專題07立體幾何初步

1．（2024北京）小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的

三條棱的中點(diǎn)分別記為A,B,C，如圖1所示，然后截去以VABC為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所

示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長(zhǎng)為6，則

此半正多面體模型的體積為（）

A．108B．162C．180D．189

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求組合體的體積

【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以VABC為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.

【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為V，

3113

則VV正方體8V正三棱錐683180.

32

故選：C.

2．（2024福建）圓柱的底面半徑和高都是1，則該圓柱的體積為（）

πππ

A．B．C．D．π

432

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)給定條件，利用圓柱的體積公式計(jì)算即得.

【詳解】圓柱的底面半徑和高都是1，則該圓柱的體積Vπ121π.

故選：D

3．（2022河北）已知A是球O的球面上一點(diǎn)，過線段OA的中點(diǎn)O1作垂直于直線OA的平面，若該球被這

個(gè)平面截得的圓面的面積為9π，則該球的表面積是（）

A．12πB．36πC．48πD．323π

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題涉及球的截面相關(guān)概念.球的截面是一個(gè)圓，根據(jù)圓的面積公式Sπr2（其中S為面積，r為

半徑），可求出截面圓的半徑.再利用球的截面性質(zhì)，設(shè)球的半徑為R，截面圓半徑為r，球心到截面的距

R

離d（這里d），通過勾股定理R2r2d2求出球的半徑R，進(jìn)而求出球的表面積S4πR2.

2

【詳解】已知截面圓的面積為9π，根據(jù)圓的面積公式Sπr2，可得πr29π，解得r3.

R

設(shè)球的半徑為R，因?yàn)镺是OA的中點(diǎn)，所以球心O到截面的距離d.

12

R

根據(jù)勾股定理R2r2d2，將r3，d代入可得：

2

222

22R2R3R

R3,則R9，則9，則R212，解得R23.

244

根據(jù)球的表面積公式S4πR2，將R23代入可得：

S4π(23)24π1248π

故選：C.

4．（2022河北）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線與底面所成的角是60o，則該圓錐的體積是（）

3π

A．B．πC．3πD．3π

3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)求得圓錐的高和底面半徑，再由體積公式計(jì)算．

【詳解】設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，又母線長(zhǎng)為l2，而母線與底面所成的角是60o，

1

則rl1，hlsin603，

2

113

所以體積為Vπr2hπ123π，

333

故選：A．

5．（2022北）若球O被一個(gè)平面所截，所得截面的面積為3π，且球心O到該截面的距離為1，則球O的

表面積是（）

8π16π

A．B．16πC．D．8π

33

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榍虻囊唤孛娴拿娣e為3π，所以截面圓的半徑為3，

又因?yàn)榍蛐腛到該截面的距離為1，

2

所以球的半徑為R1232，

所以球O的表面積為4πR24π416π.

故選：B.

6．（2022河北）已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角是60，則該圓錐的側(cè)面積是（）

23π2π

A．B．2πC．D．π

33

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即得.

【詳解】由圓錐的母線與底面所成的角是60，得圓錐軸截面等腰三角形且底角為60，

所以圓錐軸截面等腰三角形是正三角形，因此圓錐母線長(zhǎng)為2，

所以該圓錐的側(cè)面積是π122π.

故選：B

7．（2023廣西）已知圓柱的底面積為1，高為2，則該圓柱的體積為（）

A．1B．2C．4D．6

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)閳A柱的底面積為1，高為2，

所以該圓柱的體積為122.

故選：B.

8．（2024浙江）一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體頂點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球體的表面積為（）

A．3πB．2πC．3πD．π

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【分析】棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的直徑是正方體的對(duì)角線，從而得到結(jié)果．

【詳解】∵棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，

∴球的直徑是正方體的對(duì)角線，

3

∴球的半徑是r，

2

2

∴球的表面積是3

4π3π

2

故選：A

9．（2023吉林）一個(gè)棱長(zhǎng)為23的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積是（）

A．18πB．183π

C．363πD．36π

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【分析】由已知可得所求球是棱長(zhǎng)為23的正方體的外接球，代入正方體對(duì)角線公式，求出外接球的半徑，

代入球的體積公式，可得答案．

【詳解】若棱長(zhǎng)為23的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，

則該球是正方體的外接球，

12

球的半徑R3233，

2

4

則球的體積VπR336π.

