年“五一”黃金周期間的成交額如下表：年份20202021202220232024年份代號t12345成交額y（萬元）50607080100若y關(guān)于t的線性回歸方程為y?=12t+aA．84萬元 B．96萬元 C．108萬元 D．120萬元二．多選題（共3小題）（多選）7．下列說法正確的是（）A．若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝0.2 B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14 C．若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強 D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為y?=0.3x-m，若樣本點的中心為（m，（多選）8．下列說法正確的是（）A．對于獨立性檢驗，隨機變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越小 B．以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，將其變換后得到線性方程z＝3x+1，則c，k的值分別是e，3 C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖判斷出兩個變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y?=0.4x+a，若其中一個散點坐標為（﹣a，5.4），則a＝D．將兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）調(diào)整為（x1，y1+3），（x2，y2+3），…，（xn，yn+3），決定系數(shù)R2不變（多選）9．下列說法正確的是（）A．數(shù)據(jù)1，8，9，4，5，5，8，2，3，10的下四分位數(shù)是3 B．若隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），P（X＜﹣2）＝P（X＞4）＝0.14，則P（1＜X＜4）＝0.36 C．變量x，y滿足經(jīng)驗回歸方程為y＝0.4x﹣2m，若樣本點中心為（m，3.2），則m＝﹣4 D．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6的平均數(shù)為6，方差為10，現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)，則這8個數(shù)的方差s三．填空題（共4小題）10．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表x12345y467m8若x，y線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為y＝1.2x+n，則5n﹣m＝．11．馬鞍山市某月連續(xù)四天的最低氣溫如下表所示：第x天1234最低氣溫y（單位℃）14171514由最小二乘法得到經(jīng)驗回歸方程y?=-0.2x+a，則a的值為12．根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e①變量Y和x之間關(guān)系可以用一元線性函數(shù)模型描述．②模型誤差滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0的假設(shè)．③模型誤差不滿足一元線性回歸模型的D（e）＝σ2的假設(shè)．④模型誤差不滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假設(shè)．13．紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個）和溫度x（℃）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點圖．現(xiàn)用兩種模型①y＝ebx+a，②y＝cx2+d分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：xzti=1i=1i=1i=1252.964616842268850.470308表中zi＝lnyi；z=18i=1（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，模型比較合適？（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回歸直線v?=α?+四．解答題（共2小題）14．某奶茶連鎖店研制了新品，在五個店按不同的價格進行試銷售，通過一天的試銷售得到的數(shù)據(jù)如表：單價x（元/杯）1010.51111.512銷售量y（杯/店）3028252220通過分析，發(fā)現(xiàn)該新品的銷售量y（杯/店）與單價x（元/杯）具有線性相關(guān)關(guān)系．（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）已知此奶茶連鎖店一共有500家奶茶店，若為了提高銷量，此奶茶連鎖店規(guī)定該新品的單價是9元/杯，根據(jù)（1）所得的回歸直線方程，請估計此奶茶連鎖店關(guān)于此新品一天的總銷售量．附：在回歸直線方程y?=b?x+a15．近些年汽車市場發(fā)生了翻天覆地的變化，新能源汽車發(fā)展迅速，下表統(tǒng)計了2021年到2024年某地新能源汽車銷量（單位：千輛）年份2021202220232024年份代號x1234銷量y336993129附：相關(guān)系數(shù)r=回歸方程y?=bi=14（1）試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷該地汽車銷量y與年份代號x的線性相關(guān)性強弱（0.75≤|r|≤1，則認為y與x的線性相關(guān)性較強，|r|＜0.75，則認為y與x的線性相關(guān)性較弱）；（精確到0.001）（2）建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測該地2025年的新能源汽車銷量．

