22.3實際問題與二次函數(shù)（第1課時）（導(dǎo)學(xué)案）（解析版）1.教學(xué)目標（1）能根據(jù)實際問題構(gòu)造二次函數(shù)模型。能用拋物線的頂點坐標來確定二次函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。（2）通過對“長方形面積”等實際問題的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過程，體會建立數(shù)學(xué)模型的思想。（3）體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的模型，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。重點：用二次函數(shù)的最大值（或最小值）來解決實際應(yīng)用問題。難點：理解二次函數(shù)當(dāng)確定函數(shù)值求自變量，可以看作解一元二次方程的過程。如何從實際問題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系.第一環(huán)節(jié)自主學(xué)習(xí)溫故知新：【學(xué)法指導(dǎo)】自研課本P4346頁內(nèi)容圖形的最值問題（1）這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是這個函數(shù)的圖象的什么點?當(dāng)t取什么值,這個函數(shù)有最小還是最大值?最高點。當(dāng)t取頂點的橫坐標時，這個函數(shù)有最大值。(3)小球的運動時間是多少時,小球最高？小球運動中的最大高度是多少？小球運動的時間是3s時，小球最高;小球運動中的最大高度是45m。二次函數(shù)解決實際問題的一般路徑：“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——利用二次函數(shù)知識解決問題——利用求解的結(jié)果解釋問題”。問題：用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長的變化而變化.當(dāng)是多少時，場地的面積S最大？(1)矩形面積公式是什么？如何用表示另一邊？面積S的函數(shù)關(guān)系式是什么？(2)當(dāng)是多少時，場地的面積S最大？總結(jié)歸納：利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題的要點：1.根據(jù)面積公式、周長公式等建立函數(shù)關(guān)系式；2.確定自變量的取值范圍；3.根據(jù)開口方向、頂點坐標和自變量的取值范圍畫草圖；4.根據(jù)草圖求所得函數(shù)在自變量的允許范圍內(nèi)的最大值或最小值.【自研自探】例1.用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（1）本例題與上面的問題有什么不同？當(dāng)設(shè)面積為S，如何設(shè)自變量？面積S的函數(shù)關(guān)系式是什么？（2）如何確定自變量的取值范圍？墻長32m對此題有什么作用？

0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.（3）如何求最值？(2)若平行于墻的一邊長不小于20米，這個矩形花園有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由．【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的一元二次方程，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以得到面積與矩形一邊長的關(guān)系式，然后化為頂點式，注意求出的邊長要符合題意．答：當(dāng)砌墻寬為15米，長為20米時，花園面積為300平方米；（2）設(shè)為，矩形花園的面積為，∵平行于墻的一邊長不小于20米∵圍墻MN最長可利用26米即當(dāng)砌墻長為25米時，矩形花園的面積最大，最大值為，即當(dāng)砌墻長為20米時，矩形花園的面積最小，最小值為．例3.用長為12米的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框，設(shè)矩形窗框的寬為x米，窗框的透光面積為S平方米．（鋁合金型材寬度不計）(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．(2)求x為多少時S取得最大值，并求S的最大值．（2）將（1）中得到的函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，即可解答．（2）解：由（1）得：∴S有最大值，第二環(huán)節(jié)合作探究2.討論二次函數(shù)解決實際問題的一般路徑？3.討論利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題的要點。4.合作探究提升：綜合與實踐在綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們以“二次函數(shù)的最大值”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

觀察發(fā)現(xiàn)探究遷移①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；②求y的最大值．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識；（1）利用三角形的面積即可表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)二次函數(shù)解析式求出y的最大值；（2）利用矩形面積減掉直角梯形和兩個直角三角形的面積即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實際應(yīng)用題中有意義的條件，得出x的取值范圍，進而得到y(tǒng)的最大值；解題的關(guān)鍵是會用配方法求解二次函數(shù)的最值，會用割補法求解不規(guī)則圖形的面積．（3）如圖4，連接，,習(xí)題22.3第1題.提示：求出拋物線的最高點或最低點的坐標，相應(yīng)二次函數(shù)的最大值或最小值就求出來.1．(2025?浙江)為了實時規(guī)劃路徑，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)需要計算運動點與觀測點之間距離的平方．如圖1，點P是一個固定觀測點，運動點Q從A處出發(fā)，沿筆直公路AB向目的地B處運動．設(shè)AQ為x(單位：km)(0≤x≤n)，PQ2為y(單位：km2)．如圖2，y關(guān)于x的函數(shù)圖象與y軸交于點C，最低點D(m，81)，且經(jīng)過E(1，225)和F(n，225)兩點．下列選項正確的是()A．m＝12 B．n＝24 C．點C的縱坐標為240 D．點(15，85)在該函數(shù)圖象上【詳解】解：如圖，作PG⊥AB于G，當(dāng)x＝1時，動點Q運動到點H的位置，則由題意和圖象可知＝225，當(dāng)點Q運動到點G的時候，最小，即：＝81，HG＝m－1＝12．∴m＝13．∴A錯誤．∴AG＝m＝13，HG＝m－1＝12．∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝12，∴AB＝13＋12＝25，∴選項B錯誤．∴點C的縱坐標為250．∴選項C錯誤．當(dāng)x＝15時，點Q運動到點K，∴AK＝15．∴點(15，85)在該函數(shù)圖象上．∴選項D正確．故選：D.(1)若圍成的矩形菜園的面積為400平方米，求所利用舊墻的長；答：所利用舊墻的長為20米；2.二次函數(shù)解決實際問題的一般路徑：“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——利用二次函數(shù)知識解決問題——利用求解的結(jié)果解釋問