3

故選：D.

10．（2024天津）一個(gè)圓柱的底面直徑和高都等于球O的直徑，則球O與該圓柱的體積之比為（）．

1112

A．B．C．D．

8623

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】設(shè)球O的半徑為RR0，即可求出球、圓柱的體積，從而得解.

4π3

【詳解】設(shè)球O的半徑為RR0，則V球R，

3

23

依題意圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以V圓柱πR2R2πR，

4π

R3

V球2

所以3.

3

V圓柱2πR3

故選：D

11．（2023浙江）上、下底面圓的半徑分別為r、2r，高為3r的圓臺(tái)的體積為（）

33

A．7πr3B．21πr3C．522πrD．52πr

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為r、2r，高為3r，

12

所以Vπr22r2r23r7πr3.

3

故選：A

12．（2024湖南）已知圓柱的底面半徑為3cm，體積為18πcm3，則該圓柱的表面積為（）

A．12πcmB．18πcm2C．21πcm2D．30πcm2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】利用圓柱體積求得圓柱的高，再利用表面積公式計(jì)算即得.

【詳解】設(shè)圓柱的高為hcm，由題意，9πh18π，解得h2，

22

則圓柱的表面積為S表2π32π3230πcm.

故選：D.

13．（2024安徽）在ABC中，AB4，BC3，ABC120，若將ABC繞BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，

則所形成的幾何體的體積為.

【答案】12π

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求旋轉(zhuǎn)體的體積

【分析】畫出旋轉(zhuǎn)體的圖象，根據(jù)圓錐體積公式求出幾何體的體積.

【詳解】如圖所示，

旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，

所以O(shè)A4sin60o23,OB4cos60o2，

12

所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：Vπ23(32)212π.

3

故答案為：12π

14．（2024云南）一商場(chǎng)門口有個(gè)球形裝飾品.若該球的半徑為1米，則該球的表面積為平方米.

【答案】4π

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】由球的表面積公式求解．

【詳解】因?yàn)樵撉虻陌霃綖?米，所以該球的表面積為：4π124π（平方米），

故答案為：4π

3

15．（2024云南）若一個(gè)半徑為cm的球和一個(gè)上，下底面邊長(zhǎng)分別為1cm和2cm的正四棱臺(tái)的體積相同，

2

則正四棱臺(tái)的高為cm．

2727

【答案】/

1414

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】利用球和正四棱臺(tái)的體積公式直接建立等式計(jì)算即可．

3

【詳解】解：球的體積為43，

V1π①

32

17

設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則正四棱臺(tái)的體積為，

hV21414hh②

33

由V1V2，

27

解得：hπ．

14

27

故答案為：π．

14

16．（2024浙江）上、下底面面積分別為1，4，高為3的圓臺(tái)體積為.

【答案】7

【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算

h

【分析】由圓臺(tái)體積公式即可求解

VS1S2S1S2.

3

【詳解】由題意知S11,S24,h3，

h3

所以

VS1S2S1S21427.

33

故答案為：7.

1．（2024北京）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC,D是BC的中點(diǎn)，則直線DC1（）

A．與直線AC相交B．與直線AC平行

C．與直線AA1垂直D．與直線AA1是異面直線

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的判定

【分析】由直三棱柱的特征逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】易知三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，

由圖易判斷DC1與AC異面，AB錯(cuò)誤；

∥

因?yàn)锳A1CC1,DC1與CC1相交但不垂直，所以DC1與直線AA1不垂直，C錯(cuò)誤；

由圖可判斷DC1與直線AA1是異面直線，D正確.

