專題07平面向量

易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運算）

1．向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度，記作|AB|．

（3）特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．

②單位向量：長度等于1個單位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．

④相等向量：長度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．

2．向量的線性運算和向量共線定理

（1）向量的線性運算

運算定義法則（或幾何意義）運算律

①交換律

求兩個向量abba

加法

和的運算②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則

(ab)c=a(bc)

求a與b的

相反向量的

b

減法aba(b)

和的運算叫做a

與b的差三角形法則

（1）|a||||a|

求實數(shù)與(a)()a

（2）當(dāng)0時，a與a的方向相同；

數(shù)乘向量a的積的運()aaa

當(dāng)0時，a與a的方向相同；

算(ab)ab

當(dāng)0時，a0

共線向量定理

向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)，使得ba.

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數(shù)，使ab，則a與b共線．

(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使ABAC，則A，B，C三點共線．

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．

平面向量線性運算問題的求解策略：

(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．

(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式

等變形手段在線性運算中同樣適用．

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量．

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．

aa

(6)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量．

|a||a|

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小

易錯提醒：（1）向量表達式中的零向量寫成0，而不能寫成0．

（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．

（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾

相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．

（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OAOBBA，AMANNM，

OAOB+CAOAOBCABACABAACBC.

例．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是（）

A．ABADACB．ABCDDOOA

C．ABADCDADD．ACBADA0

【詳解】對于A，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則ABADAC，故A正確；

對于B，在平行四邊形ABCD中，CDAB，則ABCDDODOOA，故B錯誤；

對于C，ABADCDACCDAD，故C正確；

對于D，在平行四邊形ABCD中，CDBA，

ACBADADAACBADCBA0，故D正確.故選：ACD.

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）

A．若ABCD，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段

12

B．若ADACAB，則可知BC3BD

33

111

C．若Q為ABC的重心，則PQPAPBPC

333

D．非零向量a，b，c滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面

【詳解】在平行四邊形ABDC中，滿足ABCD，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD不為同一

線段，A不正確.

12

因為ADACAB，所以3ADAC2AB，所以2AD2ABACAD，所以2BDDC，所以

33

3BDBDDC，即3BDBC，B正確.

若Q為ABC的重心，則QAQBQC0，所以3PQQAQBQC3PQ，所以3PQPAPBPC，

111

即PQPAPBPC，C正確.

333

-

在三棱柱ABCA1B1C1中，令A(yù)B=a，ACb，AA1c，滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，但a，

b，c不共面，D不正確.故選：BC.

21

變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，ABa,ADb，BMBC，ANAB．

34

(1)試用向量a,b來表示DN,AM;

(2)AM交DN于O點，求AO:OM的值．

111

【詳解】（1）因為ANAB，所以ANa，所以DNANADab，

444

222

因為BMBC，所以BMADb，

333

2

所以AMABBMab；

3

（2）設(shè)AOAM，

22

則DOAOADAMADabba1b，

33

11

因為D,O,N三點共線，所以存在實數(shù)使DODNabab，

44

1236

由于向量a,b不共線，則，1，解得,，

43147

33

所以AO:AMAO:OM.

1411

變式3：如圖所示，在矩形ABCD中，BC43，AB8，設(shè)BC=b，AB=a，BDc，求abc.

【詳解】解：在矩形ABCD中，ADBC43，AB8，

222

則BDABAD824347，

因為BC=b，AB=a，BDc，

則abcABBCBDABADBDDBDB2DB，

因此，abc2DB24787.

1．已知a、b為不共線的向量，ABa5b，BC2a8b，CD3ab，則（）

A．A，B，C三點共線B．A，C，D三點共線

C．A，B，D三點共線D．B，C，D三點共線

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.

