專題07蒙日?qǐng)A、阿氏圓、阿基米德三角形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律蒙日?qǐng)A掌握蒙日?qǐng)A的概念，了解它的應(yīng)用.重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題阿氏圓掌握阿氏圓的概念，了解它的應(yīng)用.重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題阿基米德三角形掌握阿基米德三角形與拋物線間的聯(lián)系與應(yīng)用.高頻易錯(cuò)點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題壓軸，阿基米德三角形性質(zhì)不熟悉知識(shí)點(diǎn)01蒙日?qǐng)A1、蒙日?qǐng)A的定義在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A，如圖1．2、蒙日?qǐng)A的幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)02阿氏圓1、阿波羅尼斯圓的定義2、阿波羅尼斯圓的證明圖①圖②圖③（3）阿波羅尼斯圓的相關(guān)結(jié)論知識(shí)點(diǎn)03阿基米德三角形2、阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1：MF⊥AB；性質(zhì)2：MA⊥MB；性質(zhì)3：MN∥x軸；性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2對(duì)于點(diǎn)A，B:①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn) ②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)M③過焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)④過焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過焦點(diǎn)的阿基米德三角形”3、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)）1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．3、若直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)．4、底邊長(zhǎng)為的阿基米德三角形的面積的最大值為．5、若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．圖112、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．題型一蒙日?qǐng)A【答案】B【詳解】根據(jù)題意作圖如下，故選：B．【答案】3【分析】根據(jù)題意，圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和，列方程求解即可.故答案為：3.【分析】首先通過橢圓的四條特殊切線可知道蒙日?qǐng)A的半徑，問題轉(zhuǎn)化為直線與蒙日?qǐng)A有交點(diǎn)問題，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式即可求解。【詳解】由題可知，點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，問題轉(zhuǎn)化為直線和蒙日?qǐng)A有公共點(diǎn).如圖當(dāng)長(zhǎng)方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為和，【答案】/故答案為：.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)證明見解析.【分析】（1）由橢圓所過的點(diǎn)列出關(guān)于的方程組即可求解；則題型二阿氏圓A． B． C． D．【答案】D所以所求圖形的面積為，故選：D【答案】A故選:A.【分析】由題意得M的軌跡方程，進(jìn)而得兩圓相交，應(yīng)用相交條件即可得解.又因?yàn)镸在圓C上，所以M是圓D、圓C交點(diǎn)，即圓D、圓C相交，【詳解】所以點(diǎn)M的軌跡是以為直徑的圓，除去F點(diǎn)，E點(diǎn),綜合以上兩種情況，點(diǎn)M的軌跡是以為直徑的圓，除去F點(diǎn)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空的關(guān)鍵是利用三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).(1)求橢圓的方程；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)及橢圓定義列式求解得出橢圓的方程；（2）根據(jù)圖形特征結(jié)合定義計(jì)算求值；又因?yàn)橛砂l(fā)出的光線經(jīng)橢圓一次反射后到經(jīng)過的路程為4，以為直徑的圓的方程為：題型三阿基米德三角形解｜題｜技｜巧1、阿基米德三角形的定義:拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.2、過焦點(diǎn)的阿基米德三角形的常見性質(zhì):【答案】A【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，所以點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以直線的斜率為，故選：A．【答案】D【詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，可得平行軸，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法：（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）．【答案】AD故選：AD.【答案】ACD故選：ACD.A．以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)【答案】ABC【分析】根據(jù)拋物線的切線方程，相似關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程后根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和的正切公式代入即可求解.【詳解】證明如下：所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，即以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)，故A正確;當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，又以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)，故B正確;故C正確;故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【答案】BD故選：BD.期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）【答案】B故選：B.A． B．2 C． D．【答案】A故選：A.【答案】B因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，故選：B．A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.故選：D．A． B． C． D．【答案】C故選：C.【答案】B故選：B.【答案】A所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，故選：A.C．動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值為【答案】ABD對(duì)于C，當(dāng)直線與垂直時(shí),動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).故選：ABDC．AB⊥PF D．△PAB面積的最小值為4【答案】ACD對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，直線的斜率為，直線的斜率為，故選：ACDA．△AMB是直角三角形B．頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線C．MF是△AMB的高線D．△AMB面積的最小值為【答案】ABC所以△AMB是直角三角形，故A正確；所以頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線，且取的中點(diǎn)，連接，平行軸，故B正確；所以MF是△AMB的高線，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槠叫休S，所以故選：ABC.【答案】【分析】求出直線與直線的方程，聯(lián)立兩直線方程即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，則可求；也可以使用二級(jí)結(jié)論“過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線，切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上”快速推導(dǎo)結(jié)果.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以直線的斜率存在，二級(jí)結(jié)論法：由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線，切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，故答案為：.(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線的方程期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）B．若為的中點(diǎn)，則的離心率的最小值為C．過點(diǎn)不可能作兩條互相垂直的直線都與相切【答案】ABD【分析】根據(jù)圓及橢圓的幾何性質(zhì)判斷A，根據(jù)為的中點(diǎn)建立關(guān)于的齊次不等式，從而得到離心率的最值可判斷B，舉反例排除C，利用點(diǎn)在橢圓上與基本不等式“1”的妙用可判斷D.所以的蒙日?qǐng)A面積最小為，D正確.故選：ABD.【答案】ABC取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，可得平行軸，故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：圓錐曲線中的最值問題的分類及求解策略：1、圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中的幾何元素的最值，以及當(dāng)這些元素存在最值時(shí)，求解與之有關(guān)的一些問題；2、對(duì)于圓錐曲線中的最值問題，一般可采用數(shù)形結(jié)合的方法或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的問題加以解決，解決最值范圍問題時(shí)，應(yīng)重視圓錐曲線的定義、曲線的幾何特征、方程的代數(shù)特征在解題中的作用.A．若過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上【答案】ABCA：把拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；D：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解判斷即可..【詳解】由題意可知：直線一定存在斜率，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得：顯然點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項(xiàng)說法正確；故本選項(xiàng)說法正確；點(diǎn)到直線的距離為：故本選項(xiàng)說法不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵就是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的整體代換應(yīng)用，本題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的應(yīng)用.A．以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的切線方程，相似關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程后根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和的正切公式代入即可求解.證明如下：即以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于點(diǎn)，故A正確；所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，又以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)，對(duì)于C：當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；故選：ABD.【答案】故答案為：．(1)求圓的方程；(2)16；(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(1)試探究甲同學(xué)得出的結(jié)論，類比到此雙曲線情境中，是否仍然成立？（選擇一個(gè)結(jié)論進(jìn)行探究即可）【答案】(1