第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【基礎(chǔ)回顧】知識(shí)點(diǎn)1．對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN.以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN.知識(shí)點(diǎn)2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．知識(shí)點(diǎn)3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0增函數(shù)減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．【必備知識(shí)】2．如圖，給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象．則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內(nèi)，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．可以令y=1得到x值，即為底數(shù)。題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．【例題精講】1．設(shè)a=log2025A．1 B．32 C．2 D．2．logA．94 B．2 C．138 3．計(jì)算：3log4．已知a＞1，1log8a?5．272題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域定義域：2.若存在復(fù)合函數(shù)（如根號(hào)、分式等），需結(jié)合其他函數(shù)定義域規(guī)則綜合求解．值域：【例題精講】1．函數(shù)y＝lg[（x﹣1）（x﹣2）]的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（1，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） D．（﹣2，﹣1）2．若關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝lg[loga（x2+ax+2）]的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，1）∪（1，2） B．(0，1)∪(1，22C．（1，2） D．(1，23．已知函數(shù)f（x）＝2x+1（x≥2）的值域?yàn)閇a，+∞），g(x)=log3(x2A．0 B．1 C．3 D．5（多選）4．已知函數(shù)f(x)=logA．f（x）的圖象恒過原點(diǎn) B．若a＝0，則f（x）是增函數(shù) C．若f（x）的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為(?1D．若f（x）的值域?yàn)镽，則a的取值范圍為(?∞，?5．已知函數(shù)f(x)=log2(kx2+kx+1)，若f（x）的值域?yàn)轭}型三對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用（解不等式、比較大?。?.若對(duì)數(shù)底數(shù)a確定，直接利用單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，注意真數(shù)大于0，如：【例題精講】1．函數(shù)f(x)=log12A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤﹣1 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤﹣22．已知a＝0.53.1，b＝log0.90.3，c=log312，則a，A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜b3．已知函數(shù)f(x)=log2(4x+1)?x，則不等式f（A．（﹣∞，﹣1） B．(?1，1C．(13，+∞)（多選）4．已知102a＝5，10b＝2，則（）A．a(chǎn)＜b B．2a+b＝1 C．log2a+log2b＜﹣3 D．2（多選）5．下列不等關(guān)系成立的有（）A．30.7＞0.73 B．lg3＜ln0.9 C．log34＞log56 D．0.40.3＜0.30.4題型四對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性2.對(duì)稱性：【例題精講】（多選）1．已知函數(shù)f（x）＝log2（1﹣|x|），則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說法正確的是（）A．f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 C．f（x）的最大值為0 D．f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調(diào)遞增2．已知冪函數(shù)y＝g（x）的圖像過點(diǎn)（2，4），若函數(shù)f(x)=g(x)?log2(a?4x+23．已知函數(shù)f（x）＝logax?2x+2（1）判斷函數(shù)奇偶性，并說明理由；（2）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f﹣1（x）；（3）若函數(shù)的定義域?yàn)閇α，β]，值域?yàn)閇logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上為減函數(shù)．求a的取值范圍．4．已知函數(shù)f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1）（1）討論f（x）的奇偶性與單調(diào)性；（2）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|?15．已知函數(shù)f(x)=lnx+1（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；（2）解不等式：f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0；（3）若函數(shù)g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，比較f（2）+f（4）+…+f（2n）與2n（n∈N*）的大小關(guān)系，并說明理由．題型五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【例題精講】1．已知函數(shù)f（x）=|x+1|，?7≤x≤0lnx，e?2≤x≤e，g（x）＝x2﹣2x，設(shè)a為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m，使f（m）﹣2gA．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]2．函數(shù)f（x）＝2﹣|x|的圖象與g（x）＝log3|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．6 B．4 C．2 D．13．已知函數(shù)f（x）＝ln（x+m）的圖象與函數(shù)g（x）＝﹣ln（﹣x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2（多選）4．如圖，這是函數(shù)y＝|logax|和y＝|logbx|的大致圖象，其中0＜a＜b＜1，圖象中在點(diǎn)（1，0）處形成了4條曲線，從左至右分別記為A1，A2，A3，A4，則（）A．A1，A3是函數(shù)y＝|logax|的圖象 B．A1，A4是函數(shù)y＝|logax|的圖象 C．A2，A3是函數(shù)y＝|logbx|的圖象 D．A2，A4是函數(shù)y＝|logbx|的圖象（多選）5．函數(shù)f（x）＝loga|x|+1（0＜a＜1）的大致圖象不可能為（）A． B． C． D．課時(shí)精練一．選擇題（共8小題）1．已知a＝2﹣1.1，b=log1413A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＜c＜b2．已知函數(shù)f（x）＝log2（x+1）﹣|x|，則不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（1，+∞）3．若lna+lnb＝1，則4a?8b的最小值為（）A．26e B．46e C．26e 4．設(shè)a=logA．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c5．已知a=ln2，b=ln33A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．函數(shù)y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，則1mA．6 B．8 C．22 D．37．已知函數(shù)f（x）＝|log2x|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），則2a+3b的范圍是（）A．[5，+∞） B．（5，+∞） C．[26，+∞) 8．若函數(shù)f（x）＝log0.5（x2﹣ax+2a）（a＞0）的值域?yàn)镽，則f（a）的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，﹣4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，+∞）二．多選題（共3小題）（多選）9．已知x，y∈R，x=logA．y＞x B．xy＜14 C．x+y＞1 （多選）10．已知2logA．（2a）2＝2b B．a(chǎn)?elna＝b C．b＝a2 D．log2a＝log8ab（多選）11．已知函數(shù)f(x)=logA．?a∈R，使得f（x）為偶函數(shù) B．若f（x）的定義域?yàn)镽，則a∈(?2C．若f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，則a的取值取值范圍是[1，+∞） D．若f（x）的值域是（﹣∞，2]，則a∈{?三．填空題（共3小題）12．已知函數(shù)f(x)=log2(x2?2ax+3)的值域?yàn)?3．設(shè)函數(shù)f（x）＝loga（x﹣2）+6過定點(diǎn)P（m，n），則log314．關(guān)于函數(shù)y＝log2（x2﹣2x+3）有以下4個(gè)結(jié)論：①該函數(shù)是偶函數(shù)；②定義域?yàn)椋ī仭?，?]∪（1，+∞）；③遞增區(qū)間為[1，+∞）；④最小值為1；其中正確結(jié)論的序號(hào)是．四．解答題（共5小題）15．（1）化簡(jiǎn)3lo（2）已知x+y＝11，xy＝9，求x116．已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．（1）若f（x）在[a，2a]上的最大值與最小值之差為1，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若f（2a﹣1）＞f（a+2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1），在區(qū)間[1（1）求a的值；（2）若函數(shù)g(x)=log2(x2?2ax+1)的定義域?yàn)?8．已知函數(shù)f(x)=logmx?3x+3，x∈[α，β]，其中m＞0，m≠1，（1）證明：α＞3；（2）若m＝2