21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（說(shuō)課稿）-2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第21章一元二次方程教學(xué)課題課時(shí)1備課時(shí)間2025年10月授課時(shí)間2025年10月教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課主要教授如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，并利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題。具體內(nèi)容包括一元二次方程的來(lái)源、定義、解法等。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課與學(xué)生之前學(xué)習(xí)的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)緊密相關(guān)，特別是與一元一次方程和二次函數(shù)知識(shí)有關(guān)。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容前，需要掌握一元一次方程的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠?qū)?shí)際問(wèn)題與一元二次方程相結(jié)合，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程的結(jié)合，學(xué)生將學(xué)會(huì)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生將增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法1.重點(diǎn)：一元二次方程的建模過(guò)程和解題步驟。

解決辦法：通過(guò)具體的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生逐步分析問(wèn)題，提煉出方程，并講解解題步驟，讓學(xué)生在實(shí)踐中理解建模過(guò)程。

2.難點(diǎn)：如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為合適的數(shù)學(xué)模型。

解決辦法：采用循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，從簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)如何選擇合適的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行建模。同時(shí)，通過(guò)小組討論和合作學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生交流思路，共同突破難點(diǎn)。

3.重點(diǎn)：一元二次方程的解法，特別是因式分解和配方法。

解決辦法：通過(guò)演示例題，講解因式分解和配方法的原理和步驟，并通過(guò)變式練習(xí)，幫助學(xué)生掌握不同類(lèi)型一元二次方程的解法。

4.難點(diǎn)：一元二次方程的根的判別和性質(zhì)的理解。

解決辦法：通過(guò)實(shí)例分析，講解判別式的意義和根的性質(zhì)，并結(jié)合圖像展示，幫助學(xué)生直觀理解一元二次方程根的變化規(guī)律。教學(xué)資源-軟硬件資源：電子白板、筆記本電腦、投影儀

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺(tái)、在線(xiàn)教學(xué)資源庫(kù)

-信息化資源：一元二次方程相關(guān)教學(xué)視頻、互動(dòng)學(xué)習(xí)軟件

-教學(xué)手段：實(shí)物模型、多媒體課件、課堂練習(xí)題冊(cè)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)基本內(nèi)容一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：教師通過(guò)展示生活中常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，如購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)、運(yùn)動(dòng)比賽等，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)方法解決這些問(wèn)題。

2.提出問(wèn)題：教師提出與一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，如：“如何用數(shù)學(xué)方法解決這個(gè)購(gòu)物優(yōu)惠問(wèn)題？”

3.引導(dǎo)思考：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的知識(shí)，思考如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，為學(xué)習(xí)一元二次方程做好鋪墊。

二、講授新課（20分鐘）

1.一元二次方程的定義：教師通過(guò)實(shí)例講解一元二次方程的定義，強(qiáng)調(diào)一元二次方程的一般形式，讓學(xué)生理解方程的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)。

2.一元二次方程的解法：教師分別講解因式分解法和配方法，通過(guò)例題演示解題步驟，讓學(xué)生掌握兩種方法的運(yùn)用。

3.一元二次方程的根的判別和性質(zhì)：教師通過(guò)實(shí)例講解判別式的意義和根的性質(zhì)，結(jié)合圖像展示根的變化規(guī)律。

三、鞏固練習(xí)（15分鐘）

1.課堂練習(xí)：教師布置一些基礎(chǔ)練習(xí)題，讓學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)獨(dú)立完成，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。

2.小組討論：學(xué)生以小組為單位，討論解決實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程問(wèn)題，提高合作能力和解決問(wèn)題的能力。

四、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

1.課堂提問(wèn)：教師針對(duì)練習(xí)題中的難點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，激發(fā)學(xué)生的思維。

2.學(xué)生展示：學(xué)生代表小組展示解題過(guò)程，其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充，提高學(xué)生的表達(dá)能力和批判性思維。

五、核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

1.數(shù)學(xué)建模：教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

2.應(yīng)用意識(shí)：教師強(qiáng)調(diào)一元二次方程在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

