專題01集合、邏輯用語與不等式

考點01集合及運算

e

1．（24-25高三上·北京朝陽·期末）已知全集Ux2x2，集合A{x0x1}，則UA（）

A．2,0B．2,01,2

C．1,2D．2,01,2

【答案】D

【分析】根據(jù)補集關(guān)系分析運算即可.

【詳解】因為全集Ux2x2，集合A{x0x1}，

e

所以UA2,01,2.

故選：D.

易錯分析：在求解不等式解集的交、并、補運算時，一定要注意等號能否取得.

2．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知集合Aa,a2，B1,4，若1A，則AB中所有元素之和為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】由1A，求出a1或a1，再分類討論由集合的互異性可求出AB1,1,4，即可得出答案.

【詳解】由1A得a1或a21，解得：a1或a1，

若a1，則a21，不符合題意；

若a1，A1,1，從而AB1,1,4，

所以AB中所有元素之和為4.

故選：C.

3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合A1,a2,Ba2,1,3，若對xA,都有xB，則a為（）

A．1B．1C．2D．1或2

【答案】C

【分析】得到AB，分a2a2和a23兩種情況，求出a，舍去不合要求的解，得到答案.

【詳解】由題意得AB，

當(dāng)a2a2時，解得a2或1，

當(dāng)a2時，B4,1,3滿足要求，

當(dāng)a1時，a21，a21，A，B中元素均與互異性矛盾，舍去，

當(dāng)a23時，a1，此時a21，B中元素與互異性矛盾，舍去，

綜上，a2.

故選：C

易錯分析：根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)時，一定要注意檢驗是否滿足元素的互異性.

4．已知集合A1,2,B{x|mx10,mR}，若ABA，則所有符合條件的實數(shù)m組成的集合是（）

11

A．,0,1B．1,0,2C．1,2D．1,0,

22

【答案】D

【分析】由ABA，得到BA，分m0和m0兩種情況討論，即可求解

【詳解】ABA等價于BA，

當(dāng)m0時，B，此時BA，符合；

1111

當(dāng)m0時，B，因為BA，故1或2，即m1或m．

mmm2

1

所以符合條件的實數(shù)m組成的集合是1,0,．

2

故選：D

易錯分析：已知集合間的包含關(guān)系A(chǔ)B求參數(shù)時要注意討論A,A兩種情況.

5．已知集合AxRx23x180，BxRx2axa2270，則下列命題中正確的是（）

A．若AB，則a3B．若AB，則a3

C．若B，則a6或a6D．若a3，則ABx3x6

【答案】ABC

【分析】解一元二次不等式求集合A，根據(jù)各選項中集合的關(guān)系，列不等式或方程求參數(shù)值或范圍，判斷A、

B、C的正誤，已知參數(shù)，解一元二次不等式求集合B，應(yīng)用交運算求AB判斷正誤即可.

【詳解】由已知得：Ax3x6，令g(x)x2axa227

a3

：若，即是方程的兩個根，則，得，正確；

AAB3,6g(x)02a3

a2718

g(3)a23a180

：若，則，解得，正確；

BAB2a3

g(6)a6a90

C：當(dāng)B時，a24a2270，解得a6或a6，正確；

D：當(dāng)a3時，有BxRx23x180{x|6x3}，所以ABx3x3，錯誤；

故選：ABC.

6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A{x|ax1}，B{x|x2}，若AB，則a的取值范圍

為．

1

【答案】(,0),

2

【分析】對集合A{x|ax1}根據(jù)a0和a0進行分類討論，再由AB確定不等關(guān)系求解即可.

【詳解】因為AB，所以A{x|ax1}，則a0.

111

當(dāng)a0時，Axx，由AB，得2，解得a；

aa2

1

當(dāng)a0時，Axx，此時AB，符合條件．

a

1

綜上所述，a的取值范圍為(,0),.

2

1

故答案為：,0,.

2

7．（2024·河南駐馬店·二模）已知集合Ax∣4x2x50,B{x∣xm}，若m0，則

eI

RAB；若ABR，則m的取值范圍為.

5

【答案】{x|0x}(,1)

4

【分析】解出集合A中的不等式，利用集合的交并補運算即可求解.

【詳解】4x2x50即(x1)(4x5)0，

5

則Ax|x或x1，

4

5

所以eA{x|1x}，

R4

若m0，則B{x∣x0}，

5

eAIB{x|0x}，

R4

若ABR，B{x∣xm}，

則m1，故m的取值范圍為(,1).

5

故答案為：{x|0x}；(,1).

4

考點02常用邏輯用語

1．（24-25高三上·北京朝陽·期末）“mn1”是“l(fā)ogmn1”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可下結(jié)論.

【詳解】當(dāng)1nm時，logmnlogmm1，所以充分性成立；

若logmn1，即logmnlogmm，

當(dāng)0m1時，nm，所以1nm不成立，故必要性不成立，

所以“1nm”是“l(fā)ogmn1”的充分不必要條件.