故選：D

2．（2022河北）已知l是一條直線，,是兩個(gè)不同的平面，有以下結(jié)論：

①若l,//，則l；②若l//,，則l；

③若l//,l//，則//.④若l,l，則//.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①②B．②③C．③④D．①④

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中線面、面面之間的基本關(guān)系，依次判斷命題即可.

【詳解】①：若l,//，則l，故①正確；

②：若l//,，則l或l與相交或l//，故②錯(cuò)誤；

③：若l//,l//，則//或與相交，故③錯(cuò)誤；

④：若l,l，則//，故④正確.

故選：D

3．（2024天津）若l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，l，則“l(fā)m”是“m//”的（）．

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關(guān)系及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)閘，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，l，

若lm，則m//或m，故充分性不成立；

若m//，則在平面存在直線c，使得m//c，又l，c，所以lc，所以lm，故必要性成立，

所以“l(fā)m”是“m//”的必要不充分條件.

故選：B

4．（2024北京）在空間中，若兩條直線a與b沒有公共點(diǎn)，則a與b（）

A．相交B．平行C．是異面直線D．可能平行，也可能是異面直線

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的概念及辨析

【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷，即可得答案.

【詳解】由題意知在空間中，兩條直線a與b沒有公共點(diǎn)，即a與b不相交，

則a與b可能平行，也可能是異面直線，

故選：D

5．（2023遼寧）設(shè)l，m，n是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A．若l∥m，m∥n，則l∥nB．若l∥m，m∥，則l∥

C．若，，則D．若lm，l∥，則m∥

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、平行公理、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷面面是否垂直

【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長(zhǎng)方體中的線面、面面位置關(guān)系舉反例可知.

【詳解】選項(xiàng)A，若l∥m，m∥n，則由平行的傳遞性可知，l∥n，故A正確；

選項(xiàng)B，若l∥m，m∥，則l∥或l都有可能，

如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中（以下同），

設(shè)直線B1C1為m，直線BC為l，底面ABCD為，

滿足l∥m，m∥，但l，l與不平行，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，若，，則與不一定垂直，

如圖，設(shè)上底面A1B1C1D1為，下底面ABCD為，平面BB1C1C為，

滿足，，但//，與不垂直，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，若lm，l∥，則m∥或m或m與相交都有可能，

如圖，設(shè)直線B1C1為m，直線AB為l，設(shè)上底面A1B1C1D1為，

滿足lm，l∥，但m，m與不平行，故D錯(cuò)誤．

故選：A.

6．（2023黑龍江）如圖，在正方體ABCDABCD中，與AB平行的是（）

A．AAB．ADC．DCD．BC

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的判定

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合空間中線線位置關(guān)系分析判斷.

【詳解】根據(jù)題意可知：AA、AD與AB相交，DC與AB平行，BC與AB異面，

故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

7．（2022浙江溫州）已知m，n是不同的直線，，是不同的平面，下列命題中，正確的是（）

A．若m//，n//，則m//n

B．若m，n，則mn

C．若m，n，m//，n//，則//

D．若m，n//，則mn

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中的直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系和符號(hào)表示，判斷選項(xiàng)中的命

題是否正確即可．

【詳解】在A中，若m//，n//，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

在B中，若m，n，則m//n，故B錯(cuò)誤；

在C中，必須平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，此時(shí)兩平面才平行，故C錯(cuò)誤；

在D中，m，n//時(shí)，過n作平面l，所以n//l，且ml，所以mn，故D正確.

故選：D.

rr

8．（2023天津）已知空間三條直線a，b，c.若ab，ac，則（）

A．b與c平行B．b與c相交

C．b與c異面D．b與c平行、相交、異面都有可能

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的判定

【分析】根據(jù)線線關(guān)系舉例可得答案.

【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體中，ab，ac，則b與c平行、相交、異面都有可能.

故選：D.

9．（2023廣東）已知α和β是兩個(gè)不同平面，A://，B:α和β沒有公共點(diǎn)，則A是B的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)面面平行的定義判斷.