2025-2026學年上學期高二數(shù)學北師大版（2019）期末必刷常考題之一元線性回歸參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案CBDCDC二．多選題（共3小題）題號789答案ACDBDABD一．選擇題（共6小題）1．某書店為了分析書籍銷量與宣傳投入之間的關(guān)系，對宣傳投入x（千元）和書籍銷量y（百本）的情況進行了調(diào)研，并統(tǒng)計得到如表中幾組對應數(shù)據(jù)，同時用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為y?=1.2x+x3456y56.27.4mA．變量x、y之間呈正相關(guān) B．預測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為400本 C．m＝8.8 D．擬合誤差Q＝0.48【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；一元線性回歸模型．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可判斷ABC，根據(jù)擬合誤差公式可判斷D．【解答】解：對于A，由線性回歸方程為y＝1.2x+1.6可知，變量x、y之間呈正相關(guān)，故A正確；對于B，預測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為1.2×2+1.6＝4（百本），故B正確；對于C，由題意可知，x=3+4+5+64=因為線性回歸方程y＝1.2x+1.6過點（x，y），所以18.6+m4=1.2解得m＝9.4，故C錯誤；對于D，擬合誤差Q＝[5﹣（1.2×3+1.6）]2+[6.2﹣（1.2×4+1.6）]2+[7.4﹣（1.2×5+1.6）]2+[9.4﹣（1.2×6+1.6）]2＝0.48，故D正確．故選：C．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．已知變量x，y的4組相關(guān)數(shù)據(jù)分別為（1，8），（2，7），（3，5），（4，4），則y關(guān)于x的線性回歸直線必經(jīng)過點（）A．（2，7） B．（2.5，6） C．（3，5） D．（3.5，4.5）【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)線性回歸直線方程性質(zhì)可解．【解答】解：已知變量x，y的4組相關(guān)數(shù)據(jù)分別為（1，8），（2，7），（3，5），（4，4），則x=1+2+3+44=則其中心點為（2.5，6），而y關(guān)于x的線性回歸直線必經(jīng)過中心點．故選：B．【點評】本題考查線性回歸直線方程性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．某同學用收集到的6組數(shù)據(jù)對（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如圖所示的散點圖（點旁的數(shù)據(jù)為該點坐標），并由最小二乘法計算得到回歸直線l1的方程：y^=b^1x+a^1，相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為R12；經(jīng)過殘差分析確定點E為“離群點”（對應殘差過大的點），把它去掉后，再用剩下的A．r1＞0，r2＞0 B．b^1＞C．b^1＞b【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】對應思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計．【答案】D【分析】根據(jù)圖象上升，判斷正相關(guān)，根據(jù)擬合效果的優(yōu)劣判斷相關(guān)指數(shù)的大小，代入點的坐標到直線方程判斷是否在直線上，根據(jù)圖象判斷相關(guān)系數(shù)的大?。窘獯稹拷猓航Y(jié)合圖象，呈正相關(guān)，A，B正確；顯然b2＜b去掉離群點，R2約趨向于1，故R22＜R12，D錯誤；故選：D．【點評】本題考查了線性回歸方程的應用問題，也考查了相關(guān)指數(shù)的應用問題．4．2023年第5屆藏博會在拉薩舉行，藏博會上本地核桃油深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量，如表所示：時間x12345銷售量y/萬瓶5.74.83.83.22.5若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y?A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關(guān) B．樣本中心點為（3，4） C．可以預測當x＝6時銷量約為1.8萬瓶 D．線性回歸方程y?=-0.8【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】函數(shù)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】C【分析】對于A，利用表中的數(shù)據(jù)變化情況分析判斷，對于B，利用計算平均數(shù)即可求出樣本中心點，對于C，利用回歸方程可求出預測值，對于D，利用回歸方程一定過樣本中心點即可求解．【解答】解：對于選項A，由表中數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而減小，所以變量y與x負相關(guān)，故A正確；對于選項B，由表中數(shù)據(jù)可知，x=則樣本中心點為（3，4），故B正確；對于選項C，因為線性回歸方程y?=-0.8x+a所以4＝﹣0.8×3+a解得a?=所以線性回歸方程為y?=-0.8x當x＝6時，y?所以可以預測當x＝6時銷量約為1.6萬瓶，故C錯誤；對于選項D，由選項C可得a?=6.4，故故選：C．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．下列命題中錯誤的是（）A．在回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強 B．若變量y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且根據(jù)最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為y?=2x+a?，樣本點中心為（3，6.5），則樣本點（C．在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好 D．對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k越小，說明“X與Y有關(guān)系”的把握越大【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；獨立性檢驗；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì)即可求解．【解答】解：A：相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，線性相關(guān)性越強，正確；B：將樣本中心點（3，6.5）代入y?