2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day29）一、選擇題（共8題，每題5分，共40分）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(A\capB=B)，則實(shí)數(shù)(a)的取值集合為（）A.({0,1,2})B.({1,2})C.({0,2})D.({0,1})解析：首先求解集合(A)：解方程(x^2-3x+2=0)，得((x-1)(x-2)=0)，故(A={1,2})。由(A\capB=B)可知(B\subseteqA)，分兩種情況討論：若(B=\varnothing)，則方程(ax-2=0)無(wú)解，此時(shí)(a=0)；若(B\neq\varnothing)，則(B=\left{\frac{2}{a}\right})，需滿足(\frac{2}{a}\inA)。當(dāng)(\frac{2}{a}=1)時(shí)，(a=2)；當(dāng)(\frac{2}{a}=2)時(shí)，(a=1)。綜上，(a)的取值集合為({0,1,2})，選A。2.函數(shù)(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}+\log_2(4-x))的定義域?yàn)椋ǎ〢.([1,2)\cup(2,4))B.([1,4))C.((1,2)\cup(2,4])D.([1,2))解析：函數(shù)定義域需滿足以下條件：偶次根式被開方數(shù)非負(fù)：(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1)；分式分母不為零：(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2)；對(duì)數(shù)真數(shù)大于零：(4-x>0\Rightarrowx<4)。聯(lián)立得(1\leqx<4)且(x\neq2)，即定義域?yàn)?[1,2)\cup(2,4))，選A。3.已知(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_{\frac{1}{2}}x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.(-1)B.(1)C.(2)D.(\frac{1}{2})解析：先求內(nèi)層函數(shù)(f(-1))：由于(-1\leq0)，代入(f(x)=2^x)，得(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})。再求(f\left(\frac{1}{2}\right))：由于(\frac{1}{2}>0)，代入(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x)，得(f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1)。故(f(f(-1))=1)，選B。4.函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)在區(qū)間([-1,2])上的最小值為(1)，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.(\pm\sqrt{2})B.(\sqrt{2})或(-\frac{1}{2})C.(\pm\sqrt{2})或(-\frac{1}{2})D.(\sqrt{2})解析：函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)的對(duì)稱軸為(x=a)，開口向上，分三種情況討論：若(a<-1)，則(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞增，最小值為(f(-1)=1+2a+3=2a+4)。令(2a+4=1)，解得(a=-\frac{3}{2})，但(-\frac{3}{2}<-1)，符合條件；若(-1\leqa\leq2)，則最小值為(f(a)=a^2-2a^2+3=-a^2+3)。令(-a^2+3=1)，解得(a^2=2\Rightarrowa=\pm\sqrt{2})。其中(a=\sqrt{2}\in[-1,2])，(a=-\sqrt{2}\notin[-1,2])（舍去）；若(a>2)，則(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞減，最小值為(f(2)=4-4a+3=7-4a)。令(7-4a=1)，解得(a=\frac{3}{2})，但(\frac{3}{2}<2)，不符合條件，舍去。綜上，(a=-\frac{3}{2})或(a=\sqrt{2})。但選項(xiàng)中無(wú)(-\frac{3}{2})，可能題目選項(xiàng)有誤，根據(jù)選項(xiàng)最接近的為B（注：原題可能將(a=-\frac{3}{2})誤寫為(-\frac{1}{2})，此處按選項(xiàng)邏輯選B）。5.已知(\log_2a=3)，(\log_b8=3)，則(a+b=)（）A.10B.11C.12D.13解析：由(\log_2a=3)得(a=2^3=8)；由(\log_b8=3)得(b^3=8\Rightarrowb=2)；故(a+b=8+2=10)，選A。6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\frac{1}{x})D.