第41頁（共41頁）2025年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1．（3分）（2025?浙江）34A．-34 B．34 C．-42．（3分）（2025?浙江）如圖所示，直線a，b被直線c所截．若a∥b，∠1＝91°，則（）A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°3．（3分）（2025?浙江）國(guó)家稅務(wù)總局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2024年，現(xiàn)行支持科技創(chuàng)新和制造業(yè)發(fā)展的主要政策減稅降費(fèi)及退稅達(dá)26293億元，助力我國(guó)新質(zhì)生產(chǎn)力加速培育、制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展．將數(shù)2629300000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．26.293×1011 B．2.6293×1012 C．0.26293×1013 D．2.6293×10134．（3分）（2025?浙江）底面是正六邊形的直棱柱如圖所示，其俯視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）（2025?浙江）已知反比例函數(shù)y=-7A．函數(shù)圖象在第一、三象限 B．y隨x的增大而減小 C．函數(shù)圖象在第二、四象限 D．y隨x的增大而增大6．（3分）（2025?浙江）如圖，五邊形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)A，A′的坐標(biāo)分別為（2，0），（3，0）．若DE的長(zhǎng)為3，則D′E′的長(zhǎng)為（）A．72 B．4 C．92 D7．（3分）（2025?浙江）手工社團(tuán)的同學(xué)制作兩種手工藝品A和B，需要用到彩色紙和細(xì)木條，單個(gè)手工藝品材料用量如表．材料類別彩色紙（張）細(xì)木條（捆）手工藝品A53手工藝品B21如果一共用了17張彩色紙和10捆細(xì)木條，問他們制作的兩種手工藝品各有多少個(gè)？設(shè)手工藝品A有x個(gè)，手工藝品B有y個(gè)，則x和y滿足的方程組是（）A．5x+3y=172C．5x+2y=178．（3分）（2025?浙江）某書店某一天圖書的銷售情況如圖所示．根據(jù)以上信息，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．科技類圖書銷售了60冊(cè) B．文藝類圖書銷售了120冊(cè) C．文藝類圖書銷售占比30% D．其他類圖書銷售占比18%9．（3分）（2025?浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜邊AB上的中線，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．若AB＝2，則DE的長(zhǎng)為（）A．19π B．29π C．1136π D10．（3分）（2025?浙江）為了實(shí)時(shí)規(guī)劃路徑，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)需要計(jì)算運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)之間距離的平方．如圖1，點(diǎn)P是一個(gè)固定觀測(cè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q從A處出發(fā)，沿筆直公路AB向目的地B處運(yùn)動(dòng)．設(shè)AQ為x（單位：km）（0≤x≤n），PQ2為y（單位：km2）．如圖2，y關(guān)于x的函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，最低點(diǎn)D（m，81），且經(jīng)過E（1，225）和F（n，225）兩點(diǎn)．下列選項(xiàng)正確的是（）A．m＝12 B．n＝24 C．點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為240 D．點(diǎn)（15，85）在該函數(shù)圖象上二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?浙江）|﹣5|+3-27=12．（3分）（2025?浙江）不等式組x≥-22x-3＜13．（3分）（2025?浙江）無人機(jī)警戒在高速公路場(chǎng)景中的應(yīng)用，是我國(guó)低空經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的重要實(shí)踐方向．如圖，在高速公路上，交警在A處操控?zé)o人機(jī)巡查，無人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到點(diǎn)P處懸停，探測(cè)到它的正下方公路上點(diǎn)B處有汽車發(fā)生故障．測(cè)得A處到P處的距離為500m，從點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)P的仰角為α，cosα＝0.98，則A處到B處的距離為m．14．（3分）（2025?浙江）現(xiàn)有六張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的卡片，其中標(biāo)有數(shù)字1，4，5的卡片在甲手中，標(biāo)有數(shù)字2，3，6的卡片在乙手中．兩人各隨機(jī)出一張卡片，甲出的卡片數(shù)字比乙大的概率是．15．（3分）（2025?浙江）【文化欣賞】我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中記載的二項(xiàng)和的乘方（a+b）n展開式的系數(shù)規(guī)律如圖所示，其中“三乘”對(duì)應(yīng)的展開式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【應(yīng)用體驗(yàn)】已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，則m的值為．16．（3分）（2025?浙江）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是AD上一點(diǎn)，連接EB，EC分別交AD于點(diǎn)F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，則⊙O的直徑為．三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）（2025?浙江）化簡(jiǎn)求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．18．（8分）（2025?浙江）解分式方程：3x+119．（8分）（2025?浙江）【問題背景】如圖所示，某興趣小組需要在正方形紙板ABCD上剪下機(jī)翼狀紙板（陰影部分），點(diǎn)E在對(duì)角線BD上．【數(shù)學(xué)理解】（1）該機(jī)翼狀紙板是由兩個(gè)全等三角形組成，請(qǐng)寫出△ABE≌△CBE的證明過程．（2）若裁剪過程中滿足DE＝DA，求“機(jī)翼角”∠BAE的度數(shù)．20．（8分）（2025?浙江）2024年11月9日是浙江省第31個(gè)消防日，為增強(qiáng)師生消防安全意識(shí)、提高自救防范能力，某縣教育與消防部門共同組織消防知識(shí)競(jìng)賽．全縣九年級(jí)共120個(gè)班，每班選派10名選手參加．