專題14二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)

易錯點(diǎn)一：忽略了二項(xiàng)式中的負(fù)號而致錯（（a-b）n化解問題）

Ⅰ：二項(xiàng)式定理

nn0n1n1rnrrnn

一般地，對于任意正整數(shù)，都有：(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)，

這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式．

rnrrrnrr

式中的Cnab做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r1項(xiàng)：Tr1Cnab，

r

其中的系數(shù)Cn（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

Ⅱ：二項(xiàng)式(ab)n的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有n1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

r

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次

數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；

0，1，2，，r，，na

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是CnCnCnCnCn，項(xiàng)的系數(shù)是與b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．

Ⅲ：兩個常用的二項(xiàng)展開式：

n0n1n1rrnrrnnn*

①(ab)CnaCnab(1)Cnab(1)Cnb（nN）

n122rrn

②(1x)1CnxCnxCnxx

Ⅳ：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

rnrr

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tr1Cnabr0,1,2,3,,n

r

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn；

②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③a與b的次數(shù)之和為n．

nrnrrnrnrr

注意：①二項(xiàng)式(ab)的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Cnab和(ba)的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Cnba是有

區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的．

nnrrnrr

②通項(xiàng)是針對在(ab)這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(ab)的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tr1(1)Cnab（只

需把b看成b代入二項(xiàng)式定理）．

易錯提醒：在二項(xiàng)式定理(ab)n的問題要注意b的系數(shù)為1，在展開求解時不要忽略.

5

a3

例、已知x的展開式中含2的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a（）

xx

A．3B．3C．6D．6

r5

5rar

錯解：rrr2，令，可得，∴．

Tr1C5xC5axr15a30a6

x

5

aaa

錯因分析：二項(xiàng)式x中的項(xiàng)為x，，錯解中誤認(rèn)為是x，，忽略了負(fù)號而出現(xiàn)了錯解．

xxx

5

rr

正解：Drr2，令r1，可得5a30，∴a6．

Tr1C51ax

5

22

變式1：在3x的展開式中，x的系數(shù)是．

x

5r

【詳解】二項(xiàng)式22展開式的通項(xiàng)為r25r2r5rr103r（其中且

3xTr1C53xC532x0r5

xx

rN），

323

令103r1，解得r3，所以T4C532x720x，

所以展開式中x的系數(shù)是720.故答案為：720

6

1

變式2：x展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

x2

k

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為k6k1kk63k，

Tk1C6x(1)C6x

x2

令63k0，解得k2，

2

所以常數(shù)項(xiàng)為T3C615，故答案為：15.

6

1

變式3：2x的展開式中x4的系數(shù)為.

x

r

6r1r

【詳解】設(shè)展開式中的第項(xiàng)含有4項(xiàng)，即r6rr62r，

r1xC62x12C6x

x

令62r4，解得r1，

1

51

即15144，所以展開式中4的系數(shù)為

C62x2C6x192xx192.

x

故答案為：192

7

1

1．2x的二項(xiàng)式展開式中x的系數(shù)為（）

x

A．560B．35C．-35D．-560

【答案】D

7

1

【分析】2x中利用二項(xiàng)式定理可求得x的系數(shù)，從而求解.

x

7r

【詳解】由題意知1的展開式為r7r1rr7r72r，

2xTr1C72x1C72x

xx

3373

令72r1，得r3，所以x的系數(shù)為1C72560，故D項(xiàng)正確.

故選：D.

n2n

31*31

2．若xnN的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則x的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

xx

A．6B．8C．28D．56

【答案】C

n2n

3131

【分析】根據(jù)x的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，從而寫出x的展開式的

xx

通項(xiàng)公式，再令x的指數(shù)為0，即可求解常數(shù)項(xiàng)．

n

31*n

【詳解】由xnN的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，得216，所以n4，

x

8r84r

18r1

則二項(xiàng)式3的展開式的通項(xiàng)公式為r3r3（0r8且），

xTr1C8xC8xrN

xx

84r

令0，解得r2，

3

8

2

所以，故31的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，

T3C828x28

x

故選：C．

2x642

3．1(xy)的展開式中xy的系數(shù)為（）

y

A．55B．70C．65D．25

【答案】D

【分析】根據(jù)(xy)6展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

422422x33342

【詳解】含xy的項(xiàng)為T1C6xyC6xy25xy，

y

所以展開式中x4y2的系數(shù)為25．

故選：D.

n

21

4．若3x的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)（非零），則正整數(shù)n的可能值是（）

2x3

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式建立方程，求解即可.

