第15頁（共15頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之n次方根與分數(shù)指數(shù)冪一．選擇題（共6小題）1．已知a＞0，將a2a?A．a(chǎn)13 B．a(chǎn)14 C．a(chǎn)2．下列運算中正確的是（）A．(2-B．a(chǎn)-C．(mD．(3．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增長，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為（）A．p+q2 BC．pq D．(p4．若5m＝2，5n＝3，則53A．23 B．223 C．235．某放射性物質(zhì)在衰減過程中，其質(zhì)量y與年數(shù)t滿足關(guān)系式y(tǒng)=m0e-kt（m0為初始質(zhì)量，m0＞0，k為常數(shù)，e≈2.718）．已知該放射物質(zhì)經(jīng)過A．13 B．19 C．127 6．某廠去年的產(chǎn)值記為1，計劃從今年起，每年的產(chǎn)值比上年增長8%，則從今年起到第十年，這個廠這十年的總產(chǎn)值為（）A．1.089 B．1.0810 C．1.08(1-1.08D．1-1.0二．多選題（共4小題）（多選）7．已知xy≠0，且4xA．xy＜0 B．xy＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＜0，y＜0（多選）8．下列各式化簡正確的是（）A．(3-B．lg3+lg7＝1 C．22D．1（多選）9．下列表達式正確的是（）A．a(chǎn)2=a BC．log23?log32＝1 D．lg2（lg2+lg5）+lg5＝1（多選）10．下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．-xB．6yC．x-D．[三．填空題（共3小題）11．i2019+(2+212．化簡3a2?(1a13．若a﹣3b＝1，則9a272b=四．解答題（共2小題）14．（Ⅰ）求值；(33（Ⅱ）若a+a﹣1＝3，求a315．（1）求值(54（2）已知a12+a-12=3，求（a+a﹣1

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之n次方根與分數(shù)指數(shù)冪參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案DCDBCC二．多選題（共4小題）題號78910答案BCDACBCDCD一．選擇題（共6小題）1．已知a＞0，將a2a?A．a(chǎn)13 B．a(chǎn)14 C．a(chǎn)【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】D【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：a2故選：D．【點評】本題主要考查指數(shù)冪的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．下列運算中正確的是（）A．(2-B．a(chǎn)-C．(mD．(【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】A：根據(jù)2與π的大小以及根式的性質(zhì)化簡即可判斷；B：首先判斷出a＜0，然后根據(jù)根式的性質(zhì)化簡即可判斷；CD：利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡即可判斷．【解答】解：A：因為2＜π，所以(2-π)2=|2﹣π|＝πB：因為-1a＞0，所以a＜0，則a-C：因為（m14n-38D：因為(x3-2)3+故選：C．【點評】本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪以及根式的運算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增長，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為（）A．p+q2 BC．pq D．(p【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式；等比數(shù)列的通項公式．【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】D【分析】設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，可得（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解出即可．【解答】解：設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，則（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x=(1+p故選：D．【點評】本題考查了年平均增長率問題的求解，屬于中檔題．4．若5m＝2，5n＝3，則53A．23 B．223 C．23【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：若5m＝2，5n＝3，則53故選：B．【點評】本題主要考查了指數(shù)冪的運算，屬于基礎(chǔ)題．5．某放射性物質(zhì)在衰減過程中，其質(zhì)量y與年數(shù)t滿足關(guān)系式y(tǒng)=m0e-kt（m0為初始質(zhì)量，m0＞0，k為常數(shù)，e≈2.718）．已知該放射物質(zhì)經(jīng)過A．13 B．19 C．127 【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算法則列式計算得解．【解答】解：由已知當t＝4，y=13m0再經(jīng)過8年，即t＝12時，y=所以再經(jīng)過8年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的127故選：C．【點評】本題考查指數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題．6．某廠去年的產(chǎn)值記為1，計劃從今年起，每年的產(chǎn)值比上年增長8%，則從今年起到第十年，這個廠這十年的總產(chǎn)值為（）A．1.089 B．1.0810 C．1.08(1-1.08D．1-1.0【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出每年的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列，從今年起到第十年，組成等比數(shù)列，利用求和公式，求出這個廠的總產(chǎn)值．【解答】解：由題意，第一年要比去年產(chǎn)值增加8%，那么第一年產(chǎn)值就是1+8%，即1.08，第二年又比第一年增加8%，所以第二年產(chǎn)值是（1+0.08）（1+0.08）＝（1+0.08）2，，…，依此類推，第十年的產(chǎn)值是（1+0.08）10，所以從今年起到第十年，這個廠的總產(chǎn)值為（1+0.08）+（1+0.08）2+…+（1+0.08）10=1.08(1故選：C．【點評】本題考查了數(shù)列模型的構(gòu)建與應(yīng)用問題，考查了數(shù)列求和的計算能力與邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）7．已知xy≠0，且4xA．xy＜0 B．xy＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＜0，y＜0【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)4x2y2=|2【解答】解：因為4x所以xy＜0，故A正確，BCD錯．