不等式專題

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號(hào)的定義：a-b>0a>b;a-b=0<=>ci=b,a-b<0a<b.

（2）不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.

（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不筆式的同解變形.

2.不等式的基本性質(zhì)

（】）a>b<^>b<a（對(duì)稱"生）

（2）=1傳遞性）

（3）a>h=>a+c>h+c（加法單調(diào)性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）

（5）a>h,c<d=>a-c>b-cl（異向不等式相減）

（6）a.>h,c>0=>ac>bc

（7）a>b,cac<be（乘法單調(diào)性）

（8）a>b>O,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

（9）a>b>QtO<c<d=>->-（異向不等式相除）

cd

（10）a>b,ab>0=>—<—（倒數(shù)關(guān)系）

ab

（11）a>b>0=>a">b^（neZ,^.n>1）（平方法則）

（12）〃>方>0=底>皈〃wZ.且〃>1）（開方法則）

3.幾個(gè)重要不等式

（1）若則lalNOZzo

（2）若公〃wK+,則<?+，之2"（或M+〃2之2|必修2"）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

（3）如果國(guó)。都是正數(shù)，那么S（當(dāng)僅當(dāng)a4時(shí)取等號(hào)）

2

極值定理：若x,y&R\x+y=S,xy=P,則：

①如果P是定值，那么當(dāng)時(shí)，S的值最??；

②如果S是定值，那么當(dāng)年y時(shí)，P的值最大.

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

（4）若以氏小*,則竺如之質(zhì)（當(dāng)僅當(dāng)a=b=cHkj取等號(hào)）

3

⑸若帥>0,則（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab

;2222

（6）?>0lif,|A|>?ox>a或x>“；|,v|<A<=>x<a<^>-a<x<a

（7）若a、beR,則||歸a土b國(guó)+

4.不等式的解法

（1）整式不等式的解法〔根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.

特例①一元一次不等式ax乂解的討論；

②一元二次不等式4。十“”0（己去0）解的討論.

(2)分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

孤〉。。/⑸皿”省“。｛；案產(chǎn)

(3)無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

①師>同。卜小。尸定乂域

____f(x)之o(-----f/(x)-0

②77^>g(x)=")之0或案:③775<g(x)o以外之。

丘⑶>［心)產(chǎn)⑻)［fM<IsM］2

(4).指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

a"X)>>1)of(x)>g(x);a"x>>a?,u(0<a<1)of(x)<g(x)

a"">b[a>0,力>0)of(x)-Ig?>\gb

(5)對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

7a)>0[/a)>o

log“/(x)>log,,g(x)(a>1)Og(x)>°；>og/(-*)>log。8(x)(0<?<!)<=>g(x)>0

/(.*)>g(x)al/(A-)<gU)

(6)含絕對(duì)值不等式

①應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；②應(yīng)用數(shù)形思想；

③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化

1f(x)Kg(”)0{-(g(-v)<fW<g(X)

"⑶|>g(x)og(x)<0(/(。g(x)不同時(shí)為0)或{陽><，即X)>g(x)

典型例題分析

例一1、關(guān)于X的不等式a<-b>Q的解集是(1,+8),則關(guān)于X的不等式絲3>0的解集是()

x—2

A.(-8,-1)U(2,+8)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-?>,1)U(2,+?>)

2、解關(guān)于X的不等式：心T)>1

x—2.

例二1、不等式J1-/<工+。在［t,1］上恒成立，則。的取值范圍是

2、若不等式J7二I〈百ar的解集為［1,2］,則實(shí)數(shù)〃的取值集合是

例三1.不等式log.(l-3>l，當(dāng)Q>1時(shí)，其解為

x

A){x\—<x<0}8){x|l<x<—!—}C){x|—<x<l}D){x|0<x<—}

\-a\-a\-a\-a

2+log?x

2.不等式X3>8的解集為

(A)(0,+8)(B)R(C)(0,8)(D)0

3.不等式210gx25—3log2sX<l的解集為

4)(上,1)B)(5⑹+8)C)(5V5/+OO)U(±Z1)D)(5狗,+8)u(工,1)

252525

4.當(dāng)。>0且。旦1時(shí),解關(guān)于x的不等式：1+log1(4-log,(ar-1).

24

ADD

14、當(dāng)0<a<l時(shí)，{x[k>g“4vx41ogq2};當(dāng)。>1時(shí),{x|logw2^x<log24}.

1_x2

例四1、設(shè)p：x2—x—20>0,Q：I—；<0,則p是q的()

kl-2

(A)充分不必耍條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

hIxI(r<0)

例五1、設(shè)函數(shù)/(X)=；；(>0)，若/'(%)>0則X。取值范圍是)

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-8,-1)U(0,+8)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(0,+00)

a-x,x<0,f(Y)

2、已知：困數(shù)“幻=<(6/>0).解不等式：包又<1.

a,x>0x-2

例六1、已知奇函數(shù)f(x)在(-8,0)為減函數(shù)，*2)=0則不等式(x-l)f(x-l)<0的解集

為：。

2、已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且當(dāng)

x>0時(shí)，f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a?-2a-2)。的解.

