2025年物理學《電動力學》專項訓練考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.簡述電磁場的無源條件（ρ=0）和有旋條件（?×E≠0或?×B≠0）分別代表物理上什么情況？請分別舉例說明至少一種存在無源條件或有旋條件但另一種條件不存在的電磁場分布。2.推導坡印廷矢量S=E×H的物理意義。說明坡印廷矢量代表了什么？為什么說它描述的是能量流動，而不是能量本身？二、1.在電荷密度為ρ（t）和電流密度為J（t）的源附近，推導推遲勢的表達式（標量勢Aφ和矢量勢A）。說明式中各項的物理意義以及它們與源之間距離和時間的關系。2.一個點電荷Q以速度v運動，求其在空間中產(chǎn)生的電磁場（用推遲勢表示）。定性描述當觀察者位于電荷運動前方、后方以及側面時，觀察到的電場和磁場有何不同？三、1.寫出自由空間中的麥克斯韋方程組（微分形式）。說明其中每個方程分別反映了電磁場哪些基本性質或規(guī)律？2.電磁波在自由空間中以光速c傳播。請從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導出電磁波滿足的波動方程（分別對電場強度E和磁場強度B推導）。說明波動方程中各項的物理意義。四、1.設電磁波在均勻、線性、各向同性、非磁性的介質中傳播，介質的介電常數(shù)為ε，磁導率為μ，電導率為σ。請寫出該介質中電磁波滿足的波動方程。與自由空間中的波動方程比較，說明介質參數(shù)對電磁波傳播的影響。2.一束平面電磁波在真空中傳播，其電場強度E的振動方向沿z軸，角頻率為ω，波矢量為k，且k與E的夾角為π/3。請寫出該電磁波的完整表達式（包含電場和磁場分量）。說明式中各物理量的含義以及電場和磁場之間的相位關系和方向關系。五、1.寫出洛倫茲變換公式，說明其中時間t和空間坐標x,y,z與另一個慣性系S'中的時間t'和空間坐標x',y',z'之間的關系。指出該變換的適用前提。2.試用四維電流密度Jμ=(ρ,Jx,Jy,Jz)和四維矢勢Aμ=(Aφ/c,Ax/c,Ay/c,Az/c)表示狹義相對論中的麥克斯韋方程組（協(xié)變形式）。解釋為何使用四維矢量可以使麥克斯韋方程組在洛倫茲變換下保持形式不變。六、1.一個電偶極子P=Qd，其中電荷Q固定，電偶極矩d隨時間均勻變化，d=d?e^(ωt)，其中d?和ω為常量。求該電偶極子在遠處（r>>d）產(chǎn)生的電磁場（用推遲勢計算）。定性描述電場和磁場隨r和t的變化規(guī)律。2.設一平行板電容器，兩極板面積均為A，間距為d，極板上電荷量隨時間變化Q(t)=Q?cos(ωt)。忽略邊緣效應，求電容器內部及外部近處的位移電流密度Jd。計算坡印廷矢量S在電容器內部和外部沿電場方向的分量，并解釋其物理意義。試卷答案一、1.無源條件（ρ=0）代表該區(qū)域沒有電荷分布，電磁場是由外部源激發(fā)或傳播而來的。例如，在真空中傳播的電磁波，其場源在遠處，波傳播區(qū)域ρ=0。有旋條件（?×E≠0或?×B≠0）代表該區(qū)域的電場或磁場具有旋度，即存在局部的“切向”場，通常由變化的磁場（?×E=-?B/?t）或變化的電場（?×B=μ?E/?t）產(chǎn)生。例如，繞著載流導線的環(huán)狀區(qū)域存在有旋磁場?×B≠0，由電流J產(chǎn)生；變化的電場可以產(chǎn)生有旋電場。2.坡印廷矢量S=E×H的物理意義是單位時間內通過單位面積流過的電磁能量，即電磁波的能流密度矢量。它描述了能量的流動方向和大小。說它描述的是能量流動而不是能量本身，是因為能量是標量，描述場中某一點所具有的電磁能量，而能量流是矢量，描述能量通過該點的方向和速率。二、1.推遲勢推導：從推遲時間t_r=t-r/c出發(fā)，考慮源點r'處的電流元Id=J(r',t_r)dV'或電荷元dq=ρ(r',t_r)dV'。