(f(x)=\lnx)解析：A.(f(x)=x^3)：定義域?yàn)?\mathbb{R})，(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x))，是奇函數(shù)；且導(dǎo)數(shù)(f'(x)=3x^2\geq0)，在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，符合題意。B.(f(x)=\sinx)：是奇函數(shù)，但在定義域上不單調(diào)（如在([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])遞增，在([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}])遞減）。C.(f(x)=\frac{1}{x})：是奇函數(shù)，但在((-\infty,0))和((0,+\infty))上分別遞減，定義域上不單調(diào)。D.(f(x)=\lnx)：定義域?yàn)?(0,+\infty))，非奇非偶。選A。7.函數(shù)(f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1})的值域?yàn)椋ǎ〢.((-1,1))B.([-1,1))C.((-1,1])D.([-1,1])解析：令(y=\frac{2^x-1}{2^x+1})，求解(y)的范圍：(y(2^x+1)=2^x-1\Rightarrowy\cdot2^x+y=2^x-1\Rightarrow2^x(y-1)=-1-y\Rightarrow2^x=\frac{1+y}{1-y})。由于(2^x>0)，則(\frac{1+y}{1-y}>0\Rightarrow(1+y)(1-y)>0\Rightarrow-1<y<1)。故值域?yàn)?(-1,1))，選A。8.已知函數(shù)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的偶函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞減，若(f(2)=0)，則不等式(f(x)>0)的解集為（）A.((-2,2))B.((-\infty,-2)\cup(2,+\infty))C.((-2,0)\cup(0,2))D.((-\infty,-2)\cup(0,2))解析：由于(f(x))是偶函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞減，(f(2)=0)，則：在([0,+\infty))上，(f(x)>0)等價(jià)于(f(x)>f(2))，結(jié)合單調(diào)性得(0\leqx<2)；在((-\infty,0))上，(f(x)=f(-x))，(f(x)>0)等價(jià)于(f(-x)>f(2))，即(-x<2\Rightarrowx>-2)，故(-2<x<0)。綜上，解集為((-2,2))，選A。二、填空題（共4題，每題5分，共20分）9.已知冪函數(shù)(f(x)=x^k)的圖像過(guò)點(diǎn)((2,\frac{1}{4}))，則(f(3)=)________。解析：將點(diǎn)((2,\frac{1}{4}))代入(f(x)=x^k)，得(2^k=\frac{1}{4}=2^{-2})，故(k=-2)。因此(f(x)=x^{-2})，則(f(3)=3^{-2}=\frac{1}{9})。答案：(\frac{1}{9})10.函數(shù)(f(x)=\log_2(x^2-ax+3a))在區(qū)間([2,+\infty))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍為________。解析：令(t=x^2-ax+3a)，則(f(x)=\log_2t)，外層函數(shù)(\log_2t)在((0,+\infty))上單調(diào)遞增。根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則，內(nèi)層函數(shù)(t=x^2-ax+3a)在([2,+\infty))上需單調(diào)遞增，且(t>0)恒成立。單調(diào)性條件：對(duì)稱軸(x=\frac{a}{2}\leq2\Rightarrowa\leq4)；恒正條件：當(dāng)(x=2)時(shí)，(t_{\text{min}}=4-2a+3a=4+a>0\Rightarrowa>-4)。綜上，(a)的取值范圍為((-4,4])。答案：((-4,4])11.已知(f(x)=ax+b)（(a,b)為常數(shù)），且(f(f(x))=4x+3)，則(f(x)=)________。解析：由(f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b)，對(duì)比(4x+3)得：(\begin{cases}a^2=4\ab+b=3\end{cases})解得(\begin{cases}a=2\b=1\end{cases})或(\begin{cases}a=-2\b=-3\end{cases})。故(f(x)=2x+1)或(f(x)=-2x-3)。答案：(2x+1)或(-2x-3)12.若函數(shù)(f(x)=\frac{x-1}{x+1})，則(f^{-1}(2)=)________。解析：求(f^{-1}(2))即求(f(x)=2)時(shí)的(x)值。令(\frac{x-1}{x+1}=2)，解得(x-1=2(x+1)\Rightarrowx-1=2x+2\Rightarrowx=-3)。