隨機(jī)抽取其中10個(gè)班級(jí)，統(tǒng)計(jì)其獲獎(jiǎng)人數(shù)，結(jié)果如表．班級(jí)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩獲獎(jiǎng)人數(shù)7868669785（1）若①班獲獎(jiǎng)選手的成績(jī)分別為（單位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求該班獲獎(jiǎng)選手成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)．（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)全縣九年級(jí)參賽選手獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)．21．（8分）（2025?浙江）【閱讀理解】同學(xué)們，我們來學(xué)習(xí)利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2近似計(jì)算算術(shù)平方根的方法．例如求67的近似值．因?yàn)?4＜67＜81，所以8＜67＜則67可以設(shè)成以下兩種形式：①67=8+s，其中0＜s＜1②67=9﹣t，其中0＜t＜1小明以①的形式求67的近似值的過程如表．因?yàn)?7=8+s所以67＝（8+s）2，即67＝64+16s+s2．因?yàn)閟2比較小，將s2忽略不計(jì)，所以67≈64+16s，即16s≈67﹣64，得s≈67-64故67≈8+3【嘗試探究】（1）請(qǐng)用②的形式求67的近似值（結(jié)果保留2位小數(shù)）．【比較分析】（2）你認(rèn)為用哪一種形式得出的67的近似值的精確度更高，請(qǐng)說明理由．22．（10分）（2025?浙江）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的半圓，交BC于點(diǎn)D，與AC相切于點(diǎn)E，連接OD，OE．（1）求證：OD⊥OE．（2）若AB＝BC，OB=3，求四邊形ODCE23．（10分）（2025?浙江）已知拋物線y＝x2﹣ax+5（a為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（1，0）．（1）求a的值．（2）過點(diǎn)A（0，t）與x軸平行的直線交拋物線于B，C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，求t的值．（3）設(shè)m＜3＜n，拋物線的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夾在兩條均與x軸平行的直線l1，l2之間．若直線l1，l2之間的距離為16，求n﹣m的最大值．24．（12分）（2025?浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．（1）如圖1，求sin∠BAC的值．（2）如圖2，E是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，作△FBE與△ABE關(guān)于直線BE對(duì)稱，EF交射線AC于點(diǎn)P，連接BP．①當(dāng)EF⊥AC時(shí)，求AE的長(zhǎng)．②求PA﹣PB的最小值．

2025年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案A．BB．ACCCDBD一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1．（3分）（2025?浙江）34A．-34 B．34 C．-4【考點(diǎn)】相反數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí)．【答案】A．【分析】根據(jù)符號(hào)不同，絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．【解答】解：34的相反數(shù)是-故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)的概念，掌握只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．2．（3分）（2025?浙江）如圖所示，直線a，b被直線c所截．若a∥b，∠1＝91°，則（）A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；對(duì)頂角相等；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求解．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝91°，由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)得∠4＝180°﹣∠3＝89°，由對(duì)頂角相等得∠5＝∠4＝89°，由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)得∠2＝180°﹣∠1＝89°，故正確的是B選項(xiàng)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2025?浙江）國(guó)家稅務(wù)總局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2024年，現(xiàn)行支持科技創(chuàng)新和制造業(yè)發(fā)展的主要政策減稅降費(fèi)及退稅達(dá)26293億元，助力我國(guó)新質(zhì)生產(chǎn)力加速培育、制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展．將數(shù)2629300000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．26.293×1011 B．2.6293×1012 C．0.26293×1013 D．2.6293×1013【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí)．【答案】B．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：2629300000000＝2.6293×1012．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）（2025?浙江）底面是正六邊形的直棱柱如圖所示，其俯視圖是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】A【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖進(jìn)行判斷即可．【解答】解：從上面看這個(gè)幾何體，看到的圖形是一個(gè)正六邊形，因此選項(xiàng)A中的圖形符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．5．（3分）（2025?浙江）已知反比例函數(shù)y=-7A．函數(shù)圖象在第一、三象限 B．y隨x的增大而減小 C．函數(shù)圖象在第二、四象限 D．y隨x的增大而增大【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=-7x，k＝﹣7∴函數(shù)圖象在第二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟悉反比例函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?