=2x+a，得6.5＝2×3+a，解得a＝0.5，方程為y?=樣本點（2.5，7）的預測值為2×2.5+0.5＝5.5，殘差7﹣5.5＝1.5，正確lC：殘差平方和越小，模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好，正確；D：分類變量X與Y的K2觀測值k越大，“X與Y有關(guān)系”的把握才越大，k越小，把握越小，錯誤．故選：D．【點評】本題考查了經(jīng)驗回歸方程，屬于基礎(chǔ)題．6．已知某一家旗艦店近五年“五一”黃金周期間的成交額如下表：年份20202021202220232024年份代號t12345成交額y（萬元）50607080100若y關(guān)于t的線性回歸方程為y?=12t+aA．84萬元 B．96萬元 C．108萬元 D．120萬元【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】C【分析】求出t，y，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點求出a?，即可求出回歸直線方程，再代入t＝6【解答】解：根據(jù)題意可知，t=15線性回歸方程為y?=12t所以72=12×3+a?，解得2025年的年份代號為6，所以當t＝6時，y?故根據(jù)回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額是108萬元．故選：C．【點評】本題考查了回歸方程，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．下列說法正確的是（）A．若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝0.2 B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14 C．若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強 D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為y?=0.3x-m，若樣本點的中心為（m，【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；命題的真假判斷與應用；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；百分位數(shù)；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】綜合題；對應思想；分析法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解．【答案】ACD【分析】由題意，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可判斷選項A；結(jié)合百分位數(shù)的定義即可判斷選項B；利用相關(guān)系數(shù)的概念即可判斷選項C；根據(jù)線性方程必過樣本點中心，將坐標代入即可判斷選項D．【解答】解：對于選項A：若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.2，故選項A正確；對于選項B：已知一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，該組數(shù)據(jù)共有10個數(shù)，因為10×60%＝6，所以第60百分位數(shù)為14+162=15，故選項對于選項C：若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強，故選項C正確；對于選項D：已知線性回歸方程為y?因為樣本點的中心為（m，2.8），所以2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，故選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)、正態(tài)曲線以及百分位數(shù)，考查了邏輯推理和運算能力．（多選）8．下列說法正確的是（）A．對于獨立性檢驗，隨機變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越小 B．以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，將其變換后得到線性方程z＝3x+1，則c，k的值分別是e，3 C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖判斷出兩個變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y?=0.4x+a，若其中一個散點坐標為（﹣a，5.4），則a＝D．將兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）調(diào)整為（x1，y1+3），（x2，y2+3），…，（xn，yn+3），決定系數(shù)R2不變【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；獨立性檢驗．【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)獨立性檢驗相關(guān)知識可解A，根據(jù)線性回歸直線方程知識可判斷B，C，根據(jù)決定系數(shù)相關(guān)知識可判斷D．【解答】解：對于A，對于獨立性檢驗，隨機變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大，故A錯誤；對于B，以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，則z＝lncekx＝kx+lnc，又變換后得到線性方程z＝3x+1，則k＝3，c＝e，故B正確；對于C，回歸直線方程為y?=0.4x+a一定經(jīng)過中心點（x，y），但題中沒有明確說明（﹣a，對于D，由于決定系數(shù)R2=1-i=1n(yi-y?從而yi-y?i，yi-y都不變，則R故選：BD．【點評】本題考查獨立性檢驗，線性回歸直線方程，決定系數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）9．下列說法正確的是（）A．數(shù)據(jù)1，8，9，4，5，5，8，2，3，10的下四分位數(shù)是3 B．若隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），P（X＜﹣2）＝P（X＞4）＝0.14，則P（1＜X＜4）＝0.36 C．變量x，y滿足經(jīng)驗回歸方程為y＝0.4x﹣2m，若樣本點中心為（m，3.2），則m＝﹣4 D．