【詳解】因為a、b為不共線的向量，所以a、b可以作為一組基底，

對于A：ABa5b，BC2a8b，若存在實數(shù)t使得ABtBC，

2t1

則a5bt2a8b，所以，方程組無解，所以AB與BC不共線，故A、B、C三點不共線，即A

8t5

錯誤；

對于B：因為ABa5b，BC2a8b，所以ACABBCa5b2a8ba13b，

同理可以說明不存在實數(shù)t，使得ACtCD，即AC與CD不共線，故A、C、D三點不共線，即B錯誤；

對于C：因為BC2a8b，CD3ab，

所以BDBCCD2a8b3aba5b，

又ABa5bBD，所以AB//BD，故A、B、D三點共線，即C正確；

對于D：BC2a8b，CD3ab，

同理可以說明不存在實數(shù)t，使得BCtCD，即BC與CD不共線，故B、C、D三點不共線，即D錯誤；

故選：C

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是線段AE上靠近點A的三等分點，則DF等于（）

1212

A．ABADB．ABAD

3333

1513

C．ABADD．ABAD

3634

【答案】C

【分析】利用平面向量的線性運算求解.

1

【詳解】解：DFAFADAEAD，

3

1

ABBEAD，

3

11

ABADAD，

32

15

ABAD，

36

故選：C

3．在四邊形ABCD中，若ACABAD，則（）

A．四邊形ABCD是平行四邊形B．四邊形ABCD是矩形

C．四邊形ABCD是菱形D．四邊形ABCD是正方形

【答案】A

【分析】由ACABAD推出BCAD，再根據(jù)向量相等的定義得BCAD且BC//AD，從而可得答案.

【詳解】因為ACABAD，故ACABAD，即BCAD，

故BCAD且BC//AD，故四邊形ABCD一定是平行四邊形，

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.

故選：A.

4．已知AD,BE分別為ABC的邊BC,AC上的中線，設(shè)ADa，BEb,則BC＝（）

4224

A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)＋b

3333

2424

C．a(chǎn)bD．a(chǎn)＋b

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運算即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】AD,BE分別為ABC的邊BC,AC上的中線,

1

則ADBDBABCBA,

2

111

BEBAAEBAACBAABBCBABC,

222

111

由于ADa，BEb，所以aBCBA,bBABC,

222

24

故解得BCab，

33

故選：B

5．如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①ae1e2,R可以表示平面α內(nèi)的所有向量；

②對于平面α內(nèi)任一向量a，使ae1e2,R的實數(shù)對,有無窮多個；

11

③若向量1e11e2與2e12e2共線，則

2u2

④若實數(shù)λ、μ使得e1e20，則λ＝μ＝0.

A．①②B．②③C．③④D．②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.

【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確．

對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是

唯一的，故錯誤；

對于③，當(dāng)λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0，故錯誤.

故選：B.

6．給出下列各式：①ABCABC，②ABCDBDAC，③ADODOA，④NQMPQPMN，

對這些式子進行化簡，則其化簡結(jié)果為0的式子的個數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】A

【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.

【詳解】對于①，ABCABCABBCCAACCA0，

對于②，ABCDBDACABBDACCDADAD0，

對于③，ADODOAADDOOAAOOA0，

對于④，NQMPQPMNNQQPPMMNNPPN0，

所以其化簡結(jié)果為0的式子的個數(shù)是4，

故選：A

7．已知平面向量a，b，c，下列結(jié)論中正確的是（）

A．若a∥b，則abB．若ab，則ab

C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．若abab，則a∥b

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.

【詳解】A：若a為非零向量，b為零向量時，有ab但ab不成立，錯誤；

B：ab時，a，b不一定相等，錯誤；

C：若b為零向量時，ab，b∥c不一定有a∥c，錯誤；

D：abab說明a，b同向或至少有一個零向量，故ab，正確.

故選：D.

8．設(shè)e1與e2是兩個不共線的向量，AB3e12e2,CBke1e2,CD3e12ke2，若A，B，D三點共線，則

k的值為（）

4938

A．－B．－C．－D．－

9483

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運算求解.

【詳解】由題意可得：BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，

若A，B，D三點共線，所有必存在一個實數(shù)λ，使得ABBD，

即3e2e3ke2k1e3ke2k1e，

121212

4

3k37

可得，解得.

2k129

k

4

故選：B.

9．在OAB中，已知OB2,OA4，P是AB的垂直平分線l上的任一點，則OPAB（）

A．6B．6C．12D．12

【答案】B

【分析】設(shè)M為AB的中點，結(jié)合P為線段AB垂直平分線上的任意一點，則有OPABOMAB，再將

OM,AB都用OA,OB表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.