【詳解】?jī)蓚€(gè)平面平行的定義是：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行，因此A是B的充要條件．

故選：C．

10．（2023江蘇）已知直線l∥平面，直線m平面，則l與m不可能（）

A．平行B．相交C．異面D．垂直

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】若l與m相交，得到l與有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾，得到答案.

【詳解】直線l∥平面，直線m平面，則l與m可能平行，異面和垂直，

若l與m相交，lmA，則Al，Am，直線m平面，故A，

即l與有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.

故選：B

1．（2024浙江）在正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC的延長(zhǎng)線上，CFBC，則異面直線AF

和DE所成角的正弦值為（）

122126

A．B．C．D．

3355

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】連接EC，CED或其補(bǔ)角為異面直線AF和DE所成角，在CDE中由余弦定理求得cosCED及AF

和DE所成角的正弦值.

【詳解】連接EC，因?yàn)镃FBC，E是AB的中點(diǎn)，所以EC//AF，

所以CED或其補(bǔ)角為異面直線AF和DE所成角，

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則EC3,ED3，

CE2DE2CD23341

在CDE中由余弦定理得cosCED，

2CEDE2333

2

122

所以AF和DE所成角的正弦值為1，

33

故選：B

2．（2022河北）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1A的中點(diǎn)，則異面直線DE和CD1所成角的

余弦值是（）

521010

A．B．C．D．

52105

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】設(shè)F為AB的中點(diǎn)，連接EF,DF,A1B，可證DEF或其補(bǔ)角即為異面直線DE和CD1所成的角，故

可求它的余弦值.

【詳解】

設(shè)F為AB的中點(diǎn)，連接EF,DF,A1B，

由正方體的性質(zhì)可得A1D1//BC,A1D1=BC,則四邊形D1A1BC為平行四邊形，

故A1B//D1C，而E,F為所在棱的中點(diǎn)，故EF//A1B，

故EF//D1C，故DEF或其補(bǔ)角即為異面直線DE和CD1所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則DEDF5,EF2，

2

10

故210，故異面直線DE和CD1所成的角的余弦值為，

cosDEF10

510

故選：C.

3．（2024云南）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BC1與B1D1所成的角等于（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】連接AD1,AB1，分析可知異面直線BC1與B1D1所成的角為AD1B1（或其補(bǔ)角），結(jié)合正方體的性

質(zhì)分析求解.

【詳解】連接AD1,AB1，

因?yàn)锳B∥C1D1，ABC1D1，可知ABC1D1為平行四邊形，

則AD1∥BC1，可知異面直線BC1與B1D1所成的角為AD1B1（或其補(bǔ)角），

π

由正方體可知ADABBD，即ABD為正三角形，可知ADB，

111111113

π

所以異面直線BC與B1D1所成的角等于.

13

故選：C.

4．（2024湖南）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BC1與B1D1所成的角為（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類

【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何法求出異面直線所成的角.

【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1中，連接AB1,AD1，四邊形ABC1D1是其對(duì)角面，

則四邊形ABC1D1是矩形，BC1//AD1，于是AD1B1是異面直線BC1與B1D1所成的角，

π

而ABADBD2AB，即ABD為正三角形，ADB，

111111113

π

所以異面直線BC1與B1D1所成的角為.

3

故選：C

5．（2023湖南）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線AC與B1D1所成的角為（）

A．B．C．D．

6432

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】由異面直線所成角的概念求解，

【詳解】由題意，正方體中得B1D1//BD，故異面直線AC與B1D1所成的角，即正方形對(duì)角線AC與BD的夾

角，

2

故選：D

6．（2023云南）在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線AC與A1D所成角的大小為（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】把A1D平移到B1C，連結(jié)AB1C構(gòu)成等邊三角形，異面直線AC與A1D所成角即為ACB1.

【詳解】連結(jié)B1C、AB1，如下圖：

在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1//DC且A1B1DC；

四邊形A1B1CD為平行四邊形，則A1D//B1C；

又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB1C為等邊三角形，

π

ACB就是異面直線AC與AD所成角,ACB，

1113

π

異面直線AC與AD所成角的大小為.