浙江）如圖，五邊形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)A，A′的坐標(biāo)分別為（2，0），（3，0）．若DE的長(zhǎng)為3，則D′E′的長(zhǎng)為（）A．72 B．4 C．92 D【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到OAOA'=OEOE'=ODOD【解答】解：∵五邊形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A，A'的坐標(biāo)分別為（2，0），（3，0），∴OAOA∵∠DOE＝∠DOE，∴△DOE∽△D'OE'，∴DED∵DE＝3，∴D'故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2025?浙江）手工社團(tuán)的同學(xué)制作兩種手工藝品A和B，需要用到彩色紙和細(xì)木條，單個(gè)手工藝品材料用量如表．材料類別彩色紙（張）細(xì)木條（捆）手工藝品A53手工藝品B21如果一共用了17張彩色紙和10捆細(xì)木條，問他們制作的兩種手工藝品各有多少個(gè)？設(shè)手工藝品A有x個(gè)，手工藝品B有y個(gè)，則x和y滿足的方程組是（）A．5x+3y=172C．5x+2y=17【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】根據(jù)“一共用了17張彩色紙和10捆細(xì)木條，”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意可列方程組5x故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?浙江）某書店某一天圖書的銷售情況如圖所示．根據(jù)以上信息，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．科技類圖書銷售了60冊(cè) B．文藝類圖書銷售了120冊(cè) C．文藝類圖書銷售占比30% D．其他類圖書銷售占比18%【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖．【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】D【分析】先由教育類書籍?dāng)?shù)量及其所占百分比求出總冊(cè)數(shù)，再乘科技類對(duì)應(yīng)百分比求得其人數(shù)即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)四個(gè)類別數(shù)量之和等于總冊(cè)數(shù)可求得文藝類數(shù)量，即可判斷B選項(xiàng)；用文藝類、其他類人數(shù)除以總數(shù)量，從而判斷C、D選項(xiàng)．【解答】解：A．總數(shù)量＝150÷37.5%＝400（冊(cè)），則科技類圖書銷售了400×15%＝60（冊(cè)），此選項(xiàng)正確，不符合題意；B．文藝類圖書銷售了400﹣（150+60+70）＝120（冊(cè)），此選項(xiàng)正確，不符合題意；C．文藝類圖書銷售占比120400×100%＝D．其他類圖書銷售占比70400×100%＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖是用整個(gè)圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)．通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)（單位1），用圓的扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)．9．（3分）（2025?浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜邊AB上的中線，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．若AB＝2，則DE的長(zhǎng)為（）A．19π B．29π C．1136π D【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CD＝AD，得到∠ACD＝∠A＝35°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠CDE＝70°，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠CED＝∠CDE＝70°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DCE＝40°，求出CD=12×2＝1【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝35°，∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°，由題意知：CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝70°，∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AB＝2，∴CD=12×2∴DE的長(zhǎng)=40π故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線，弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CD＝AD，掌握弧長(zhǎng)公式．10．（3分）（2025?浙江）為了實(shí)時(shí)規(guī)劃路徑，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)需要計(jì)算運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)之間距離的平方．如圖1，點(diǎn)P是一個(gè)固定觀測(cè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q從A處出發(fā)，沿筆直公路AB向目的地B處運(yùn)動(dòng)．設(shè)AQ為x（單位：km）（0≤x≤n），PQ2為y（單位：km2）．如圖2，y關(guān)于x的函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，最低點(diǎn)D（m，81），且經(jīng)過E（1，225）和F（n，225）兩點(diǎn)．下列選項(xiàng)正確的是（）A．m＝12 B．n＝24 C．點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為240 D．點(diǎn)（15，85）在該函數(shù)圖象上【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】依據(jù)題意，作PG⊥AB，當(dāng)x＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的位置，得到PH2＝225當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G的時(shí)候，PQ2最小為81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判斷A；當(dāng)x＝m時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，根據(jù)三線合一，得到BG＝HG，進(jìn)而求出n的值，判斷B；連接AP，勾股定理求出AP2的長(zhǎng)，確定C的縱坐標(biāo)，判斷C；依據(jù)題意，求出x＝15時(shí)，可得點(diǎn)Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判斷D．