【詳解】設(shè)M為AB的中點，

則OPABOMMPABOMABMPAB，

因為P為線段AB垂直平分線上的任意一點，

所以MPAB0，

1122

則OPABOMABOBOAOBOAOBOA6.

22

故選：B.

10．已知拋物線C：y24x的焦點為F，準線為l，點Al，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂

線，垂足為H，若FA3FB，則（）

5

A．BHB．AF4

3

C．AF3BHD．AF4BH

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.

【詳解】拋物線C：y24x的焦點F(1,0)，準線l為x=1，

設(shè)準線l與x軸交于點M，

|BH||AB|2

∵FA3FB，由ABH與AFM相似得：，

|MF||AF|3

2△44

∵|MF|2，∴|BH|2，即BH，故A錯誤；

333

由拋物線定義得|BF||BH|，∴|AF|3|BF|3|BH|4，

即AF4，AF3BH，故BC正確，D錯誤．

故選：BC．

11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A．ABMBBOOMB．ABBCCA

C．ABACBDCDD．OAOCBOCO

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運算法則逐一判斷即可.

【詳解】因為ABMBBOOMABBOOMMBAB，所以選項A不符合題意；

因為ABBCCA0，所以選項B符合題意；

因為ABACBDCDCBBDCDCDCD0，

所以選項C符合題意；

因為OAOCBOCOBOOAOCCOBA0BA，

所以選項D不符合題意，

故選：BC

易錯點二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標表示）

1．平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果ab(R)，則a//b；反之，如果a//b且b0，則一定存在唯一的實數(shù)，使ab．（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．

（2）平面向量基本定理

如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對

e1e2a

實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

1,2a1e12e2e1e2

，叫做向量關(guān)于基底的分解式．

e1,e21e12e2ae1,e2

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如

e1e2a

的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本

a1e12e21e12e2e1e2

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎(chǔ)．

推論：若，則．

1a1e12e23e14e213,24

推論：若，則．

2a1e12e20120

（3）線段定比分點的向量表達式

ABAC

如圖所示，在△ABC中，若點D是邊BC上的點，且BDDC（1），則向量AD．在

1

向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

握．

A

C

BD

（4）三點共線定理

平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù),，使OCOAOB，其中1，O為

平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．

A、B、C三點共線

存在唯一的實數(shù)，使得ACAB；

存在唯一的實數(shù)，使得OCOAAB；

存在唯一的實數(shù)，使得OC(1)OAOB；

存在1，使得OCOAOB．

（5）中線向量定理

1

如圖所示，在△ABC中，若點D是邊BC的中點，則中線向量AD(ABAC)，反之亦正確．

2

A

B

DC

2．平面向量的坐標表示及坐標運算

（1）平面向量的坐標表示．

在平面直角坐標中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x,y使axiyj，我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)

叫做向量a的坐標，記作a(x,y)．

（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有

一一對應(yīng)一一對應(yīng)

向量(x,y)向量OA點A(x,y)．

（）設(shè)，，則，，即兩個向量的和

3a(x1,y1)b(x2,y2)ab(x1x2,y1y2)ab(x1x2,y1y2)

與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差．

若a(x,y)，為實數(shù)，則a(x,y)，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)

坐標．

（4）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則ABOBOA=(x1x2,y1y2)，即一個向量的坐標等于該向量的有向

線段的終點的坐標減去始點坐標．

3．平面向量的直角坐標運算

①已知點，，，，則，，22

A(x1y1)B(x2y2)AB(x2x1y2y1)|AB|(x2x1)(y2y1)