【詳解】由二項(xiàng)式定理知，

1

TCr(3x2)nr()r

r1n2x3

1

Cr3nr()rx2n5r，

n2

因?yàn)槠浜谐?shù)項(xiàng)，即存在n,rN*，使得2n5r,

5r

此時n，所以r2時，n5，

2

故選：C.

y7

5．mxy的展開式中x3y4的系數(shù)為105，則實(shí)數(shù)m（）

x

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

【分析】利用二項(xiàng)式的展開式公式展開，再與前面的項(xiàng)相乘求解即可.

7rr7rr

【詳解】xy的展開式的通項(xiàng)公式為Tr11C7xy，

yr

所以T1Crx6ryr1．

xr17

6r3

令，解得r3，

r14

rr7rr7r3

mTr1m1C7xy．令，解得r4．

r4

3344343

由題意，可知1C7m1C7C7mC7m1C7105，

所以m2．

故選：D．

6．在(3x)7的展開式中，x3的系數(shù)為（）

A．21B．21C．189D．189

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得解.

11

r1

【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得r7r2rr7rr2，令r3得r6，

C73(x)C73(1)x2

366

所以x的系數(shù)為C73(1)21.

故選：B.

7

21

7．2x3x2的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為.

x

【答案】960

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析運(yùn)算求解.

7

r

1

【詳解】2的展開式的通項(xiàng)為TCr27r(1)rx2，故令r0,2，

xr17

7

210725

可得2x3x2的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為：3C722C723841344960.

x

故答案為：960.

9

1

8．已知ax的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672，則a.

x

【答案】2

【分析】寫出二項(xiàng)式通項(xiàng)Tr1，整理后讓x的次數(shù)為0，得出r的值，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值列出等式方程即可

得出a的值．

r3

9r1r9r

【詳解】展開式的通項(xiàng)為rr9r2，

Tr1C9axC9a1x

x

3r

令90，得r6，

2

36

所以常數(shù)項(xiàng)是T61aC9672，故a2．

故答案為：2．

4

1

9．在2x的展開式中，x的系數(shù)為．

x

【答案】24

【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出指定項(xiàng)的系數(shù)即得.

4r3

14r1r4r

【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為r4rr2，

2xTr1C42x12C4x,rN,r4

xx

32

由4r1，得r2，則T122C2x24x，所以x的系數(shù)為24.

234

故答案為：24.

10．(12x)4(1x)3的展開式中，按x的升冪排列的第3項(xiàng)的系數(shù)為．

【答案】3

【分析】根據(jù)已知得出按x的升冪排列的第3項(xiàng)即含x2的項(xiàng).結(jié)合二項(xiàng)式定理，分類討論求解，即可得出答

案.

【詳解】由已知可得，展開式中含有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、兩次項(xiàng)，

所以，按x的升冪排列的第3項(xiàng)即含x2的項(xiàng).

4040322122

12x展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C412x1，1x展開式中含x的項(xiàng)為C31x3x；

4131312

12x展開式中含x的項(xiàng)為C412x8x，1x展開式中含x的項(xiàng)為C31x3x；

4222223030

12x展開式中含x的項(xiàng)為C412x24x，1x展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C31x1.

所以，(12x)4(1x)3的展開式中，含x2的項(xiàng)為13x28x3x24x213x2.

故答案為：3.

6

2

．在2的展開式中的3的系數(shù)是

11xx.

x

【答案】402

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可令r3求得x3的系數(shù).

66r

22rr6r

【詳解】2展開式的通項(xiàng)公式為：r2r3r6，

xTr1C6xC612x

xx

3

令，解得：，所以3的系數(shù)為33

3r63r3xC612402.

故答案為：402.

6

1

12．二項(xiàng)式x的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．

x

【答案】20

【分析】根據(jù)給定的條件，利用二項(xiàng)式定理求解作答.

6r

【詳解】1的展開式的通項(xiàng)為r6r1rr62r．

xTr1C6x1C6x

xx

33

令62r0，得r3，故常數(shù)項(xiàng)為(1)C620．

故答案為：20.

n

3

13．x的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為135，則n．

x

【答案】6

【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)公式Tr1；再令r2，列出等式求解即可.

nr

【詳解】3的展開式的通項(xiàng)公式為rnr3rrn2r，

xTr1Cnx3Cnx

xx

2nn1

則第三項(xiàng)的系數(shù)為3C29C29135，即nn130，解得n5（舍去）或n6．

nn2

故答案為：6.