六、課堂小結(jié)（5分鐘）

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，梳理一元二次方程的定義、解法、根的判別和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)。

2.強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重難點(diǎn)，提醒學(xué)生在課后進(jìn)行鞏固練習(xí)。

教學(xué)時(shí)間總計(jì)：45分鐘

備注：在教學(xué)過(guò)程中，教師需根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和難度，確保教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和合作能力，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-一元二次方程的應(yīng)用實(shí)例：包括幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等，通過(guò)實(shí)例展示一元二次方程在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

-一元二次方程的歷史背景：介紹一元二次方程的發(fā)展歷程，包括其起源、演變以及歷史上的重要人物和成就。

-一元二次方程的解法拓展：介紹一元二次方程的求根公式、判別式的應(yīng)用、一元二次方程與不等式的關(guān)系等內(nèi)容。

-一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用案例：提供一些實(shí)際案例，如建筑工程、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)等，讓學(xué)生了解一元二次方程在實(shí)際工作中的應(yīng)用。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書(shū)籍或文章：推薦學(xué)生閱讀關(guān)于一元二次方程及其應(yīng)用的科普書(shū)籍或?qū)W術(shù)文章，如《數(shù)學(xué)的故事》、《數(shù)學(xué)與生活》等。

-觀看教學(xué)視頻：推薦一些優(yōu)質(zhì)的在線(xiàn)教學(xué)視頻，如教育頻道的一元二次方程專(zhuān)題講座，幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)概念和技巧。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或相關(guān)活動(dòng)，如數(shù)學(xué)建模比賽、數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽等，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

-制作學(xué)習(xí)資料：指導(dǎo)學(xué)生制作一元二次方程的學(xué)習(xí)資料，如思維導(dǎo)圖、公式卡片等，幫助學(xué)生系統(tǒng)地復(fù)習(xí)和掌握知識(shí)點(diǎn)。

-小組合作學(xué)習(xí)：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，共同探討一元二次方程的難點(diǎn)和重點(diǎn)，通過(guò)討論和交流提高學(xué)習(xí)效果。

-實(shí)踐應(yīng)用：鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中尋找一元二次方程的應(yīng)用實(shí)例，如設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)模型，分析一個(gè)幾何問(wèn)題等，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際情境中。

-撰寫(xiě)研究報(bào)告：引導(dǎo)學(xué)生選擇一元二次方程的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，進(jìn)行深入研究，撰寫(xiě)研究報(bào)告，培養(yǎng)學(xué)生的科研能力和寫(xiě)作能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-一元二次方程的定義：涉及方程的一般形式、系數(shù)、次數(shù)等基本概念。

-一元二次方程的解法：包括因式分解法、配方法、求根公式等。

-一元二次方程的根的判別：判別式的計(jì)算及其對(duì)根的性質(zhì)的影響。

②本文重點(diǎn)詞句：

-“一元二次方程”的定義：“未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0的整式方程?！?/p>

-“因式分解法”：“將一元二次方程左邊通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次因式的乘積，令每個(gè)因式等于0，求得方程的解?！?/p>

-“配方法”：“將一元二次方程左邊通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，然后求解方程。”

③本文重點(diǎn)邏輯關(guān)系：

-定義與解法的關(guān)系：一元二次方程的定義是解法的基礎(chǔ)，不同的解法是基于方程的不同形式和特點(diǎn)。

-解法之間的聯(lián)系：因式分解法和配方法都是求解一元二次方程的方法，它們?cè)谔囟l件下可以相互轉(zhuǎn)化。

-判別式與根的性質(zhì)的關(guān)系：判別式?jīng)Q定了方程根的性質(zhì)，是分析一元二次方程解的情況的重要工具。典型例題講解1.例題：已知一元二次方程\(x^2-5x+6=0\)，求該方程的解。

解：使用因式分解法，將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積：

\[(x-2)(x-3)=0\]

令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)解：

\[x-2=0\Rightarrowx=2\]

\[x-3=0\Rightarrowx=3\]