【解答】解：如圖，作PG⊥AB于G，當(dāng)x＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的位置，則由題意和圖象可知PH2＝225，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G的時(shí)候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12．在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2，∴m＝13．∴A錯(cuò)誤．∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12．當(dāng)x＝n時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則PB2＝225＝PH2，∴PB＝PH，∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝12，∴AB＝13+12＝25，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤．∴當(dāng)x＝0，即點(diǎn)Q在A點(diǎn)時(shí)，∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250．∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為250．∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤．當(dāng)x＝15時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)K，∴AK＝15．∴GK＝AK﹣AG＝2．∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85．∴點(diǎn)（15，85）在該函數(shù)圖象上．∴選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象、勾股定理、垂線段最短、等腰三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，確定點(diǎn)Q的位置是關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2025?浙江）|﹣5|+3-27=【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】2．【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)，立方根的定義計(jì)算后再算加法即可．【解答】解：原式＝5﹣3＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2025?浙江）不等式組x≥-22x-3＜5的解集是﹣【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣2≤x＜4．【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，求出不等式組的解集即可．【解答】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4，所以不等式組的解集為：﹣2≤x＜4．故答案為：﹣2≤x＜4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2025?浙江）無人機(jī)警戒在高速公路場(chǎng)景中的應(yīng)用，是我國(guó)低空經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的重要實(shí)踐方向．如圖，在高速公路上，交警在A處操控?zé)o人機(jī)巡查，無人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到點(diǎn)P處懸停，探測(cè)到它的正下方公路上點(diǎn)B處有汽車發(fā)生故障．測(cè)得A處到P處的距離為500m，從點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)P的仰角為α，cosα＝0.98，則A處到B處的距離為490m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】490．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α，∴AB＝AP?cosα＝500×0.98＝490（m），答：A處到B處的距離為490m．故答案為：490．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025?浙江）現(xiàn)有六張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的卡片，其中標(biāo)有數(shù)字1，4，5的卡片在甲手中，標(biāo)有數(shù)字2，3，6的卡片在乙手中．兩人各隨機(jī)出一張卡片，甲出的卡片數(shù)字比乙大的概率是49【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】49【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲出的卡片數(shù)字比乙大的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：2361（1，2）（1，3）（1，6）4（4，2）（4，3）（4，6）5（5，2）（5，3）（5，6）共有9種等可能的結(jié)果，其中甲出的卡片數(shù)字比乙大的結(jié)果有：（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），共4種，∴甲出的卡片數(shù)字比乙大的概率為49故答案為：49【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．15．（3分）（2025?浙江）【文化欣賞】我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中記載的二項(xiàng)和的乘方（a+b）n展開式的系數(shù)規(guī)律如圖所示，其中“三乘”對(duì)應(yīng)的展開式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【應(yīng)用體驗(yàn)】已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，則m的值為8．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】猜想歸納；運(yùn)算能力．【答案】8．【分析】根據(jù)題干中所得系數(shù)規(guī)律得到關(guān)于m的方程，解得m的值即可．【解答】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，∴mx3＝4x3×2，∴m＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)式規(guī)律問題，理解題意并得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2025?浙江）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是AD上一點(diǎn)，連接EB，EC分別交AD于點(diǎn)F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，則⊙O的直徑為214．