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6的平均數(shù)為6，方差為10，現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)，則這8個數(shù)的方差s【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；方差；百分位數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)定義計算即可；對于B，正態(tài)分布，利用其對稱性即可解題；對于C，根據(jù)樣本點中心為（m，3.2）在回歸方程y＝0.4x﹣2m上解題即可；對于D，用方差公式直接計算即可．【解答】解：對于選項A，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列1，2，3，4，5，5，8，8，9，10共10個數(shù)據(jù)，因為10×0.25＝2.5，所以其下四分位數(shù)是3，故A正確；對于選項B，因為P（X＜﹣2）＝P（X＞4）＝0.14，所以μ=-2+4所以P（1＜X＜4）＝0.5﹣P（X＞4）＝0.5﹣0.14＝0.36，故B正確；對于選項C，樣本點中心為（m，3.2）代入回歸方程y＝0.4x﹣2m，得3.2＝0.4m﹣2m，解得m＝﹣2，故C錯誤；對于選項D，x1+x2+…+x6＝36，16可得x1現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)后，平均數(shù)為18(x1+故選：ABD．【點評】本題主要考查了百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義，考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，以及線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）10．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表x12345y467m8若x，y線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為y＝1.2x+n，則5n﹣m＝7．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過樣本中心點(x【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，x=1+2+3+4+55因為經(jīng)驗回歸直線y?=1.2x所以25+m整理得5n﹣m＝7．故答案為：7．【點評】本題主要考查了經(jīng)驗回歸直線方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．馬鞍山市某月連續(xù)四天的最低氣溫如下表所示：第x天1234最低氣溫y（單位℃）14171514由最小二乘法得到經(jīng)驗回歸方程y?=-0.2x+a，則a的值為【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】15.5．【分析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程后可求得a的值．【解答】解：由題意可知，x=1+2+3+44因為回歸直線y?=-0.2x+a過點（x，y所以﹣0.2×2.5+a＝15，解得a＝15.5．故答案為：15.5．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e①變量Y和x之間關(guān)系可以用一元線性函數(shù)模型描述．②模型誤差滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0的假設(shè)．③模型誤差不滿足一元線性回歸模型的D（e）＝σ2的假設(shè)．④模型誤差不滿足一元線性回歸模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假設(shè)．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線；殘差及殘差圖．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維．【答案】②③．【分析】利用一元線性回歸模型Y=【解答】解：由題知，一元線性回歸模型Y=bx+根據(jù)對應的殘差圖，殘差的均值E（e）＝0可能成立，但明顯殘差的x軸上方和下方的數(shù)據(jù)分布不對稱，D（e）＝σ2不滿足一元線性回歸模型，則②和③正確，①和④錯誤．故答案為：②③．【點評】本題主要考查經(jīng)驗回歸方程，殘差及殘差圖，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．13．紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個）和溫度x（℃）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點圖．現(xiàn)用兩種模型①y＝ebx+a，②y＝cx2+d分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：xzti=1i=1i=1i=1252.964616842268850.470308表中zi＝lnyi；z=18i=1（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，模型①比較合適？（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程y?=e附：對于一組數(shù)據(jù)（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回歸直線v?=α?+【考點】殘差及殘差圖．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）選模型①比較合適；（2）y?【分析】（1）根據(jù)殘差圖判斷即可；（2）令z＝lny則z?=a?+b?x，利用參考數(shù)據(jù)求出【解答】解：（1）應該選擇模型①．由于模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②的帶狀寬度窄，所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預報精度相應就會越高，故選模型①比較合適；（2）令z＝lny，z與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則z?所以b?所以a?=z-b?x=2.89﹣0.3×25即z關(guān)于x的線性回歸方程為z?=0.29x-4.61．