4.4.3不同函數(shù)增長的差異學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過作圖,借助數(shù)學(xué)軟件體會(huì)并了解指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長特性.2.掌握冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長差異,并能解決相關(guān)問題.3.能正確地選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

三種常見函數(shù)模型的增長速度比較函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增減性

圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度不變形象描述指數(shù)爆炸對(duì)數(shù)增長直線上升增長速度y=ax(a>1)的增長速度最終會(huì)大大超過

的增長速度;總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有

增長結(jié)果存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有

增函數(shù)

增函數(shù)

增函數(shù)

y=kx(k>0)logax<kxax>kx>logax思考辨析如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況,在(0,t0)上誰的速度大?在(0,t1)上呢?提示

在(0,t0)上甲、乙的平均速度相同,在(0,t1)上甲的速度快.

自主診斷1.(多選題)根據(jù)三個(gè)函數(shù)f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是(

)A.f(x)的增長速度始終不變B.f(x)的增長速度越來越快C.g(x)的增長速度越來越快D.h(x)的增長速度越來越慢ACD解析

由圖可知A,C,D正確.故選ACD.

2.(北師大版教材習(xí)題)對(duì)于函數(shù)y=3x與y=x3:(1)通過計(jì)算或借助繪圖工具求這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)y=3x比y=x3增長得快,通過分析它們的圖象解釋其含義.解

畫出函數(shù)y=3x與y=x3的圖象(圖略),可知這兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).解

由函數(shù)圖象可知,3x增長的越來越快,x3也是增長的越來越快,但比3x增長的慢.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一幾種函數(shù)模型增長的差異【例1】

下列函數(shù)中隨x的增大而增大且當(dāng)x越來越大時(shí),下列函數(shù)增長速度最快的是(

)A.y=ex

B.y=lnxC.y=2x

D.y=e-xA解析

如圖所示,在四個(gè)函數(shù)中,隨x的增大而增大且增長速度最快的是y=ex.故選A.規(guī)律方法常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升,其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,b>1)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長特點(diǎn)是隨著自變量x的增大,函數(shù)值增長的速度越來越快,常稱之為“指數(shù)爆炸”.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:能用對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m>0,x>0,a>1)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長的特點(diǎn)是開始階段增長得較快,但隨著x的逐漸增大,其函數(shù)值變化得越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長”.(4)冪函數(shù)模型:能用冪型函數(shù)f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠1)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長情況由a和α的取值確定.變式訓(xùn)練1

下列函數(shù)中,增長速度最快的是(

)A.y=1.1x

B.y=2020x2C.y=log2020x

D.y=2020xA解析

y=1.1x為指數(shù)函數(shù),y=2

020x2為二次函數(shù),y=log2

020x是對(duì)數(shù)函數(shù),y=2

020x是一次函數(shù),當(dāng)x足夠大時(shí),指數(shù)函數(shù)增長速度最快.故選A.探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型比較【例2】

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖,設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.解

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度知:C1對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當(dāng)x<x1時(shí),2x>x3,即f(x)>g(x);當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x).因?yàn)閒(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因?yàn)閒(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.綜上可知,a=1,b=9.變式探究在本例的條件下,結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(8),g(8),f(2023),g(2023)的大小.解

∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2,2

023>x2.從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),∴f(8)<g(8).當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),∴f(2

023)>g(2

023).又g(2

023)>g(8),∴f(2

023)>g(2

023)>g(8)>f(8).規(guī)律方法比較函數(shù)增長快慢的方法:(1)利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的不同的增長特點(diǎn)比較函數(shù)增長的快慢;(2)借助函數(shù)圖象,通過圖象特點(diǎn)以及變化趨勢(shì)來比較函數(shù)的增長快慢;(3)通過計(jì)算相同區(qū)間上函數(shù)值的增量的大小來比較函數(shù)增長的快慢.探究點(diǎn)三不同函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用角度1.增長曲線的選擇【例3—1】