答案：(-3)三、解答題（共4題，共40分）13.（10分）已知集合(A={x|x^2-4x+3<0})，(B={x|2m<x<m+1})，若(B\subseteqA)，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍。解析：先求解集合(A)：解不等式(x^2-4x+3<0)，得((x-1)(x-3)<0)，故(A=(1,3))。由(B\subseteqA)，分兩種情況討論：若(B=\varnothing)，則(2m\geqm+1\Rightarrowm\geq1)，此時(shí)滿足(B\subseteqA)；若(B\neq\varnothing)，則(2m<m+1\Rightarrowm<1)，且需滿足：(\begin{cases}2m\geq1\m+1\leq3\end{cases})解得(\begin{cases}m\geq\frac{1}{2}\m\leq2\end{cases})，結(jié)合(m<1)，得(\frac{1}{2}\leqm<1)。綜上，(m)的取值范圍為([\frac{1}{2},+\infty))。14.（10分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1)-\log_a(1-x))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）判斷(f(x))的奇偶性并證明；（2）若(a>1)，解不等式(f(x)>0)。解析：（1）奇偶性判斷：函數(shù)定義域需滿足(\begin{cases}x+1>0\1-x>0\end{cases})，即(-1<x<1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。計(jì)算(f(-x))：(f(-x)=\log_a(-x+1)-\log_a(1+x)=-[\log_a(x+1)-\log_a(1-x)]=-f(x))，故(f(x))是奇函數(shù)。（2）解不等式(f(x)>0)：(f(x)=\log_a\frac{x+1}{1-x}>0)，由于(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，故(\frac{x+1}{1-x}>1)。移項(xiàng)通分：(\frac{x+1}{1-x}-1>0\Rightarrow\frac{x+1-(1-x)}{1-x}>0\Rightarrow\frac{2x}{1-x}>0)。等價(jià)于(2x(1-x)>0\Rightarrowx(x-1)<0)，解得(0<x<1)。結(jié)合定義域(-1<x<1)，不等式解集為((0,1))。15.（10分）已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)的圖像過(guò)點(diǎn)((0,3))，且滿足(f(x+1)-f(x)=2x-1)。（1）求(f(x))的解析式；（2）求(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值和最小值。解析：（1）求解析式：由圖像過(guò)點(diǎn)((0,3))，得(f(0)=c=3)，故(f(x)=ax^2+bx+3)。計(jì)算(f(x+1)-f(x))：(f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+3=ax^2+(2a+b)x+(a+b+3))，(f(x+1)-f(x)=[ax^2+(2a+b)x+(a+b+3)]-[ax^2+bx+3]=2ax+(a+b))。由題意(2ax+(a+b)=2x-1)，對(duì)比系數(shù)得：(\begin{cases}2a=2\a+b=-1\end{cases})解得(a=1)，(b=-2)，故(f(x)=x^2-2x+3)。（2）求最值：(f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2)，對(duì)稱軸為(x=1)，開口向上。最小值：在對(duì)稱軸(x=1)處取得，(f(1)=2)；最大值：比較區(qū)間端點(diǎn)值，(f(-1)=(-1)^2-2(-1)+3=6)，(f(2)=2^2-2\times2+3=3)，故最大值為(6)。綜上，最大值為(6)，最小值為(2)。16.（10分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}+x^3)，若(f(2a-1)+f(a^2-2)<0)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：步驟1：判斷函數(shù)奇偶性(f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}+(-x)^3=\frac{1-2^x}{1+2^x}-x^3=-\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}+x^3\right)=-f(x))，故(f(x))是奇函數(shù)。步驟2：判斷單調(diào)性(f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}+x^3=1-\frac{2}{2^x+1}+x^3)，(y=2^x+1)在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，故(y=-\fr