例七1、定義在R上的函數(shù)f/x)為奇函數(shù)，且在［0,+8)為增函數(shù)，對(duì)任意?￡R,不等式

f(cos2^-3)+f(2m-sin<9)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

2、設(shè)奇函數(shù)/(幻在［T,1］上是增函數(shù)，且=若函數(shù)/(外工產(chǎn)―2小+1

對(duì)所有的xG［-1,1］及所有的aG［-1,1］都成立，則/的取值范圍是:

課堂鞏固

1、若不等式，一色+_1沈+1<0的解為則。的取值范圍是

aa

x

2、解關(guān)于X的不等式：-—<1-6/

A-1

3、已知?！?(〃+1)(《)”(”END,則數(shù)列{aj最大項(xiàng)為第一項(xiàng)。

4、不等式而二7<2x+a(a>0)的解集是()

A(xjo<X<4}B{A］0<X<C'XX><——a'D0

-5)

5、關(guān)于X的不等式/<bg〃(x+l)在(0,1)上恒成立，則a的取值范圍是。

2rI

6、不等式士->」一的解集是

x-iUI

7、己知函數(shù)》=/1)在(-8,+00)上是增函數(shù)，A。-2),B(4,2)是其圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，那

么不等式I/(x+2)|<2的解集是

8、已知y=/(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù)，它們的定義域

均為［-小封，且它們?cè)诓蝗f］上的圖象如圖所示，則不等式

四<瞰解集是

gW

9、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)/(式)滿足①若X>1,則/(X)<0；②/(g)=1;③對(duì)定義

域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,)，，都有：f(xy^)=f(x)+f(y)f則不等式/。)+/(5-幻2-2的

解集為o

*+1)2X<\

10、設(shè)函數(shù)/(、)=12—，則使/(%)之1。則X。的取值范圍是()

4-Vx-1x>1

A(-oo-2]u[0,10]B(-00-2]U[0,1]C(-00-2]u[1,10]D[-2,0]u[1,10]

11、已知=則不等式x+(x+2)-/(x+2)W5的解集是__________?

一1,型u,

12、f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，如果f(ax+l)Wf(x-2)在［；,1］上恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

13、對(duì)滿足0WPW4的實(shí)數(shù)P,做/+&>4x+P—3恒成立的x的取值范圍是:A.

[—1,3]B.(3,4-00)C.(—oo,—l)IJ(3,4-OO)0.(—oo,-l)

14、已知函數(shù)/(幻=3d一/一3工+\,直線/：9x+2y+c=0,若當(dāng)工￡[-2,2]時(shí),

函數(shù)y=f(x)的圖象恒在直線/的下方，則C的取值范圍是

提升訓(xùn)練

(x+l)2(x<-l)

1.設(shè)函數(shù)yu)=,2x+2(-l<x<l),已知火〃)>1,則4的取值范圍是()

A.(-8,-2)u(-；,+8)B.(一g)

C.(—oo,—2)U(——,1)D.(—2,——)U(1,-Foo)

2

2.已知Ar)、g(x)都是奇函數(shù)，/(x)>0的解集是(蘇，份，g(x)>0的解集是(竺，-),

2

則凡。g(x)>0的解集是.

3.已知關(guān)于x的方程sin2A+2cosA-i-6z=0有解，則4的取值范圍是.

4.已知適合不等一式Lt2—4x+p|+|x—3|W5的x的最大值為3.

⑴求〃的值；

(2)若凡r尸與二，解關(guān)于x的不等式/一小)>1。％,寧伏￡R+)

px+1k

7_1

5.設(shè)./U)=ad+Zu+c,若川)=5,問是否存在a、〃、c￡R,使得不等式：/+不<f(x)<2.r+2x+

三3對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論.

2

6.已知函數(shù)啟)=/+陰+夕，對(duì)于任意0￡R,有人sin彷()，且人sin火2)”

(I)求p、q之間的關(guān)系式；

(2)求〃的取值范圍；

(3)如果;(sinO+2)的最大值是14,求〃的值.并求此時(shí)/(sin。)的最小值.

