2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day7）一、函數(shù)基礎(chǔ)鞏固題1.函數(shù)定義域與值域求解例題1：求函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\log_2(x-1)}$的定義域。解析：要使函數(shù)有意義，需滿足：根號(hào)內(nèi)非負(fù)：$x^2-4x+3\geq0$，即$(x-1)(x-3)\geq0$，解得$x\leq1$或$x\geq3$；對(duì)數(shù)真數(shù)大于0：$x-1>0$，即$x>1$；對(duì)數(shù)分母不為0：$\log_2(x-1)\neq0$，即$x-1\neq1$，解得$x\neq2$。綜合上述條件，定義域?yàn)?[3,+\infty)$。變式訓(xùn)練：求函數(shù)$f(x)=\frac{2^x}{\sqrt{9-x^2}}+\arcsin\left(\frac{x}{2}-1\right)$的定義域。（答案：$[-2,0)\cup(0,3)$）2.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用例題2：已知函數(shù)$f(x)$是定義在$(-\infty,+\infty)$上的奇函數(shù)，且在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，若$f(a-1)+f(2a^2)\leq0$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解析：由于$f(x)$是奇函數(shù)，有$f(-x)=-f(x)$，原不等式可化為$f(2a^2)\leq-f(a-1)=f(1-a)$。又$f(x)$在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，且奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致，故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。因此$2a^2\leq1-a$，即$2a^2+a-1\leq0$，解得$-1\leqa\leq\frac{1}{2}$。變式訓(xùn)練：已知偶函數(shù)$f(x)$在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞減，且$f(2)=0$，解不等式$f(\log_2x)>0$。（答案：$\left(\frac{1}{4},4\right)$）二、三角函數(shù)進(jìn)階題1.三角恒等變換例題3：化簡(jiǎn)$\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta)$，并求當(dāng)$\alpha=\frac{\pi}{6}$，$\beta=\frac{\pi}{3}$時(shí)的值。解析：原式$=\frac{\sin[(\alpha+\beta)+\alpha]-2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}$$=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha-2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}$$=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]}{\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$。代入$\alpha=\frac{\pi}{6}$，$\beta=\frac{\pi}{3}$，得$\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$。變式訓(xùn)練：證明$\tan\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+\tan\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=2\tan2\theta$。（提示：利用兩角和差正切公式展開）2.三角函數(shù)圖像與性質(zhì)例題4：已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\left(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$的部分圖像如圖所示，求其解析式。解析：由圖像可知，振幅$A=2$，周期$T=4\times\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{6}\right)=\pi$，故$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$。當(dāng)$x=\frac{\pi}{6}$時(shí)，$f(x)=2$，即$2\sin\left(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=2$，解得$\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$。又$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$，故$\varphi=\frac{\pi}{6}$。因此$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$。變式訓(xùn)練：函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$的圖像可由$y=\sin2x$的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到？（答案：向右平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度）三、數(shù)列綜合題1.等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量運(yùn)算例題5：已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_3=5$，$S_6=36$，求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式及$S_n$的最大值。解析：設(shè)等差數(shù)列公差為$d$，則$\begin{cases}a_1+2d=5\6a_1+\frac{6\times5}{2}d=36\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1=9\d=-2\end{cases}$。通項(xiàng)公式$a_n=9+(n-1)\times(-2)=11-2n$。令$a_n\geq0$，即$11-2n\geq0$，解得$n\leq5.5$，故當(dāng)$n=5$時(shí)，$S_n$最大，$S_5=5\times9+\frac{5\times4}{2}\times(-2)=25$。變式訓(xùn)練：等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=2$，$a_5=16$，求數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。（答案：$S_n=2^n-1$）2.數(shù)列求和與遞推關(guān)系例題6：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式。解析：等式兩邊同除以$2^{n+1}$，得$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n$。設(shè)$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，則$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n$，且$b_1=\frac{1}{2}$。累加得$b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^k=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=3^n-2^n$，故$a_n=2^nb_n=3^n-2^n$。變式訓(xùn)練：已知數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_n=a_{n-1}+2n-1(n\geq2)$，求$a_n$及前$n$項(xiàng)和$S_n$。（答案：$a_n=n^2+1$，$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n$）四、綜合應(yīng)用題1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例題7：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10元，若總收益$R$（單位：元）與年產(chǎn)量$x$（單位：件）的關(guān)系是$R(x)=\begin{cases}40x-\frac{1}{2}x^2,&0\leqx\leq400\80000,&x>400\end{cases}$，問年產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：總成本$C(x)=2000+10x$，總利潤(rùn)$L(x)=R(x)-C(x)$。當(dāng)$0\leqx\leq400$時(shí)，$L(x)=40x-\frac{1}{2}x^2-2000-10x=-\frac{1}{2}x^2+30x-2000$，對(duì)稱軸$x=30$，此時(shí)$L(30)=-\frac{1}{2}\times900+900-2000=-1550$（虧損）；當(dāng)$x>400$時(shí)，$L(x)=80000-2000-10x=78000-10x$，此時(shí)$L(x)$單調(diào)遞減，$L(400)=78000-4000=74000$。故年產(chǎn)量為400件時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為74000元。2.三角函數(shù)與解三角形例題8：在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，已知$\cosA=\frac{3}{5}$，$b=5\sqrt{3}$，$B=\frac{\pi}{3}$，求$a$的值及$\triangleABC$的面積。解析：由$\cosA=\frac{3}{5}$，得$\sinA=\frac{4}{5}$。根據(jù)正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，即$\frac{a}{\frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}$，解得$a=8$。又$\sinC=\sin(\pi-A-B)=\sin\left(A+\frac{\pi}{3}\right)=\sinA\cos\frac{\pi}{3}+\cosA\sin\frac{\pi}{3}=\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$。面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times8\times5\sqrt{3}\times\frac{4+3\sqrt{3}}{10}=8\sqrt{3}+18$。五、選做題（難度提升）已知函數(shù)$f(x)=\frac{e^x}{x}-a(x-\lnx)$，若$f(x)$在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。（提示：求導(dǎo)后分離參數(shù)，答案：$a\