易錯點(diǎn)二：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算麻煩失誤（三項(xiàng)展開式的問題）

求三項(xiàng)展開式式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法

第一步：通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解

第二步：兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解

第三步：由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作

幾個因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量

易錯提醒：對于三項(xiàng)式的展開問題，一般采取轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再展開的辦法進(jìn)行求解，但在轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的

時候，又有不同的處理策略：一是如果三項(xiàng)式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進(jìn)行因式分解，則可通

過對分解出來的兩個二項(xiàng)展開式分別進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題（如本例中的解法二）；二是不能化為完全平

方的形式，也不能進(jìn)行因式分解時，可直接將三項(xiàng)式加括號變?yōu)槎?xiàng)式，套用通項(xiàng)公式展開后對其中的二

項(xiàng)式再利用通項(xiàng)展開并進(jìn)行分析求解，但要結(jié)合要求解的問題進(jìn)行合理的變形，以利于求解.

5

例、x23x2的展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為（）

A．120B．240C．320D．480

5

易錯分析：本題易出現(xiàn)的錯誤是盲目套用解決三項(xiàng)式展開的一般方法（轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式處理：2），

x3x2

而不針對要求解的問題進(jìn)行合理的變通，導(dǎo)致運(yùn)算繁雜并出現(xiàn)錯誤．

55

正解：解法一由于22，

x3x2x23x

r25rr

展開式的通項(xiàng)為Tr1C5x23x，0≤r≤5，

124

當(dāng)且僅當(dāng)r＝1時，展開式才有x的一次項(xiàng)，此時Tr1T2C5x23x．

144

所以展開式中x的一次項(xiàng)為C5C423x，

144

它的系數(shù)為C5C423240．故選B．

555

解法二由于x23x2x1x2，

所以展開式中x的一次項(xiàng)為

455544

C5xC52C5C5x2240x．故x的一次項(xiàng)的系數(shù)為240．故選B．

5

變式1：在a2b3c的展開式中，含a2b2c的系數(shù)為.

5

【詳解】把a(bǔ)2b3c的展開式看成是5個因式(a2b3c)的乘積形式，

展開式中，含a2b2c項(xiàng)的系數(shù)可以按如下步驟得到：

2

第一步，從5個因式中任選2個因式，這2個因式取a，有C5種取法；

2

第二步，從剩余的3個因式中任選2個因式，都取2b，有C3種取法；

1

第三步，把剩余的1個因式中取3c，有C1種取法；

2222211

根據(jù)分步相乘原理，得；含abc項(xiàng)的系數(shù)是C52C33C1360

故答案為：360.

5

變式2：xy21展開式中x2y4的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．

5

【詳解】由于xy21表示5個因式xy21的乘積，

故其中有2個因式取y2，2個因式取x，剩余的一個因式取1，可得含x2y4的項(xiàng)，

24222

故展開式中xy的系數(shù)為C5(1)C3130，

故答案為：30．

變式3：在(2xyz)5的展開式中，形如x3ymzn(m,nN)的所有項(xiàng)系數(shù)之和是．

5

【詳解】5展開式的通項(xiàng)為r5rr．

2xyz2xyzTr1C52xyz

令5r3，得r2．令yz1，

232

得所求系數(shù)之和為C522320．故答案為：320

8

1

1．x1的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A．588B．589C．798D．799

【答案】B

8

11

【分析】因?yàn)閤1展開式中的項(xiàng)可以看作8個含有三個單項(xiàng)式x,,1各取一個相乘而得，分析

xx

組合可能，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

8

11

【詳解】因?yàn)閤1展開式中的項(xiàng)可以看作8個含有三個單項(xiàng)式x,,1中各取一個相乘而得，

xx

11

若得到常數(shù)項(xiàng)，則有：①8個1；②2個x，1個，5個1；③4個x，2個，2個1；

xx

2

24

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為882115542122

C81C8xC6C51C8xC4C21589.

xx

故選：B.

5

2．在xy2的展開式中，xy3的系數(shù)是（）

A．24B．32C．36D．40

【答案】D

31331

【分析】根據(jù)題意，xy的項(xiàng)為C5xC4yC12，化簡后即可求解.

313313

【詳解】根據(jù)題意，xy的項(xiàng)為C5xC4yC1240xy，

所以xy3的系數(shù)是40.

故選：D．

6

sin4

3．x1的展開式中x的系數(shù)為12，則cos2（）

x

1113

A．B．C．D．

4224

【答案】C

【分析】根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.