7.解不等式1。&(1一l)>1

x

8.設(shè)函數(shù)府)="滿足條件：當(dāng)x￡(—8,0)時(shí)，兒r)>l；當(dāng)x￡((),1]時(shí)，不等式式3/址

—1)>川+〃認(rèn)一/)》,/(〃?+2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

不等式的解法練習(xí)2參考答案

一、1.解析：由於)及/(4)>1可得:

-1<a<1

①或

2a+2>\

解①得aV—2,解②得一一VaVl,解③得

2

??.a的取值范圍是(一力,—2)U(——,I)

2

答案：C

2.解析：由己知匕>〃:/U),g(x)均為奇函數(shù)，的解集是(一4一屋)，g(x)V0

.2

的解集是(一*%).由於)g(x)>0可得：

依)>?？谏舰?lt;。叩卜：<皿

g(x)>0,|g(x)<0'、|--<x<-—

2222

Axe(?2,1)U(--|,-a2)

答案：(〃2,1)U(-^,-?2)

3.解析：原方程可化為cos*—2cosx—a—1=0,令Z=COSJG得尸一2/—a—1=0,原問題轉(zhuǎn)

化為方程Z2—2f—a—1:0在[―1,1]上至少有一個(gè)實(shí)根.令人/尸產(chǎn)一2l—a—1,對(duì)稱軸f=l,

畫圖象分析可得解得[-2,2].

1/(1)<0

答案:[-2,2]

三、

4.解：(1)???適合不等式斤一4戶〃|+卜一3區(qū)5的x的最大值為3,

/.X-3<0>/.|x—3|=3—%.

若*-4X+〃|=-『+4LP，則原不等式為F-3x+p+2K),其解集不可能為國(guó)啟3｝的子集，

/.|.\2-4x+p|=/—4x+p.

，原不等式為x2—4x+p+3一后0,BPX2—5A+p—2<0,令A(yù)2—5x+p—2=(x—3)(x—〃"，可

得〃?=2,p=8.

(2)/(.r)=-^^—!-，，/i(x)=log81^(—l<x<l),

8V+1IT

Wlogs>log8?...logKl-X)Vlog8匕?，?\~x<k,.*.x>1—k.

1-.Vk

V-1<x<1,2￡R+,?,?當(dāng)0VAV2時(shí)，原不等式解集為｛x|l-&VxVl｝；當(dāng)Q2時(shí)，

原不等式的解集為3—1<x<\].

771a3

5.解：由<1)=3得a+Z?+c=3,令『+3=2x2+Zr+；x=>下-1,由yU￡2『+2x+j推得

3

?T冷.

由/U)》2+：推得7(-1巨3，?\/(—1)=3，.二。一萬-c=3，故

2(a+c)=5,a+c=且8=1,；?yU)=av2+x+(—a).

依題意：ar+x+(--a)>^+,對(duì)一切x￡R成立，

22

???〃,1且/二1一4(〃一1)(2一。左0,得(2。-3)24),

3

?,-J(x)=-x1+x+\

33

易驗(yàn)證：-f+戶1<2X2+2X+—對(duì)x￡R都成立.

22

3I3

?,?存在實(shí)數(shù)a=—,b=\,c=l,使得不等式：f+—磯目戈昌⑵葉―對(duì)一切x￡R都成立.

222

6.解：(l)V-l<sin<9<l,l<sin<9+2<3,即當(dāng)[-1,I]時(shí)，小乃0,當(dāng)[1,3]

時(shí)，./(A)>0,:.當(dāng)x=1時(shí)fix)=0./.\+p+q=0,q=—(\+p)

(2)*x)=f+p.L(l+p),

當(dāng)sin〃=—1時(shí)八一1)二0,/.1~p—1一匹0,p>0

(3)注意到外)在[1,3]上遞增，???x=3時(shí)段)有最大值.即9+3p+q=14,9+3〃-1一〃二14,

.*.p=3.

49S

此時(shí)，人丫）=e+3］—4,即求［—1,1］時(shí)貝x）的最小值.又yu）=（x+5）2—丁，顯然

24

此函數(shù)在［-I,1］上遞增.

:.當(dāng)x=-1時(shí)7U）有最小值<-1）=1-3—4二-6.

1-->0

7.解：（I）當(dāng)。>1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組x

1-->6/

X

由此得1一。>'.因?yàn)?一。<0,所以XV0,???——<x<0.

x1—a

①

②

(2)當(dāng)OVaVl時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：”

1--<?

x

由①得x>l或xVO，由②得OVxV」一,A1<x<—.

1-ci\-a

綜上，當(dāng)。>1時(shí)，不等式的解集是閨一!一VxVO；,當(dāng)OVaVl時(shí)，不等式的解集為

1-67

｛x|i<x<_L|.

\-a

8.解：由已知得OVaVl,由13心一1)刁(1+〃〃一/)>人機(jī)+2),x￡(0,I］恒成立.

3mx-\<\+nix-x一注一

<=>在x￡(0,1］恒成立.

1+nvc-X~<777+2

2x<1-x-_?.

整理，當(dāng)xW(O,1)時(shí),恒成立,

m(x-\)<x+1

1-x2

m<-----2

2x2.71A<1-X

即當(dāng)x￡(0,1］時(shí)，恒成立，且x=l時(shí),恒成立,

<.2,Irn(x-1)<.r2+I

.?.?=出在心1］上為增函數(shù)，???匕￡>0,