故選：BCD．【點評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．下列各式化簡正確的是（）A．(3-B．lg3+lg7＝1 C．22D．1【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值；對數(shù)運算求值．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】AC【分析】對于A，根據(jù)根式性質(zhì)a2=|a|化簡(3-π)2即可判斷，對于B，根據(jù)對數(shù)運算公式化簡lg3+lg7即可判斷，對于C，根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡2，【解答】解：對于A，(3-π)對于B，lg3+lg7＝lg21＞lg10＝1，B錯誤，對于C，因為2=212，22所以222=對于D，因為log864＝2，1lo所以1log8故選：AC．【點評】本題主要考查了指數(shù)運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．下列表達式正確的是（）A．a(chǎn)2=a BC．log23?log32＝1 D．lg2（lg2+lg5）+lg5＝1【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值；對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】BCD【分析】由根式、有理數(shù)指數(shù)冪的運算判斷A、B；由對數(shù)的運算性質(zhì)判斷C、D．【解答】解：對于選項A，若a＜0時，a2=-a對于選項B，(-827對于選項C，log23?對于選項D，lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．-xB．6yC．x-D．[【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】CD【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算逐一判斷可得選項．【解答】解：對于A：當x≤0時，(-x)對于B：6y2=-對于C：x-34對于D：[3(-x故選：CD．【點評】本題主要考查了指數(shù)運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）11．i2019+(2+2i【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】256﹣i．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運算法則求解即可．【解答】解：原式可化簡為：i2019＝i3＝﹣i，（2+2i）8＝（2）8（1+i）8＝24×（2i）4＝28×i4＝（21-i）50=-23將以上結(jié)果代入原式，得：﹣i+256﹣i+i＝256﹣i．因此，原式的值為256﹣i．故答案為：256﹣i．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，是中檔題，12．化簡3a2?(1a【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】a-【分析】利用根式及分數(shù)指數(shù)冪進行運算即得．【解答】解：原式=a23故答案為：a-【點評】本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運算，是基礎(chǔ)題．13．若a﹣3b＝1，則9a272b=【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】9．【分析】由已知直接利用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值．【解答】解：∵a﹣3b＝1，9a272b故答案為：9．【點評】本題考查有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（Ⅰ）求值；(33（Ⅱ）若a+a﹣1＝3，求a3【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】（Ⅰ）55；（Ⅱ）94【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)指數(shù)的運算法則求解即可；（Ⅱ）直接根據(jù)指數(shù)的運算法則求解即可．【解答】解：（Ⅰ）原式=(32)3×(-23)+0．12×(-（Ⅱ）由a+a﹣1＝3，可得（a+a﹣1）2＝9，即a2+2+a﹣2＝9，可得a2+a﹣2＝7，a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2﹣1+a﹣2）＝3×6＝18，即a3【點評】本題考查了指數(shù)運算法則，是基礎(chǔ)題．15．（1）求值(54（2）已知a12+a-12=3，求（a+a﹣1【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值．【專題】整體思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）59（2）329．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，求解即可；（2）根據(jù)題意，利用平方法求解即可．【解答】解：（1）原式=(499=73+=7=5（2）因為a12+a-12=3，所以(a12+a-12)所以（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49，解得a2+a﹣2＝47，所以（a+a﹣1）?（a2+a﹣2）＝7×47＝329．【點評】本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運算問題，是基礎(chǔ)題．

考點卡片1．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識點的認識】根式與分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分數(shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n∈N②負分數(shù)指數(shù)冪：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點撥】例1：下列計算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質(zhì)．2．有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡運算求值【知識點的認識】根式與分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分數(shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n∈N②負分數(shù)指數(shù)冪：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點撥】﹣利用a-mn=1amn=1nam（a＞﹣利用指數(shù)運算法則，如am?an=am+n﹣利用根式運算法則，如a?b=﹣驗證化簡和運算結(jié)果的正確性．【命題方向】題目通常涉及有理數(shù)指數(shù)冪及根式的化簡和求值，結(jié)合具體問題進行運算和應(yīng)用．計算：(214解：(21故答案為：47483．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n4．對數(shù)運算求值【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga