2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day15）一、三角函數(shù)基礎(chǔ)鞏固（40分）（一）選擇題（每題5分，共20分）已知角α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且tanα=2，則cosα的值為（）A.√5/5B.2√5/5C.±√5/5D.-2√5/5函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12（k∈Z）B.2π，x=kπ+π/12（k∈Z）C.π，x=kπ/2-π/6（k∈Z）D.2π，x=kπ-π/6（k∈Z）已知cosα=-3/5，α∈(π/2,π)，sinβ=-12/13，β∈(3π/2,2π)，則cos(α-β)的值為（）A.63/65B.56/65C.-33/65D.-16/65將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移π/4個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1/2（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)解析式是（）A.y=sin(2x+π/4)B.y=sin(2x+π/2)C.y=sin(x/2+π/4)D.y=sin(x/2+π/8)（二）填空題（每題5分，共20分）已知sinα+cosα=1/5，α∈(0,π)，則tanα=__________。函數(shù)f(x)=3sin(2x-π/6)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值是__________，最小值是__________?；?jiǎn)：sin(π-α)cos(π/2+α)tan(3π/2-α)=__________。若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)和(π/3,0)，且相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π/2，則函數(shù)解析式為_(kāi)_________。二、數(shù)列綜合應(yīng)用（40分）（一）選擇題（每題5分，共10分）在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1，記Tn=a1a2…an（n=1,2,…），則數(shù)列{Tn}（）A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=(1+an)/(1-an)（n∈N*），則該數(shù)列的前2025項(xiàng)的乘積是（）A.-2B.-1C.3D.1（二）填空題（每題5分，共10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)/2，則數(shù)列{1/(an·an+1)}的前n項(xiàng)和Tn=__________。已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1+a2=6，a3+a4=24，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=__________。（三）解答題（共20分）（10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn。三、三角函數(shù)與數(shù)列綜合題（20分）（10分）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知sinA=3/5，cosB=5/13，a=6。（1）求sinC的值；（2）求△ABC的周長(zhǎng)。（10分）某公司為慶祝成立十周年，舉辦了一場(chǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)。競(jìng)賽規(guī)則如下：參賽者需要回答一系列與數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)或不答得0分。已知某參賽者在回答前n道題時(shí)，答對(duì)的題目數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且前3道題共答對(duì)21分，前5道題共答對(duì)45分。（1）求該參賽者答對(duì)題目數(shù)的通項(xiàng)公式；（2）若競(jìng)賽共有10道題，求該參賽者可能獲得的最高分?jǐn)?shù)。四、選做題（共20分，不計(jì)入總分）已知函數(shù)f(x)=sin^2x+√3sinxcosx+2cos^2x（x∈R）。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈[0,π/2]，求函數(shù)f(x)的值域。已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-n（n∈N*）。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=(2n+1)(an+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。參考答案與解析一、三角函數(shù)基礎(chǔ)鞏固A解析：∵α是三角形內(nèi)角，∴α∈(0,π)，又tanα=2>0，∴α∈(0,π/2)，cosα>0。由tanα=sinα/cosα=2，sin^2α+cos^2α=1，解得cosα=√5/5。A解析：T=2π/2=π，令2x+π/3=kπ+π/2（k∈Z），解得x=kπ/2+π/12（k∈Z）。D解析：由題意得sinα=4/5，cosβ=5/13，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-3/5)(5/13)+(4/5)(-12/13)=-15/65-48/65=-63/65。A解析：向左平移π/4個(gè)單位得y=sin(x+π/4)，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1/2得y=sin(2x+π/4)。-4/3解析：將sinα+cosα=1/5兩邊平方得1+2sinαcosα=1/25，∴sinαcosα=-12/25<0，∵α∈(0,π)，∴sinα>0，cosα<0。聯(lián)立方程組解得sinα=4/5，cosα=-3/5，∴tanα=-4/3。3，-3/2解析：當(dāng)x∈[0,π/2]時(shí)，2x-π/6∈[-π/6,5π/6]，sin(2x-π/6)∈[-1/2,1]，∴f(x)∈[-3/2,3]。-cosα解析：原式=sinα(-sinα)(cotα)=-sin^2α·(cosα/sinα)=-sinαcosα，根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(π-α)=sinα，cos(π/2+α)=-sinα，tan(3π/2-α)=cotα。f(x)=2sin(2x+π/6)解析：由相鄰對(duì)稱(chēng)軸距離π/2得T=π，ω=2。由f(0)=1得Asinφ=1，f(π/3)=0得Asin(2π/3+φ)=0，結(jié)合|φ|<π/2解得A=2，φ=π/6。二、數(shù)列綜合應(yīng)用B解析：設(shè)公差為d，由a1=-9，a5=-1得d=2，∴an=2n-11。令an≥0得n≥6，∴a1~a5<0，a6=1>0，后續(xù)各項(xiàng)遞增。Tn=a1a2…an，當(dāng)n≤5時(shí)，Tn<0且絕對(duì)值增大；n≥6時(shí)，Tn符號(hào)取決于負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)，n=5時(shí)T5最小（絕對(duì)值最大），n=6時(shí)T6=T5·a6，絕對(duì)值減小但仍為負(fù)，n>6時(shí)Tn絕對(duì)值增大但始終為負(fù)，故有最大項(xiàng)（n=4或n=5），無(wú)最小項(xiàng)。C解析：計(jì)算得a1=2，a2=-3，a3=-1/2，a4=1/3，a5=2，∴周期T=4，2025=4×506+1，前2025項(xiàng)乘積=(2×(-3)×(-1/2)×1/3)^506×2=1^506×2=2。n/(n+1)解析：由Sn=n(n+1)/2得an=n，1/(an·an+1)=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)，Tn=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)=n/(n+1)。2^(n+1)-2解析：設(shè)公比為q，由a1+a2=6，a3+a4=q^2(a1+a2)=24得q^2=4，q=2（各項(xiàng)為正），a1=2，Sn=2(2^n-1)/(2-1)=2^(n+1)-2。解：（1）設(shè)公差為d，a2+a5=2a1+5d=6+5d=36，解得d=6，∴an=3+6(n-1)=6n-3；（2）bn=2^(6n-3)=8^(2n-1)/8，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=2^3=8，公比q=2^6=64的等比數(shù)列，Sn=8(64^n-1)/(64-1)=8(64^n-1)/63。（1）證明：由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2≠0，∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得an+1=2^n，∴an=2^n-1，Tn=S2^n-Sn=2(2^n-1)/(2-1)-n(n+1)/2=2^(n+1)-2-n(n+1)/2。三、三角函數(shù)與數(shù)列綜合題解：（1）∵cosB=5/13<√2/2，∴B∈(π/4,π/2)，sinB=12/13。sinA=3/5<√2/2，A∈(0,π/4)或(3π/4,π)，若A∈(3π/4,π)，則A+B>π，舍去，∴A∈(0,π/4)，cosA=4/5。sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3/5×5/13+4/5×12/13=15/65+48/65=63/65；（2）由正弦定理a/sinA=2R=6/(3/5)=10，得b=2RsinB=10×12/13=120/13，c=2RsinC=10×63/65=126/13，周長(zhǎng)=a+b+c=6+246/13=324/13。解：（1）設(shè)答對(duì)題目數(shù)為等差數(shù)列{an}，公差為d，由題意得S3=3a1+3d=21，S5=5a1+10d=45，解得a1=5，d=2，∴an=5+2(n-1)=2n+3；（2）最高分?jǐn)?shù)即全部答對(duì)，a10=2×10+3=23，但題目總數(shù)為10，故最高分?jǐn)?shù)為10×10=100分。四、選做題解：（1）f(x)=1/2(1-cos2x)+√3/2sin2x+1+cos2x=√3/2sin2x+1/2cos2x+3/2=sin(2x+π/6)+3/2，T=π，令-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ，得單調(diào)遞增區(qū)間[-π/3+kπ,π/6+kπ]（k∈Z）；（2）當(dāng)x∈[0,π/2]時(shí)，2x+π/6∈[π/6,7π/6]，sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]，∴f(x)∈[1,5/2]。解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a1-1，得a1=1。當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-(n-1)，兩式相減得an=2an-2an-1-1，即an=2an-1+1，下同14題，得an=2^n-1；（2）bn=(2n+1)2^n，Tn=3×2+5×2^2+…+(2n+1)2^n，2Tn=3×2^2+…+(2n-1)2^n+(2n+1)2^(n+1)，相減得-Tn=6+2(2^2+…+2^n)-(2n+1)2^(n+1)=6+2×4(2^(n-1)-1)/(2-1)-(2n+1)2^(n+1)=-2+(1-2n)2^(n+1)，∴Tn=(2n-1)2^(n+1)+2。學(xué)習(xí)建議三角函數(shù)部分應(yīng)重點(diǎn)掌握同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和差公式及二倍角公式的靈活應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想，熟練掌握三角函數(shù)圖象變換規(guī)律。數(shù)列部分要熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，掌握常見(jiàn)的求通項(xiàng)（如累加法、累乘法、