，

②已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，則ab(x1x2y1y2)，a(x1,y1)，

，22．

ab=x1x2y1y2|a|x1y1

a∥bx1y2x2y10，abx1x2y1y20

向量共線（平行）的坐標表示

1．利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量

為a（R），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量．

2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a(x1,y1)，

b(x2,y2)，則a∥b的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便．

3．三點共線問題．A，B，C三點共線等價于AB與AC共線．

4．利用向量共線的坐標運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒

等變換求解．

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行

向量的運算．

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的

向量表達式．

向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系．

兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的．

易錯提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．

（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示

出來．

（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相

似等。

例．已知向量a=（2，1），b3,1，則（）

5251

A．若c,，則acB．向量a在向量b上的投影向量為b

552

25

C．a(chǎn)與ab的夾角余弦值為D．a(chǎn)b//a

5

525525

【詳解】對于A選項，若c,，則ac210，所以ac，A正確；

5555

221

對于B選項，設(shè)向量a在向量b上的投影向量為b，則abb，即23110，解得，故

2

1

向量a在向量b上的投影向量為b，B選項正確；

2

aab1025

對于C選項，ab5,0，cosa,ab，C選項正確；

aab555

對于D選項，ab1,2，1122，所以ab與a不共線，D選項錯誤.

故選：ABC.

變式1．下列說法中錯誤的為（）

5

A．已知a1,2，b1,1且a與aλb的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是,

3

13

B．向量e2,3，e2,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

124

C．非零向量a，b，滿足ab且a與b同向，則ab

D．非零向量a和b，滿足abab，則a與ab的夾角為30

【詳解】對于A，a1,2，b1,1，且a與aλb的夾角為銳角，

a(ab)(1,2)(1,2)142350，且0（0時，a與aλb的夾角為0），所

5

以且0，故A錯誤；

3

對于B，向量e14e2，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；

對于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯誤；

2

對于D，因為a=a-b，兩邊平方得，b2ab，又ab，

232222

則aabaaba，ababa2abb3a，

2

32

a

aab3

故cosa,ab2，

aaba3a2

而向量的夾角范圍為0,180，所以和的夾角為，故正確．

aab30D

故選：AC．

變式2．（多選）下列說法中正確的是（）

x1y1

A．若ax,y,bx,y，且與共線，則

1122ab

x2y2

B．若ax,y,bx,y，且xyxy，則與不共線

11221221ab

C．若A，B，C三點共線．則向量AB,BC,CA都是共線向量

D．若向量a1,2,b2,n，且a//b，則n4

【詳解】對選項A，x20或y20時，比例式無意義，故錯誤；

對選項B，若ax,y,bx,y，與共線，則一定有xyxy，故正確；

1122ab1221

對選項C，若A，B，C三點共線，則AB,BC,CA在一條直線上，則AB,BC,CA都是共線向量，故正確；

對選項D，若向量a1,2,b2,n，且a//b，則1n22，即n4，故正確；

故選：BCD

變式3．已知e1,e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A．若實數(shù)m，n使me1ne20，則mn0

B．平面內(nèi)任意一個向量a都可以表示成ame1ne2，其中m，n為實數(shù)

C．對于m，nR，me1ne2不一定在該平面內(nèi)

D．對平面內(nèi)的某一個向量a，存在兩對以上實數(shù)m，n，使ame1ne2

【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；

對于C，對于m，nR，me1ne2在該平面內(nèi)，故C錯誤；

對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.

故選:AB.

1．在梯形ABCD中，AB//CD，AB2CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC與BD交于M，設(shè)ABa，

ADb，則下列結(jié)論正確的是（）

11

A．ACabB．BCab

22

121

C．BMabD．EFab

334

【答案】ABD

【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對各選項進行判斷即可．

【詳解】

1

由題意可得，ACADDCba，故A正確；

2

11

BCBAACababa，故B正確；

22

22122

BMBAAMaACababa，故C錯誤；

33333

111

EFEAADDFababa，故D正確．

244

故選：ABD．

2．已知點A1,2，B3,x，向量a2x,1，AB∥a，則（）

A．x22時AB與a方向相同

B．x22時，AB與a方向相同

C．x22時AB與a方向相反

D．x22時，AB與a方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示求出x，再回代驗證方向相同或相反.

【詳解】A1,2，B3,x，可得AB2,x2，

又a2x,1，AB//a，

可得2xx22，解得x22，

當(dāng)x22時，AB2,2與a2,1方向相反，當(dāng)x22時，AB2,2與a2,1方向

相同.

故選：BD

3．已知點A(1,2),B(3,x),向量a(2x,1),AB∥a,則（）

A．x3時AB與a方向相同

B．x22,時AB與a方向相同

C．x3時AB與a方向相反