故選：A

易錯分析：在判斷充分條件、必要條件時一定要弄清相關(guān)概念，以防出錯.

2．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知a，b，cR，則“a，b，c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“abc”

的（）

A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用推出關(guān)系去判斷充要關(guān)系即可.

【詳解】當(dāng)abc0時，a,b,c是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，

當(dāng)a,b,c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則abc，

故“a,b,c既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“abc”的充分不必要條件，

故選：A．

3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，則“2x4”是“2xx2”的（）

A．充分不必要條件?∈?B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】借助數(shù)形結(jié)合解不等式，結(jié)合圖象判斷結(jié)果.

【詳解】畫出函數(shù)y=x2與y2x的圖象，如圖所示．

由圖象知，在上，兩函數(shù)有2個公共點A2,4，B4,16，

0,+∞2

在,0上，兩函數(shù)有一個公共點x0,x0．

x2x2

觀察圖象可知：在,x0上，2x；在x0,2上，2x；

在2,4上，2xx2；在4,上，恒有2xx2．

因此，“2x4”是“2xx2”的充分不必要條件，

故選:A．

4．（2024·山東·二模）已知p:12x4，q:x2ax10，若p是q的充分不必要條件，則（）

33

A．a(chǎn)B．0aC．a(chǎn)2D．0a2

22

【答案】A

1

【分析】首先化簡命題p，依題意可得當(dāng)0x2時x2ax10恒成立，參變分離可得ax在0x2

x

上恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.

【詳解】命題p:12x4，即p:0x2，

因為p是q的充分不必要條件，

顯然當(dāng)x0時滿足q:x2ax10，

所以當(dāng)0x2時x2ax10恒成立，

1

則ax在0x2上恒成立，

x

13

又函數(shù)fxx在0,2上單調(diào)遞增，且f2，

x2

3

所以a.

2

故選：A

易錯分析：已知充分、必要條件求參數(shù)范圍，一定注意正確轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系再求

解.

5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“x2,1，x2xa0”為假命題的一個充分不必要條件是（）

1

A．a(chǎn)≤B．a(chǎn)0C．a(chǎn)6D．a(chǎn)8

4

【答案】D

【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)a的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.

【詳解】若命題“x2,1，x2xa0”為假命題，

則命題的否定“x2,1，x2xa0”為真命題，

即ax2x，x2,1恒成立，

2

211

yxxx，x2,1，當(dāng)x2，取得最大值y6，

24

所以a6，選項中只有aa8是aa6的真子集，

所以命題“x2,1，x2xa0”為假命題的一個充分不必要條件為a8.

故選：D

易錯分析：要注意“A是B的充分條件”和“A的充分條件是B”的區(qū)別.

x

1

6．已知fx3，則fx5的一個必要不充分條件是（）

2

A．x4B．x3C．x<2D．x3

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式fx5的解集，結(jié)合選項，以及必要不充分條件的

判定方法，即可求解.

xx

11

【詳解】由不等式fx5，可得35，即8，解得x3，

22

結(jié)合選項，可得fx5的一個必要不充分條件為x4.

故選：A.

7．（2024·重慶·三模）（多選）命題“存在x0，使得mx22x10”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A．m2B．m1C．m0D．m1

【答案】CD

12x12x

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為存在x0，設(shè)定m，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值為1，

x2x2

求得m的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義和選項，即可求解.

12x111

【詳解】由題意，存在x0，使得mx22x10，即m()22(1)21，

x2xxx

112x

當(dāng)10時，即x1時，的最小值為1，故m1；

xx2

所以命題“存在x0，使得mx22x10”為真命題的充分不必要條件是mm1的真子集，

結(jié)合選項可得，C和D項符合條件.

故選：CD.

8．（24-25高三上·天津河北·期末）命題p:x0，x22xa0的否定是（）

A．x0，x22xa0B．x0，x22xa0

C．x0，x22xa0D．x0，x22xa0

【答案】C

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.

【詳解】命題p:x0，x22xa0為存在量詞命題，

其否定為：x0，x22xa0.

故選：C

易錯分析：寫全稱命題和存在量詞命題的否定要注意兩點：一是轉(zhuǎn)換量詞；二是否定結(jié)論.

2

9．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知命題“x1,4,exm0”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為（）

x

4141

A．,e2B．,eC．e2,D．e,

22

【答案】A

22

【分析】分離參數(shù)mex，求函數(shù)fxex,x1,4的最小值即可求解.

xx

22

【詳解】因為命題“x1,4,exm0”為真命題，所以x1,4,mex．

xx

22

令fxex,x1,4,yex與y在1,4上均為增函數(shù)，

xx

故fx為增函數(shù)，當(dāng)x1時，fx有最小值e2，即me2，

故選：A．

10．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）若命題p:x2,2，使得x22xm22m0為假命題，則實數(shù)m的

取值范圍為（）

A．,11,B．,02,

C．,42,D．,24,

【答案】D

【分析】問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)2x2時，x22xm22m0恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出

fxx22xm22m在2,2上的最大值，解不等式求實數(shù)m的取值范圍即可.