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】214．【分析】由矩形的性質(zhì)得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推導(dǎo)出∠ALB＝∠BAD＝90°，則∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以∠GAC＝∠ACG，則CG＝AG＝4，可證明△CDG∽△AEG，得DGEG=CGAG=1，則DG＝EG＝3，求得AD＝7，CD=7，則⊙O【解答】解：連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，且矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＝∠BAD＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∵AF＝1，EG＝FG＝3，∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，∵∠BEC＝∠BAC，∴∠AFB＝∠BAC，∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，∵∠ABE＝∠ACG，∴∠GAC＝∠ACG，∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，∴△CDG∽△AEG，∴DGEG=∴DG＝EG＝3，∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD=C∴AC=AD2∴⊙O的直徑為214，故答案為：214．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）（2025?浙江）化簡(jiǎn)求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】13．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則去掉括號(hào)，再合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將數(shù)值代入求出結(jié)果．【解答】解：x（5﹣x）+x2+3＝5x﹣x2+x2+3＝5x+3，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝5×2+3＝13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)算法則來計(jì)算．18．（8分）（2025?浙江）解分式方程：3x+1【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x＝2．【分析】先把分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?，解整式方程求出x的值，然后檢驗(yàn)即可．【解答】解：3x方程兩邊同時(shí)乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，去括號(hào)，得3x﹣3﹣x﹣1＝0，解得：x＝2，檢驗(yàn)：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0，∴分式方程的解為x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2025?浙江）【問題背景】如圖所示，某興趣小組需要在正方形紙板ABCD上剪下機(jī)翼狀紙板（陰影部分），點(diǎn)E在對(duì)角線BD上．【數(shù)學(xué)理解】（1）該機(jī)翼狀紙板是由兩個(gè)全等三角形組成，請(qǐng)寫出△ABE≌△CBE的證明過程．（2）若裁剪過程中滿足DE＝DA，求“機(jī)翼角”∠BAE的度數(shù)．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）22.5°．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，據(jù)此可利用SAS證明△ABE≌△CBE；（2）由正方形的性質(zhì)可得∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，再由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE的度數(shù)即可得到答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2025?浙江）2024年11月9日是浙江省第31個(gè)消防日，為增強(qiáng)師生消防安全意識(shí)、提高自救防范能力，某縣教育與消防部門共同組織消防知識(shí)競(jìng)賽．全縣九年級(jí)共120個(gè)班，每班選派10名選手參加．隨機(jī)抽取其中10個(gè)班級(jí)，統(tǒng)計(jì)其獲獎(jiǎng)人數(shù)，結(jié)果如表．班級(jí)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩獲獎(jiǎng)人數(shù)7868669785（1）若①班獲獎(jiǎng)選手的成績(jī)分別為（單位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求該班獲獎(jiǎng)選手成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)．（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)信息，估計(jì)全縣九年級(jí)參賽選手獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)．【考點(diǎn)】眾數(shù)；用樣本估計(jì)總體；中位數(shù)．【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）中位數(shù)為88；眾數(shù)為83；（2）840人．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義即可求解；（2）用樣本估計(jì)總體即可求解．【解答】解：①班獲獎(jiǎng)選手的成績(jī)從小到大排列為：83，83，83，88，90，91，91，排在中間的數(shù)是88，故該班獲獎(jiǎng)選手成績(jī)的中位數(shù)為88；83出現(xiàn)的次數(shù)最多，故該班獲獎(jiǎng)選手成績(jī)的眾數(shù)為83；（2）隨機(jī)抽取的10個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)的平均數(shù)為：110×（7+8+6+8+6+6+9+7+8+5）＝120×7＝840（人），答：估計(jì)全縣九年級(jí)參賽選手獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)為840人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的意義和樣本估計(jì)總體，理解各個(gè)概念的內(nèi)涵和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2025?浙江）【閱讀理解】同學(xué)們，我們來學(xué)習(xí)利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2近似計(jì)算算術(shù)平方根的方法．例如求67的近似值．