13

故選：C.

7．（2023安徽）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線CD1與BC1所成的角是（）

A．30B．45C．60D．90

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角

【分析】連接AD1，AC，證明AD1//AC，則AD1C即為直線CD1與BC1所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)正三角

形即可求解.

【詳解】連接AD1，AC，在正方體ABCDA1B1C1D1中，

因?yàn)锳B//D1C1，且AB=D1C1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形，所以AD1//AC，則AD1C即為直線CD1

與BC1所成的角或其補(bǔ)角，由正方體的性質(zhì)可得：AD1C為正三角形，所以AD1C=60，則直線CD1與BC1

所成的角是60，

故選：C.

8．（2023河北）如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱AD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1E與BF

所成角的大小為．

π

【答案】

2

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析、求異面直線所成的角

【分析】先取D1D中點(diǎn)為G,連接AG,GF,記A1E與AG交點(diǎn)為M,根據(jù)平行可知A1E與BF所成角即為A1E與

π

AG所成角,通過正方體性質(zhì)可得△AAE△ADG,即AAEDAG,根據(jù)DAGAAGAAE可

11112

πππ

知AAEAAG,即AMA,即可知AE與BF所成角為.

1121212

【詳解】取D1D中點(diǎn)為G,連接AG,GF,記A1E與AG交點(diǎn)為M,如圖所示:

因?yàn)镚,F分別是棱D1D,CC1的中點(diǎn),

所以GF∥AB,且GFAB,故四邊形ABGF為平行四邊形,

所以AG∥BF,所以A1E與BF所成角即為A1E與AG所成角,

因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1,E,G是棱AD,D1D的中點(diǎn),

π

所以AAAD,AEGD,AADADG,

112

△△

所以A1AEADG,即AA1EDAG,

ππ

因?yàn)镈AGAAGAAE,所以AAEAAG,

112112

π

所以AMAπAAEAAG,

1112

ππ

故AE與AG所成角為,即AE與BF所成角為.

1212

π

故答案為:

2

1．（2024湖南）如圖，AB為圓柱底面直徑，BC為母線，若ABBC，則AC與圓柱底面所成角的大小

為（）

A．30B．45C．60D．90

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據(jù)線面角定義得CAB為所求的角，再利用等腰直角三角形性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】因?yàn)槟妇€BC底面，

則AC與圓柱底面所成角即為CAB，又因?yàn)锳B為圓柱底面直徑，則BCAB，

因?yàn)锳BBC，所以CAB45.

故選：B.

2．（2023江蘇）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BD1與平面ABCD所成角的正切值為（）

323

A．1B．C．D．

223

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角

【分析】連接BD，DD1平面ABCD，故DBD1是BD1與平面ABCD所成角，計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：連接BD，因?yàn)镈D1平面ABCD，故DBD1線BD1與平面ABCD所成角，設(shè)正方體棱

長(zhǎng)為1，則DD11,DB2，

DD2

tanDBD1.

1DB2

故選：C

3．（2023河北）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱AA1底面ABC，則直線AB1

與平面BCC1B1所成角的正弦值為（）

610152

A．B．C．D．

4452

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、求線面角、線面垂直證明線線垂直

【分析】取BC的中點(diǎn)O，連接AO,B1O，根據(jù)題意，先得到AO平面BCC1B1，則所求直線與平面所成的

角為AB1O，通過幾何關(guān)系求其正弦值即可

【詳解】取BC的中點(diǎn)O，連接AO,B1O，易得BCAO

因?yàn)閭?cè)棱AA1底面ABC，側(cè)棱AA1//側(cè)棱BB1，

所以側(cè)棱BB1底面ABC，AO底面ABC，

所以BB1AO，

因?yàn)锽B1BCB，BB1,BC平面BCC1B1，

故AO平面BCC1B1，

所以所求直線與平面所成的角為AB1O，

由AO平面BCC1B1，B1O平面BCC1B1可得AOB1O,

因?yàn)樗械睦忾L(zhǎng)都相等，不妨假設(shè)棱長(zhǎng)為2，則AO3,OB15，AB122，

36

則sinAB1O.