【詳解】因為p為假命題，所以p:x2,2,x22xm22m0為真命題，

即當(dāng)2x2時，x22xm22m0恒成立.

因為函數(shù)fxx22xm22m(x1)2m22m1圖象的對稱軸為x1，

22

所以當(dāng)2x2時，f(x)maxf2m2m8，所以m2m80，

即m22m80，解得m2或m4，

即實數(shù)m的取值范圍為,24,.

故選：D.

易錯分析：不等式的恒成立問題和有解一般都要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

2

11．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）（多選）已知命題“x1,4，exm0”為真命題，則實數(shù)m的可能取值

x

是（）

A．1B．0C．1D．e

【答案】AB

【分析】先利用題給條件求得實數(shù)m的取值范圍，進而得到實數(shù)m的可能取值.

2

【詳解】因為命題“x1,4，exm0”為真命題，

x

2

所以x1,4，mex，

x

22

令fxex，x1,4，則fxex0，

xx2

可知fx為增函數(shù)，當(dāng)x1時，fx有最小值f1e2，

故實數(shù)m的取值范圍為me2，

故選：AB.

考點03不等式

1．（2024·北京海淀·三模）下列命題中，真命題的是（）

11

A．若ab，則B．若ab，則a2abb2

ab

ab

C．若0abc，則logcalogcbD．若a2b2，則244

【答案】D

【分析】舉反例即可判斷ABC，根據(jù)基本不等式和指數(shù)運算即可判斷D.

11

【詳解】對A，當(dāng)a1,b1時，則，故A錯誤；

ab

對B，當(dāng)a1,b2時，則a21,ab2，則a2ab，故B錯誤；

對C，當(dāng)0c1時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性知logcalogcb，故C錯誤；

對D，若a2b2，則2a4b22a4b22a2b4，

1

當(dāng)且僅當(dāng)a1,b時取等號，故D正確.

2

故選：D.

2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若ab0，那么下列不等式一定不成立的是（）

b1bab11

A．B．C．a(chǎn)abbD．a(chǎn)b

a1ababa

【答案】B

【分析】利用作差法判斷AD，利用不等式的性質(zhì)判斷BC.

b1ba(b1)b(a1)ab

【詳解】對于A，因為ab0，所以0，故A正確；

a1aa(a1)a(a1)

ab

對于B，因為ab0，所以10，故B錯誤；

ba

對于C，因為ab0，ab，a0，所以aab，

因為ab，b0，所以abb，所以aabb，故C正確；

111

對于D，ab(ab)10，故D正確.

baab

故選：B

易錯分析：利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系式時，一定要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.

2eU

3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知集合Axx5x0，Bxx3，則RAB（）

A．0,3B．3,3C．3,5D．3,5

【答案】D

e

【分析】解出集合A、B，利用補集和并集的定義可求得集合RAB.

【詳解】由x25x0，得x25x0，解得x0或x5，則Axx0或，

?>5

由x3，得，所以eAx0x5，Bx3x3，

3x3R

e

所以RABx3x5．

故選：D．

易錯分析：解一元二次不等式時要注意二次項系數(shù)的符號，它決定了不等式解集的性質(zhì).

4．（23-24高一上·河南濮陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集為x|3x5，

則不等式cx2bxa0的解集為（）

1111

A．xx或xB．xx或x

5335

1111

C．xxD．xx

5335

【答案】D

【分析】由題意可得a0且方程ax2bxc0的解為3,5，利用韋達定理將b,c用a表示，再根據(jù)一元二次

不等式的解法即可得解.

【詳解】因為關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集為x|3x5，

所以a0且方程ax2bxc0的解為3,5，

bc

所以8,15，所以b8a,c15a，

aa

則不等式cx2bxa0，即為不等式15ax28axa0，

11

則15x28x10，解得x，

35

11

所以不等式cx2bxa0的解集為xx.

35

故選：D.

易錯分析：通過一元二次不等式的解集，可以判斷其對應(yīng)的二次函數(shù)的開口和零點.

5．對于任意實數(shù)x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（）

A．(,2)B．(,2]C．(2,2)D．(2,2]

【答案】D

【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論

【詳解】當(dāng)a20，即a2時，4<0，恒成立；

a20

當(dāng)a20時，2，解之得2a2，

4(a2)16(a2)0

綜上可得2a2

故選：D

易錯分析：一元二次型不等式在R上的恒成立問題，要注意討論二次項是否可以為零.

x23

6．（24-25高三上·山東濟南·階段練習(xí)）已知xR，則的最小值為（）

x22

32

A．1B．2C．2D．

2

【答案】D

【分析】換元，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最小值.

2

x3211

【詳解】令x22t2，則x2t，

x22x22t