因?yàn)?4＜67＜81，所以8＜67＜則67可以設(shè)成以下兩種形式：①67=8+s，其中0＜s＜1②67=9﹣t，其中0＜t＜1小明以①的形式求67的近似值的過程如表．因?yàn)?7=8+s所以67＝（8+s）2，即67＝64+16s+s2．因?yàn)閟2比較小，將s2忽略不計(jì)，所以67≈64+16s，即16s≈67﹣64，得s≈67-64故67≈8+3【嘗試探究】（1）請(qǐng)用②的形式求67的近似值（結(jié)果保留2位小數(shù)）．【比較分析】（2）你認(rèn)為用哪一種形式得出的67的近似值的精確度更高，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】實(shí)數(shù)；推理能力．【答案】（1）8.22；（2）用①的形式得出的67的近似值的精確度更高，理由見解析．【分析】（1）設(shè)67=9-t，其中0＜t＜1，則仿照題意可得67＝81﹣18t+t2，t2比較小，將t2忽略不計(jì)，則67≈81﹣18t，據(jù)此可得t≈（2）可求出8.18＜【解答】解：（1）設(shè)67=9-t，其中0＜t＜∴(67∴67＝81﹣18t+t2，∵t2比較小，將t2忽略不計(jì)，∴67≈81﹣18t，∴t≈∴67≈9-（2）用①的形式得出的67的近似值的精確度更高，理由如下：∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，66.9124＜∴8.18＜∴用①的形式得出的67的近似值的精確度更高．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了算術(shù)平方根的估算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．22．（10分）（2025?浙江）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的半圓，交BC于點(diǎn)D，與AC相切于點(diǎn)E，連接OD，OE．（1）求證：OD⊥OE．（2）若AB＝BC，OB=3，求四邊形ODCE【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）3+3【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，得到∠ODB＝∠C，證明OD∥AC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A＝60°，解直角三角形求出EC，再根據(jù)梯形面積公式計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，由作圖可知：OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的半圓與AC相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴OD⊥OE；（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB=3則OA=OEsinA=332∴AB＝2+3∴EC＝AC﹣AE＝2+3-1＝1則四邊形ODCE的面積為：12×（3+3+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?浙江）已知拋物線y＝x2﹣ax+5（a為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（1，0）．（1）求a的值．（2）過點(diǎn)A（0，t）與x軸平行的直線交拋物線于B，C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，求t的值．（3）設(shè)m＜3＜n，拋物線的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夾在兩條均與x軸平行的直線l1，l2之間．若直線l1，l2之間的距離為16，求n﹣m的最大值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【答案】（1）6；（2）﹣3；（3）8．【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出對(duì)稱軸，由題意，可知，B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，B，C的縱坐標(biāo)均為t，中點(diǎn)得到xC＝2xB，對(duì)稱性得到xB+xC2=（3）根據(jù)題意，易得要使n﹣m最大，則m，n為一條直線與拋物線的交點(diǎn)，x＝m和x＝n關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)直線l1，l2之間的距離為16，為定值，得到當(dāng)一條直線恰好經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)（3，﹣4），即：y＝﹣4時(shí)，n﹣m最大，此時(shí)另一條直線的解析式為y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出x的值，進(jìn)而確定m，n的值，進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，得：1﹣a+5＝0，解得：a＝6；（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，∴對(duì)稱軸為直線x=-∵點(diǎn)A（0，t）在y軸上，過點(diǎn)A（0，t）與x軸平行的直線交拋物線于B，C兩點(diǎn)，∴B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，B，C的縱坐標(biāo)均為t，又∵點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，∴xc＝2xB，∴xB∴xB＝2，∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，∴t＝﹣3；（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，﹣4），當(dāng)拋物線的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夾在兩條均與x軸平行的直線l1，l2之間時(shí)，m，n為直線與拋物線的交點(diǎn)，∴要使n﹣m最大，則，m，n為一條直線與拋物線的交點(diǎn)，x＝m和x＝n關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，又∵直線l1，l2之間的距離為16，為定值，∴當(dāng)一條直線恰好經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)（3，﹣4），即：y＝﹣4時(shí)，n﹣m最大，此時(shí)另一條直線的解析式為y＝16﹣4＝12，如圖：∴當(dāng)x2﹣6x+5＝12時(shí)，解得：x1＝7，x2＝﹣1，即n＝7，m＝﹣1，∴n﹣m的最大值為：7﹣（﹣1）＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．24．（12分）（2025?浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．（1）如圖1，求sin∠BAC的值．（2）如圖2，E是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，作△FBE與△ABE關(guān)于直線BE對(duì)稱，EF交射線AC于點(diǎn)P，連接BP．①當(dāng)EF⊥AC時(shí)，求AE的長(zhǎng)．②求PA﹣PB的最小值．