224

故選：A

4．（2023安徽）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC．若ABAC1,AA12，則B1C與平面AA1C1C

所成的角的大小為．

【答案】/30

6

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據(jù)線面垂直可得線面角的幾何角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

【詳解】連接A1C,

由于直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AB平面ABC，

故AA1AB,又ABAC,AA1ACA,AA1,AC平面AA1C1C，

故AB平面AA1C1C,

由于AB//A1B1,所以A1B1平面AA1C1C,

故B1CA1為B1C與平面AA1C1C所成的角，

由于，所以22

ABAC1,AA12A1CA1AAC3,

B1A113

tanB1CA1，

CA133

π

由于BCA為銳角，所以BCA，

11116

π

故答案為：

6

5．（2024浙江）已知一個(gè)各棱均相等的四面體成ABCD，則棱AB與平面BCD的夾角的余弦值為．

【答案】/

??

【知識(shí)點(diǎn)】?求?線?面角

【分析】作AO平面BCD，由ABO即為所求的角，然后利用正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件即得．

【詳解】

在四面體成ABCD中，作AO平面BCD，連接BO，

則ABO即為棱AB與平面BCD的夾角，令A(yù)B2，

由四面體的棱長(zhǎng)均相等，則O為△BCD的中心，

223

所以BO2212，

33

23

BO3.

cosABO3

AB23

3

故答案為：.

3

6．（2023四川）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BD1與平面ABCD所成角的正切值為.

【答案】2

2

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角

【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)及線面角定義求解.

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，

在正方體中，D1D平面ABCD，

故D1B在平面ABCD上的射影為BD，

所以D1BD為直線BD1與平面ABCD所成角，

D1D12

故tanD1BD.

BD22

故答案為：2

2

7．（2023湖南）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是D1D的中點(diǎn)，則直線BE與平面ABCD所成角

的正弦值為．

1

【答案】

3

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角

【分析】根據(jù)線面角的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】連接BD，由于DE平面ABCD，

所以EBD是直線BE與平面ABCD所成角，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則DE1,BD22,BE3，

1

所以sinEBD，

3

1

所以直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為.

3

1

故答案為：

3

1．（2023河北）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，△PCD是等邊三角形，平面PCD底

面ABCD，AD3，四棱錐PABCD的體積為183，E為PC的中點(diǎn)．平面PAB與平面ABCD所成二面

角的正切值是（）

A．2B．3C．2D．1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線面垂直

【分析】由PG底面ABCD得出CD6，進(jìn)而由PFAB，F(xiàn)GAB得出平面PAB與平面ABCD所成二

面角的正切值.

【詳解】分別取CD,AB的中點(diǎn)為G,F，連接PF,FG,PG,AG,BG，

設(shè)CD2a,a0，則PG3a.

因?yàn)椤鱌CD是等邊三角形，所以PGCD，

又因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，PG平面PCD，

PG底面ABCD，

因?yàn)樗睦忮FPABCD的體積為183，

1

所以(32a)3a183，解得a3.

3

則PGFG，PGAG,PGBG，所以PAPB，PFAB，

又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以FGAB，

所以PFG為平面PAB與平面ABCD所成二面角的平面角，

PG33

tanPFG3.

FG3

故選：B

2．（2024浙江）如圖，在底面邊長(zhǎng)為2的菱形的四棱錐PABCD中，PAPB2，平面PAB平面ABCD，

1

ABC60，設(shè)E是棱PB上一點(diǎn)，三棱錐EACD的體積為.