所以，方程的解為\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。

2.例題：已知一元二次方程\(2x^2-4x-6=0\)，求該方程的解。

解：使用配方法，首先將方程轉(zhuǎn)化為完全平方的形式：

\[2x^2-4x=6\]

\[x^2-2x=3\]

\[x^2-2x+1=3+1\]

\[(x-1)^2=4\]

開(kāi)方得到：

\[x-1=\pm2\]

所以，方程的解為\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)。

3.例題：已知一元二次方程的解為\(x_1=4\)，\(x_2=1\)，求該方程。

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)方程為\(ax^2+bx+c=0\)，則有：

\[x_1+x_2=-\frac{a}\Rightarrow4+1=-\frac{a}\Rightarrowb=-5a\]

\[x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\Rightarrow4\cdot1=\frac{c}{a}\Rightarrowc=4a\]

假設(shè)\(a=1\)，則\(b=-5\)，\(c=4\)，得到方程：

\[x^2-5x+4=0\]

4.例題：已知一元二次方程\(x^2-6x+9=0\)，求該方程的解，并證明其根的判別式為0。

解：使用配方法或直接開(kāi)平方得到：

\[(x-3)^2=0\]

所以，方程的解為\(x=3\)。

根據(jù)判別式公式\(D=b^2-4ac\)，代入\(a=1\)，\(b=-6\)，\(c=9\)得到：

\[D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\]

證明了根的判別式為0。

5.例題：已知一元二次方程的根為\(x_1=-1\)，\(x_2=5\)，且方程的判別式大于0，求方程。

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)方程為\(ax^2+bx+c=0\)，則有：

\[x_1+x_2=-\frac{a}\Rightarrow-1+5=-\frac{a}\Rightarrowb=-4a\]

\[x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\Rightarrow-1\cdot5=\frac{c}{a}\Rightarrowc=-5a\]

假設(shè)\(a=1\)，則\(b=-4\)，\(c=-5\)，得到方程：

\[x^2-4x-5=0\]教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問(wèn)：通過(guò)隨機(jī)提問(wèn)和針對(duì)不同層次學(xué)生的提問(wèn)，檢查學(xué)生對(duì)一元二次方程概念、解法和應(yīng)用的理解程度。

-觀察：注意學(xué)生在課堂上的參與度、思考深度和解決問(wèn)題的能力，以及對(duì)新知識(shí)的接受情況。

-測(cè)試：在課程結(jié)束后進(jìn)行簡(jiǎn)短的課堂測(cè)試，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)一元二次方程知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

通過(guò)以上方式，教師能夠及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，關(guān)注作業(yè)的正確率、解題過(guò)程和表達(dá)清晰度。

-點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)中給予具體、詳細(xì)的點(diǎn)評(píng)，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方，鼓勵(lì)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中提升自我。

-反饋：通過(guò)作業(yè)反饋，幫助學(xué)生鞏固課堂所學(xué)，對(duì)未能掌握的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)和強(qiáng)化。

-鼓勵(lì)：對(duì)表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生給予肯定，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

教學(xué)評(píng)價(jià)的目的是為了全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，幫助教師調(diào)整教學(xué)策略，同時(shí)也幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)，為他們的自主學(xué)習(xí)提供方向。通過(guò)持續(xù)的評(píng)價(jià)和反饋，教師和學(xué)生共同促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)：在講解一元二次方程的應(yīng)用時(shí)，采用實(shí)際案例，如工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等，讓學(xué)生在實(shí)際情境中理解和應(yīng)用知識(shí)。

2.多元化教學(xué)：結(jié)合多媒體技術(shù)，如動(dòng)畫(huà)演示、互動(dòng)軟件等，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加直觀，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)抽象概念理解困難：部分學(xué)生對(duì)一元二次方程的抽象概念理解不夠深入，需要通過(guò)更多實(shí)例和練習(xí)來(lái)加強(qiáng)理解。

2.課堂互動(dòng)不足：課堂上的互動(dòng)環(huán)節(jié)不夠活躍，學(xué)生參與度不高，需要設(shè)計(jì)更多互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生的參與積極性。

3.評(píng)價(jià)方式單一：主要依賴(lài)作業(yè)和測(cè)試來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果