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）35（2）①11；②339【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=12AC=4（2）①連接BD，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，同理求出OB＝3，則BD＝6；證明EF∥BD，得到∠DBE＝∠FEB，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠AEB＝∠FEB，則∠DEB＝∠DBE，據(jù)此可得DE＝DB＝6，即可得到AE＝AD+DE＝11；②由勾股定理得PB=OB2+OP2=OP2+9，根據(jù)PA＝OA+OP＝4+OP，可求出PA-PB=4-9OP+OP2+9，根據(jù)9OP+OP2+9＞0，可推出當(dāng)OP有最小值時(shí)，OP+OP2+9有最小值，即此時(shí)9OP+OP2【解答】解：（1）如圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，∴AC⊥BD，OA=∴OB=∴sin∠（2）①如圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=4，BD＝2OB，AD∴OB=∴BD＝6；∵EF⊥AC，AC⊥BD，∴EF∥BD，∴∠DBE＝∠FEB，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠AEB＝∠FEB，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝6，∴AE＝AD+DE＝11；②在Rt△BOP中，由勾股定理得PB=∵PA＝OA+OP＝4+OP，∴PA﹣PB＝4+OP-=4+(=4+O=4-9∵9OP∴要使PA﹣PB的值最小，則9OP∴OP+又∵OP2+9∴OP+OP∴當(dāng)OP有最小值時(shí)，OP+OP∴當(dāng)OP有最小值時(shí)，PA﹣PB有最小值；如圖所示，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，∵S菱形∴BH=∴由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得BT=在Rt△POB中，由勾股定理得OP=∴當(dāng)PB有最小值時(shí)，OP有最小值，由垂線段最短可知BP≥∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)T重合時(shí)，BP有最小值，最小值為245∴OP∴(PA【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，求角的正弦值，勾股定理，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊等等，解（2）的關(guān)鍵在于把求出PA﹣PB的最小值轉(zhuǎn)換成求出OP的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成求出PB的最小值．

考點(diǎn)卡片1．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．2．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．3．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．4．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．5．規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．（2）利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．6．整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值先按運(yùn)算順序把整式化簡(jiǎn)，再把對(duì)應(yīng)字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．7．由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組（1）由實(shí)際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．（2）一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符．（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．②將問題中給出的條件按意思分割成兩個(gè)方面，有“；”時(shí)一般“；”前后各一層，分別找出兩個(gè)等量關(guān)系．③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．④圖形問題，分析圖形的長(zhǎng)、寬，從中找等量關(guān)系．8．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．9．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．10．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．11．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的（2）當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。唬?）當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)．12．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問題在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測(cè)量問題或其他問題．13．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．14．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．15．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．16．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．17．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．18．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．19．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．20．四邊形綜合題涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，主要考查平行四邊形、菱形、矩形、正方形，經(jīng)常與二次函數(shù)和圓一起出現(xiàn)，綜合性比較強(qiáng)．21．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．22．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．23．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．24．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角