2

(1)證明：PCAB；

(2)求BE；

(3)求二面角ECDA的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)BE1

5

(3)

5

【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、求二面角、證明線面垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】（1）取AB中點(diǎn)H，連結(jié)PH，CH，證明AB平面CHP，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）作EMAB于M，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明EM平面ABCD，再根據(jù)三棱錐的體積公式即可得解；

（3）作MNCD交于DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接EN，證明CD平面EMN，則CDEN，則ENM即

為二面角ECDA的平面角，再解ENM即可.

【詳解】（1）取AB中點(diǎn)H，連結(jié)PH，CH，

因?yàn)镻APB2，所以PHAB，

在菱形ABCD中，ABC60，則VABC是等邊三角形，

所以CHAB，

又PHCHH,PH,CH平面CHP，

故AB平面CHP，

又CP平面CHP，所以ABCP；

（2）作EMAB于M，

因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，EM平面PAB，

所以EM平面ABCD，

11113

所以VEACDSADCEM23EM，所以EM，

33222

所以BE1；

（3）作MNCD交于DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接EN，

由EM平面ABCD，CD平面ABCD，得EMCD，

又MNEMM,MN,EM平面EMN，

所以CD平面EMN，

又EN平面EMN，所以CDEN，

所以ENM即為二面角ECDA的平面角，

3

EM5

sinENM2

EN25.

32

3

2

3．（2024浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，點(diǎn)M在

線段PD上且AD2DM2,ADP60.

(1)求證：AM平面PCD；

(2)求三棱錐MABD的體積；

(3)求二面角的MBCA正切值.

【答案】(1)證明見解析

3

(2)

3

3

(3)

4

【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、求二面角、證明線面垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證明CD平面PAD，則有CDAM，再利用勾股定理證明AMPD，

再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；

（2）過M作MNAD，交AD于點(diǎn)N，利用面面垂直的性質(zhì)證明MN平面ABD，再根據(jù)棱錐的體積公

式即可得解；

（3）過N作NHBC交BC于點(diǎn)H，則MHN即為二面角MBCA的平面角，再解Rt△MNH即可.

【詳解】（1）∵CDAD，平面PAD平面ABCD，CD平面ABCD，

平面PAD平面ABCDAD，

\CD^平面PAD，

又AM平面PAD，CDAM，

又AD2DM2,ADP60，

由余弦定理得AM2AD2DM22ADDMcos603，

則AD2AM2DM2，AMPD，

又PDCDD,PD,CD平面PCD，

AM平面PCD；

（2）過M作MNAD，交AD于點(diǎn)N，

因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，MN平面PAD，

3

所以MN平面ABD，則MN，

2

1133

所以V22；

MABD3223

（3）過N作NHBC交BC于點(diǎn)H，連接HM，

因?yàn)镸N平面ABD，BC平面ABD，

所以MNBC，

則MHN即為二面角MBCA的平面角，

33

在Rt△MNH中，MN,NH2，所以tanMHN，

24

3

所以二面角的MBCA正切值為.

4

4．（2023浙江）如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC2．

(1)求三棱錐PABC的體積；

(2)求證：平面PAC平面PBC；

(3)設(shè)點(diǎn)D在棱PB上，ADCD，求二面角DACB的正弦值．

2

【答案】(1)

6

(2)證明見解析

3

(3)

3

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求二面角、證明面面垂直

【分析】（1）先求出底面積，再利用體積公式求解體積即可.

（2）先利用線面垂直判定定理得到BC平面PAC，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.

（3）合理作圖，找到二面角的平面角，利用三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)锳CBC,AC1,BC2，

112

所以SACBC12，

ABC222

因?yàn)镻A平面ABC,

122

所以三棱錐PABC的體積V1.

326

（2）因?yàn)镻A平面ABC,BC平面PBC,

所以PABC,又ACBC,PAACA,

PA,AC平面PAC,所以BC平面PAC,

因?yàn)锽C平面PBC,所以平面PAC平面PBC.

（3）

過點(diǎn)D作DEAB于E,取AC的中點(diǎn)F,連接EF,

因?yàn)镻A平面ABC,PA平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC,

又平面PAB平面ABCAB,