根據(jù)靜態(tài)情況下的勢定義，標量勢Aφ(r,t)∝∫dq/r'=∫ρ(r',t_r)dV'/r'，取推遲時間后代入r'=r-vt，得到Aφ(r,t)∝∫ρ(r-vt,t-r/c)dV'/|r-vt|。矢量勢A(r,t)∝∫J(r',t_r)dV'/r'，代入推遲時間得A(r,t)∝∫J(r-vt,t-r/c)dV'/|r-vt|。引入格林函數(shù)（球面波解），得到推遲勢表達式：Aφ(r,t)=(1/4πε?)∫ρ(r-vt,t-|r-r'|/c)dV'/|r-r'|，A(r,t)=(μ?/4π)∫J(r-vt,t-|r-r'|/c)dV'/|r-r'|。物理意義：Aφ是由電荷ρ產(chǎn)生的標量勢，A是由電流J產(chǎn)生的矢量勢。推遲時間t-r/c表明，場中某點r處的勢是由源點r'處在較早時間t-r'/c發(fā)出的擾動所決定的，即信號以速度c傳播。2.推遲勢用于點電荷Q：Aφ(r,t)=(1/4πε?)Q/(r'/c*(t-r'/c))=(1/4πε?)Q/(r/c*(t-r/c))，A(r,t)=(μ?/4π)Q*(-v/c)/(r/c*(t-r/c))=(μ?/4π)Q*(-v/c2)/(t-r/c)。定性描述：觀察者位于運動電荷前方時，由于電荷已向前移動了一段距離，觀察者感受到的是電荷在較早時間的“影像”，電場和磁場相對較強且方向符合靜態(tài)情況（電場徑向，磁場繞軸）。觀察者位于運動電荷后方時，感受到的是電荷更早時間的影像，場強較弱。觀察者位于運動電荷側面時，電場仍有徑向分量（指向電荷的瞬時位置），磁場成為主要分量，形成環(huán)繞電荷運動方向的圓形磁場。當電荷速度v接近光速c時，推遲效應顯著，場分布更集中于電荷后方。三、1.自由空間麥克斯韋方程組（微分形式）：??E=ρ/ε?，??B=0，?×E=-?B/?t，?×B=μ?ε??E/?t。物理意義：第一式為高斯電場定律，說明電場是有源場，源為自由電荷。第二式為高斯磁場定律，說明磁場是無源場，不存在磁單極子。第三式為法拉第電磁感應定律，說明變化的磁場產(chǎn)生有旋電場。第四式為安培-麥克斯韋定律，說明變化的電場（位移電流）產(chǎn)生有旋磁場。2.推導波動方程：對?×E=-?B/?t取旋度，得?×(?×E)=-?×(?B/?t)。利用?×(?×E)=?(??E)-?2E，代入第一式??E=ρ/ε?（自由空間ρ=0），得-?2E=-?×(?B/?t)。對?×B=μ?ε??E/?t取旋度，得?×(?×B)=μ?ε??×(?E/?t)。利用?×(?×B)=?(??B)-?2B，代入第二式??B=0，得-?2B=μ?ε??×(?E/?t)。對第三式兩邊對t求偏導，得?/?t(?×E)=-?2B/?t2。對第四式兩邊對t求偏導，得?/?t(?×B)=μ?ε??2E/?t2。將第三式代入第一式右邊，第四式代入第二式右邊，得-?2E=-μ?ε??2B/?t2，-?2B=μ?ε??2E/?t2。整理得到波動方程：?2E-μ?ε??2E/?t2=0，?2B-μ?ε??2B/?t2=0。令1/√(μ?ε?)=c，得?2E-c2?2E/?t2=0，?2B-c2?2B/?t2=0。四、1.介質中波動方程推導：介質中麥克斯韋方程組為??E=ρ/ε，??B=0，?×E=-?B/?t，?×B=μJ+μσE（其中J是傳導電流密度，σ是電導率）。對第三式取旋度，?×(?×E)=-?×(?B/?t)，得?(??E)-?2E=-?×(?B/?t)。代入第一式??E=ρ/ε，得?(ρ/ε)-?2E=-?×(?B/?t)。對第四式取旋度，?×(?×B)=?(??B)-?2B=μ??J+μ?×(σE)。代入第二式??B=0，得μ??J+μ?×(σE)。利用J=σE（歐姆定律），得μ??(σE)+μ?×(σE)=μσ??E+μσ?×E。對第四式兩邊對t求偏導，得?/?t(?×B)=μσ?E/?t+μ?J/?t。代入J=σE，得?/?t(?×B)=μσ?E/?t+μσ?E/?t=2μσ?E/?t。