3/3空間幾何體的有關(guān)計(jì)算例1．長(zhǎng)方體高為h，底面積為Q，垂直于底的對(duì)角面的面積為M，則長(zhǎng)方體的側(cè)面積是 ()(A) (B)(C) (D)解：設(shè)底面兩邊長(zhǎng)分別為x、y，則得，側(cè)面積評(píng)述：本題的計(jì)算中，并未求出長(zhǎng)方體底面的邊長(zhǎng)，而是把兩邊之和視為一個(gè)量，對(duì)方程組變形與代換，求出兩邊之和，這種簡(jiǎn)便的方法可以提高運(yùn)算速度．例2．圓柱的軸截面的周長(zhǎng)l為定值，那么圓柱體積的最大值是 ()(A) (B)(C) (D)解：設(shè)圓柱底半徑為r，高為h，則4r+2h=l，即．V=πr2h當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此當(dāng)高為時(shí)，圓柱的體積取最大值．答案選A．評(píng)述：本題表面上看是立體幾何題，實(shí)際是一道代數(shù)的應(yīng)用題．涉及圓柱軸截面的概念和圓柱體積公式，得到體積V的解析式后，轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題，使用三個(gè)正數(shù)的均值定理解決問(wèn)題．可以看出，本題考查的是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)問(wèn)題的能力．也體現(xiàn)了解立體幾何計(jì)算題的最基本的思想是要代數(shù)(含三角)化，用代數(shù)方法解決．例3．過(guò)正方體的每三個(gè)頂點(diǎn)都可確定一個(gè)平面，其中能與這個(gè)正方體的12條棱所成的角都相等的不同平面有______________個(gè)分析：正方體的12條棱中，可以分為三組，每一組的四條棱互相平行，要找出與12條棱所成角都相等的平面，只需找出與共點(diǎn)的三條棱所成角相等的平面即可．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，與棱AB、AD、AA1三條棱所成角相等的平面是平面A1BD．也就是說(shuō)由三條面對(duì)角線所組成的平面能與這個(gè)正方體的12條棱所成的角相等．這樣的平面共8個(gè)．這樣平面的個(gè)數(shù)可以用下列的方法尋找：(1)每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)正三棱錐的頂點(diǎn)，如A點(diǎn)對(duì)應(yīng)正三棱錐A－A1BD，那么這個(gè)正三棱錐的底面A1BD是合條件的平面，8個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)8個(gè)平面．(2)正方體8個(gè)頂點(diǎn)，每三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，共=56個(gè)；其中6個(gè)對(duì)角面中每三點(diǎn)確定的平面與6個(gè)面中的每三點(diǎn)確定的平面均不合條件，因此合條件的平面?zhèn)€數(shù)是(個(gè))評(píng)述：利用正方體棱的性質(zhì)，把研究與12條棱成等角的問(wèn)題簡(jiǎn)化為只研究與3條共點(diǎn)的棱成等角的問(wèn)題．考試大綱中要求考生理解多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念，是指不僅要知道這些概念，還應(yīng)靈活地運(yùn)用概念正確推理．例4．如圖，多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為 ()(A) (B)5 (C)6 (D)解法1：連BE和CF，多面體分割為一個(gè)四棱錐E－ABCD和一個(gè)三棱錐E－BCF．因?yàn)镋F到面AC的距離為2，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，所以四棱錐E－ABCD的體積，而多面體ABCDEF的體積V>V1，從而排除(A)、(B)、(C)得答案為(D)．解法2：解法1采用了估值的方法，也可以準(zhǔn)確算出VE－BCF(計(jì)算時(shí)不妨設(shè)EF⊥面BCF),因此多面體ABCDEF的體積．答案選(D)解法3：延長(zhǎng)EF至G，使FG=AB．則AGD－BFC是一個(gè)三棱柱．因?yàn)镋F(即FG)到面AC的距離為2，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形．所以這個(gè)三棱柱的體積為(計(jì)算時(shí)不妨設(shè)面BCF⊥面AC)．三棱錐E－AGD的體積為．所以多面體ABCDEF的體積，答案選(D)．評(píng)述：本題給出的多面體是一個(gè)形狀可變，但體積為定值的楔形．也就是說(shuō)它是一族體積相等的多面體．面BCF與面AC所成二面角的大小可變，EF也可以在與面AC平行且距離為2的平面上作平行移動(dòng)．我們?nèi)裟荏w會(huì)到圖形的“動(dòng)感”，又不被這種形狀的可變性迷惑，其實(shí)選擇支卻以常數(shù)出現(xiàn)已經(jīng)暗示