高為H、滿缸水量為V0的魚缸的軸截面如圖所示.若魚缸水深為h時(shí)魚缸內(nèi)水的體積為V,則函數(shù)V=f(h)的大致圖象是(

)B解析

當(dāng)h=H時(shí),體積是V0,故排除A,C項(xiàng).h由0到H變化的過程中,V的變化剛開始時(shí)增長速度越來越快,后來增長速度越來越慢,綜合分析可知選B項(xiàng).規(guī)律方法函數(shù)增長快慢對(duì)函數(shù)曲線的影響隨著自變量的增大,如果函數(shù)值增長得越來越快,則函數(shù)的圖象越來越“陡”,類似于指數(shù)函數(shù)的圖象;如果函數(shù)值增長得越來越慢,則函數(shù)的圖象越來越“緩”,類似于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.變式訓(xùn)練2

如圖所示,液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中,開始時(shí),漏斗盛滿液體,經(jīng)過3min漏完.已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量,H是圓錐形漏斗中液面下落的高度,則H與下落時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是(

)B解析

由題可知液體漏入桶中的速度是常量,即圓錐體中減少的液體體積與時(shí)間成正比,故H下降的速度是逐漸加快.在H-t圖中,圖象在某點(diǎn)的斜率表示該點(diǎn)的速度,只有B項(xiàng)斜率增大,因此B項(xiàng)正確.角度2.函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用【例3—2】

有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:x23456y1.402.565.311121.30

C解析

觀察表中數(shù)據(jù),y隨x的增大而增大,且增長速度越來越快,而選項(xiàng)A,B中的函數(shù)增長速度越來越慢,故A,B不正確;對(duì)于C,當(dāng)x=6時(shí),y≈21.33;對(duì)于D,當(dāng)x=6時(shí),y=18,誤差偏大,C最佳.故選C.規(guī)律方法函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用,可根據(jù)增長的快慢特征選擇、建立函數(shù)模型,再利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算解決問題,已經(jīng)給出函數(shù)模型的,則直接代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)計(jì)算解決.變式訓(xùn)練3

(多選題)假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案每天的回報(bào)如圖所示.橫軸為投資時(shí)間,縱軸為每天的回報(bào),根據(jù)以上信息,若使回報(bào)最多,則下列說法正確的是(

)A.投資3天以內(nèi)(含3天),采用方案一B.投資4天,不采用方案三C.投資6天,采用方案一D.投資12天,采用方案二ABC解析

由題圖可知,投資3天以內(nèi)(含3天),采用方案一的回報(bào)最多,所以A正確;若投資4天,則方案一的回報(bào)約為40×4=160(元),方案二的回報(bào)約為10+20+30+40=100(元),結(jié)合題圖可知方案一、方案二都比方案三的回報(bào)多,所以B正確;若投資6天,則方案一的回報(bào)約為40×6=240(元),方案二的回報(bào)約為10+20+30+40+50+60=210(元),結(jié)合題圖可知方案一比方案三的回報(bào)多,所以C正確;若投資12天,根據(jù)題圖中圖象的變化可知,方案三的回報(bào)比方案一、方案二高很多,所以采用方案三,所以D錯(cuò)誤.故選ABC.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,小胡同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)x35791113y21.0121.1121.9930.03101.96749.36在以下四個(gè)函數(shù)模型中,a,b為常數(shù),最能反映x,y間函數(shù)關(guān)系的可能是(

)A.y=ax+b B.y=ax+bC.y=ax2+b D.y=logax+bB解析

根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)可知,自變量變化量相同時(shí),函數(shù)值增長越來越快,即函數(shù)增長非?？?所以指數(shù)增長符合,即B選項(xiàng)符合.故選B.123452.某人從甲地去乙地,一開始跑步前進(jìn),后來步行,圖中橫軸表示走的時(shí)間,縱軸表示此人與乙地的距離,則較符合該走法的圖象是(

)D解析

圖中給出的是直線模型,符合一次函數(shù)模型的特點(diǎn),結(jié)合題意,應(yīng)選D.123453.(多選題)當(dāng)a>1時(shí),下列結(jié)論正確的是(

)A.指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快B.指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快C.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快D.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快AD解析

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知AD正確.123454.甲、乙兩人在一次賽跑中