將第四式代入第二式右邊，得-?2B=μ(2μσ?E/?t)。將第三式代入第一式右邊，得-?2E=-μσ?E/?t。整理得到波動方程：?2E-μσ?E/?t=0，?2B-2μσ?E/?t=0。注意：有時教材采用J=σE的微分形式，推導會稍有不同，但結果類似。此處的推導基于J=σE。對比與自由空間：自由空間中無介質損耗（σ=0），波動方程為?2E-c2?2E/?t2=0，?2B-c2?2B/?t2=0，波速c=1/√(μ?ε?)。介質中存在傳導電流（σ≠0），波動方程含有?E/?t項，表明波速v=1/√(εμ)會隨頻率ω和σ變化（色散），且波會衰減（介質損耗）。2.平面電磁波表達式：設E=E?e^(i(kz-ωt))，其中E?是振幅矢量，沿z軸。根據(jù)?×E=-?B/?t，取z分量得?Ey/?x-?Ez/?y=-?Bz/?t。對于沿z方向傳播的平面波，Ey=0,Ez=0，故?Bz/?t=0，Bz=恒量，設為0。取y分量得?Ex/?z=-?By/?t。對于TEM波，Ey=0，Ex=E?e^(i(kz-ωt))，故?Ex/?z=iωE?e^(i(kz-ωt))。代入得iωE?e^(i(kz-ωt))=-?By/?t。對t求導，得-iωBy=iωE?e^(i(kz-ωt))，故By=-E?e^(i(kz-ωt))。取x分量得?Ez/?y=-?Bx/?t。對于TEM波，Ez=0，故?Ez/?y=0，得?Bx/?t=0，Bx=恒量，通常設為0（若無外部源）。根據(jù)右手螺旋關系，若E沿z軸，則B應沿y軸，且相位相同。設B=B?e^(i(kz-ωt))，其中B?沿y軸。則B?=-E?/c，且B?與E?方向垂直。完整表達式為E=E?e^(i(kz-ωt))(沿z)，B=-E?/ce^(i(kz-ωt))(沿y)。電場和磁場相位相同，且E,B,k三者互相垂直，構成右手螺旋系。五、1.洛倫茲變換公式：t'=γ(t-vx/c2)，x'=γ(x-vt)，y'=y，z'=z。其中γ=1/√(1-v2/c2)是洛倫茲因子。適用前提是慣性系S和S'之間作勻速直線相對運動，且取x,x'軸共線，v為S'相對于S沿x軸的速度。2.四維矢勢與協(xié)變形式麥克斯韋方程組：四維電流密度Jμ=(ρ,Jx,Jy,Jz)，四維矢勢Aμ=(Aφ/c,Ax/c,Ay/c,Az/c)。利用四維矢量的叉積（定義為[(μ?Jμ-?Fμν/?xν)]εμν，其中Fμν是電磁場張量，εμν是Levi-Civita符號），麥克斯韋方程組可以寫成協(xié)變形式：?μFμν=μ?Jν，?[μFνρ]=0。具體到矢勢，可以從??A=ρ/ε?,?×A=-?B/?t,?×B=μ?J+μ?ε??E/?t出發(fā)，通過張量變換關系導出。例如，用四維勢導出推遲勢，將Jμ和Aμ表示為r和r'空間及相應時間的函數(shù)，代入變換公式，即可得到協(xié)變形式，并證明其在洛倫茲變換下保持不變，體現(xiàn)了電動力學的相對論協(xié)變性。其物理意義在于將時間和空間統(tǒng)一為四維時空，使得物理定律在洛倫茲變換下形式不變，是狹義相對論在電動力學中的體現(xiàn)。六、1.電偶極子推遲勢與場：電偶極矩P(t)=Qd(t)=Qd?e^(ωt)，d?為常量。推遲時間t_r=t-r/c。推遲勢：Aφ(r,t)=(1/4πε?)P(r-vt,t-r/c)?r/|r-vt|3=(1/4πε?)Qd?e^(ω(t-r/c))*r/|r-vt|3。B(r,t)=(μ?/4π)?×A(r,t)。對于遠場(r>>d)，r-vt≈r，|r-vt|≈r。Aφ(r,t)≈(1/4πε?)Qd?e^(ω(t-r/c))/r2。B(r,t)的計算較復雜，但定性上，B場線會圍繞電偶極矩軸線，且因推遲效應，其相位滯后于電場。電場和磁場都呈現(xiàn)振蕩性，且E和B的相位關系及強度會隨觀察者相對于偶極子運動的方向而變化。2.平行板電容器位移電流與坡印廷矢量：極板電荷