于是有l(wèi)ny＝所以產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為y?故答案為：①；y?【點評】本題主要考查了經(jīng)驗回歸方程的求解，考查了殘差圖的應用，屬于中檔題．四．解答題（共2小題）14．某奶茶連鎖店研制了新品，在五個店按不同的價格進行試銷售，通過一天的試銷售得到的數(shù)據(jù)如表：單價x（元/杯）1010.51111.512銷售量y（杯/店）3028252220通過分析，發(fā)現(xiàn)該新品的銷售量y（杯/店）與單價x（元/杯）具有線性相關(guān)關(guān)系．（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）已知此奶茶連鎖店一共有500家奶茶店，若為了提高銷量，此奶茶連鎖店規(guī)定該新品的單價是9元/杯，根據(jù)（1）所得的回歸直線方程，請估計此奶茶連鎖店關(guān)于此新品一天的總銷售量．附：在回歸直線方程y?=b?x+a【考點】一元線性回歸模型．【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）y＝﹣5.2x+82.2；（2）17700杯．【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得x，y和i=1（2）由（1）中的回歸方程，當x＝9時，求得y的值，即可得到答案．【解答】解：（1）由題意，可得x=且i=1所以b?所以y關(guān)于x的回歸直線方程是y＝﹣5.2x+82.2；（2）由（1）知當x＝9時，可得y＝﹣5.2×9+82.2＝35.4，所以估計此奶茶連鎖店關(guān)于此新品一天的總銷售量是35.4×500＝17700（杯）．【點評】本題考查了線性回歸方程的計算，屬于中檔題．15．近些年汽車市場發(fā)生了翻天覆地的變化，新能源汽車發(fā)展迅速，下表統(tǒng)計了2021年到2024年某地新能源汽車銷量（單位：千輛）年份2021202220232024年份代號x1234銷量y336993129附：相關(guān)系數(shù)r=回歸方程y?=bi=14（1）試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷該地汽車銷量y與年份代號x的線性相關(guān)性強弱（0.75≤|r|≤1，則認為y與x的線性相關(guān)性較強，|r|＜0.75，則認為y與x的線性相關(guān)性較弱）；（精確到0.001）（2）建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測該地2025年的新能源汽車銷量．【考點】一元線性回歸模型；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）r≈0.997，y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（2）回歸方程為y?=31.2x+3；預測該地2025年的新能源汽車銷量為【分析】（1）根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)算出i=1（2）根據(jù)（1）算出的結(jié)果進一步算出，再根據(jù)線性回歸方程經(jīng)過(x，y)計算a，最后把【解答】解：（1）根據(jù)題意可得x=1+2+3+44=2.5i=14xi2=12+所以i=14(xi又i=14xiyi=966，所以i=14又i=14可得r=1565×4896因為|r|＝0.997≥0.75，所以y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系．（2）因為b?=a?=y-b?x=所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y?=31.2x將x＝5代入線性回歸方程可得y?=31.2×5+3＝【點評】本題考查線性回歸分析的綜合應用，屬中檔題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為12πσ，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．【解題方法點撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應的數(shù)值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πeA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．典例2：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應用典例1：2011年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．點評：服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有x1+典例2：工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，19），問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個），即不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．3．方差【知識點的認識】﹣方差：標準差的平方，衡量數(shù)據(jù)離均值的變異程度．【解題方法點撥】﹣計算：直接使用方差的公式σ2【命題方向】﹣主要考察方差的計算及其在數(shù)據(jù)變異分析中的作用．4．百分位數(shù)【知識點的認識】百分位數(shù)的定義：一般地，當總體是連續(xù)變量時，給定一個百分數(shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點，總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p．四分位數(shù)：25%，50%，75%分位數(shù)是三個常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個部分，在這4個部分取值的可能性都是14【解題方法點撥】一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100﹣p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)步驟如下：①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；②計算i＝n×p%；③若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【命題方向】理解