6

sin4sin

【詳解】x1的展開式中x的系數(shù)可以看成：6個因式x1中選取5個因式提供x，

xx

sinxsin

余下一個因式中提供或者6個因式x1中選取4個因式提供x，余下兩個因式中均提供1，

xx

445

故x的系數(shù)為C6C6sin12，

1

∴sin，

2

11

∴cos212sin212，

42

故選：C

4．(xy1)6的展開式中xy2的系數(shù)為（）

A．60B．60C．120D．120

【答案】A

【分析】先把x1看作整體寫出二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，再根據(jù)指定項(xiàng)確定x1的次數(shù)，再寫一次二項(xiàng)式展開的

通項(xiàng)，最后根據(jù)指定項(xiàng)配湊出項(xiàng)的系數(shù).

6r6rr

【詳解】因?yàn)?x1y)展開式的通項(xiàng)為Tr1C6(x1)y，

24r4rr

當(dāng)r2時才能出現(xiàn)y，此時x1展開的通項(xiàng)為Tr1C4x1，

2233

當(dāng)r3時出現(xiàn)x的一次，所以展開式中xy的系數(shù)為C6C4(1)60．

故選：A.

n

2a

5．設(shè)a0，已知x的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，

x

2a

212

則x2中x的系數(shù)為（）

x2

A．0B．2C．4D．8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到n8和a1，再根據(jù)x2項(xiàng)的取法為1個x2和1個2再計(jì)算即可.

n

2a

【詳解】因?yàn)閤的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

x

所以展開式一共有9項(xiàng)，即n8，

8

令x1，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1a256，所以a1，

2

2122

x2中x項(xiàng)的取法為1個x和1個2，

x2

211

所以x系數(shù)為C2C124.

故選：C

6．(xy3)5的展開式中，x3y的系數(shù)為（）

A．80B．60C．80D．60

【答案】D

55

【分析】由題得(xy3)x3y，再利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)即可得到答案.

5

【詳解】5，則其展開式通項(xiàng)為r5rr，

(xy3)x3yTr1C5x3y,0r5,rN

5

令r2，則(xy3)的展開式中含x3的項(xiàng)為

232323332

C5x(3y)10x96yy90x60xy10xy，

所以x3y的系數(shù)為60，

故選：D．

5

12

7．已知xaaR展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，則展開式中x的系數(shù)為（）

x

A．270B．270C．330D．330

【答案】D

5

【分析】令x1，得11a1，得a3.再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.

5

【詳解】令x1，則11a1，得a3.

所以

55432

10111212313

x3C5xC5x3C5x3C5x3

xxxxx

41455

C5x3C53，

x

42

又因?yàn)橹挥?1，313展開式中有含2的項(xiàng)，

C5x3C5x3x

xx

21133

所以x的系數(shù)為C5C43C53330.

故選：D

n2a

2a21

8．x的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則x2

xx2

中x2的系數(shù)為（）

A．1B．4或1C．4或0D．6或0

【答案】C

【分析】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可以得到n的值，然后再賦值法求出所有項(xiàng)的系數(shù)和的表

2a

212

達(dá)式可解出a的值，再分類求出x2中x的系數(shù)即可得出答案.

x2

【詳解】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以總共有9項(xiàng)，n8,

8

令x1,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為1a256，a1或3.

2

當(dāng)時，21展開式中2的系數(shù)為：1，

a1x2xC22=4

x2

6

212

當(dāng)a3時，x2展開式中不含x項(xiàng).

x2

故選：C.

6

21

9．x1的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為．

x

【答案】80

11

【分析】只需6個因式中3個因式取x2、3個因式取或2個因式取x2、1個因式取、3個因式取1，根

xx

據(jù)組合知識得到答案.

6

2121

【詳解】x1可以看成6個因式x1相乘，

xx

6

2121

所以x1的展開式中含x3的項(xiàng)為3個因式取x、3個因式取

xx

1

或2個因式取x2、1個因式取、3個因式取1，

x

6

133213

所以2的展開式中含3項(xiàng)的系數(shù)為．

x1xC6C3C6C4C380

x

故答案為：80

8

10．x2yz展開式中，x3y2z3項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】2240

【分析】由二項(xiàng)式定理求解．

8

【詳解】8，∵z的指數(shù)是，∴得到353，

x2yzx2yz3C8x2yz

∵y的指數(shù)是，得到232，∴323項(xiàng)的系數(shù)為3322

2C5x2yxyzC81C522240.

故答案為：2240

5

11．x2x2y的展開式中x3y3項(xiàng)的系數(shù)為．

【答案】160

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式相乘展開方法求解.

5

【詳解】x2x2y的展開式中，構(gòu)成x3y3項(xiàng)只能是一個x2、一個x、3個2y相乘，

1213333

故此項(xiàng)為C5xC4xC3(2y)160xy．

故答案為：160.

12

12

12．在1x的展開式中，x的系數(shù)為.

x2022

【答案】66

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，求得答案.

121

【詳解】由題意，1表示個因式的乘積，

1x121x2022

x2022x

故當(dāng)2個因式取x，其余10個因式取1時，可得展開式中含x2的項(xiàng)，

2210

故x的系數(shù)為C12C1066.

故答案為：66.

5

13．x2axy的展開式中，x3y2的系數(shù)為10，則a.

【答案】1

55

【分析】化22利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中32的系數(shù)列方程求出

xaxyxaxy,xy,

a的值.

55

【詳解】22

xaxyxaxy

r25rr

其展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C5xaxy,0r5,rN，

2332323223

令r2得T3C5xxay10xyx3ax3axa

因?yàn)閤3y2的系數(shù)為10，則10a310，解得a1，

故答案為：1.

4

2

14．x1展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字做答）

x

【答案】49

【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理求解即可.

4

22222

【詳解】x1x1x1x1x1

xxxxx

展開式中得到常數(shù)項(xiàng)的方法分類如下：

1

（1）4個因式中都不取x，則不取，全取1，相乘得到常數(shù)項(xiàng).

x

44

常數(shù)項(xiàng)為C4(1)1；

1

（2）4個因式中有1個取x，則再取1個，其余因式取1，相乘得到常數(shù)項(xiàng).

x

1122

常數(shù)項(xiàng)為C4xC3(1)24；

x

1

（3）4個因式中有2個取x，則再取2個，相乘得到常數(shù)項(xiàng).

x

2

常數(shù)項(xiàng)為2222

C4xC224.

x

合并同類項(xiàng)，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為1242449.

故答案為：49.

15．(x2y1)5展開式中含xy3項(xiàng)的系數(shù)為．

【答案】-160

5

【分析】變形為x2y1，寫出通項(xiàng)公式，求出k3,r1，得到答案.

55

【詳解】(x2y1)變形為x2y1，

r5r

故通項(xiàng)公式得Tr1C5x2y，

5rk5rkk

其中x2y的通項(xiàng)公式為C5rx2y，

0k5r

rk5rkk

故通項(xiàng)公式為C5C5rx2y，其中，k,rN，

0r5

令k3,5rk1，解得k3,r1，

1333

故C5C4x2y160xy.

故答案為：-160

5

16．12x3x2的展開式中x5的系數(shù)為．

【答案】92

55555

【分析】由于12x3x21x13x，根據(jù)二項(xiàng)式定理分別求得1x和13x的展開式的通項(xiàng)，

從而分析可得x5的系數(shù).

555

【詳解】12x3x21x13x，

5r5rrrrr

又1x展開式的通項(xiàng)Tr1C51xC51x,r0,1,2,3,4,5，

5k5kkkkk

13x展開式的通項(xiàng)Sk1C513xC53x,k0,1,2,3,4,5，

5

所以含x的項(xiàng)為T1S6T2S5T3S4T4S3T5S2T6S1

則含x5的系數(shù)為

005511442233332244115500

C51C53C51C53C51C53C51C53C51C53C51C539.2

故答案為：92.

17．(x2y3z)6的展開式中xy2z3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．

【答案】6480

66

【分析】(x2y3z)x2y3z，然后兩次利用通項(xiàng)公式求解即可；

66

【詳解】因?yàn)?x2y3z)x2y3z，

r6rrr6rrr

設(shè)其展開式的通項(xiàng)公式為：Tr1C6(x2y)3zC6(x2y)3z,0r6,rN，

令r3，

3m3mmmm3mm

得(x2y)的通項(xiàng)公式為C3x2yC32xy,0m3,mN，

令m2，

6323322

所以(x2y3z)的展開式中，xyz的系數(shù)為C63C326480，

故答案為：6480

易錯點(diǎn)三：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤（系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)問題）

Ⅰ：二項(xiàng)式展開式中的最值問題

1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

0nmm1m

①每一行兩端都是1，即CnCn；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即Cn1CnCn．

mnm

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CnCn．