2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力試題一、函數(shù)模型應(yīng)用題（40分）（一）基礎(chǔ)模型構(gòu)建（15分）某城市為優(yōu)化共享單車投放方案，收集了2025年1月至3月的騎行數(shù)據(jù)。已知該時段內(nèi)每日騎行人數(shù)(y)（千人）與氣溫(x)（℃）的關(guān)系近似滿足二次函數(shù)模型(y=ax^2+bx+c)。下表為部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：氣溫(x)（℃）-5010騎行人數(shù)(y)（千人）3.525求該二次函數(shù)的解析式；若4月某日氣溫為15℃，預(yù)測當(dāng)日騎行人數(shù)；結(jié)合函數(shù)圖像，分析氣溫在什么范圍內(nèi)騎行人數(shù)隨溫度升高而增加？（二）模型優(yōu)化與拓展（25分）共享單車公司發(fā)現(xiàn)，實際騎行人數(shù)還受節(jié)假日因素影響。定義“節(jié)假日系數(shù)”(k)：非節(jié)假日(k=1)，節(jié)假日(k=1.5)。調(diào)整后模型為(y=k(ax^2+bx+c)+d)，其中(d)為隨機干擾項（單位：千人），且(d\simN(0,0.2^2))（正態(tài)分布）。若4月5日（清明節(jié)，節(jié)假日）氣溫為15℃，求騎行人數(shù)(y)的期望與方差；公司計劃在騎行人數(shù)超過8千人時增派運維人員，若4月10日（非節(jié)假日）預(yù)報氣溫為20℃，判斷是否需要增派人員？（參考數(shù)據(jù)：若(Z\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(Z\leq\mu+2\sigma)\approx0.977)）從模型適用性角度，指出該二次函數(shù)模型可能存在的兩個缺陷，并提出改進建議。二、幾何模型應(yīng)用題（35分）（一）空間幾何體構(gòu)建（15分）某博物館計劃設(shè)計一個正四棱錐展臺，要求：底面為正方形，側(cè)棱長為(2\sqrt{5})米；頂點到底面的距離（高）為4米。求底面正方形的邊長；計算該棱錐的表面積（不含底面）；若在展臺內(nèi)部放置一個球體文物，求球體的最大半徑。（二）動態(tài)幾何模型（20分）如圖1，在矩形(ABCD)中，(AB=6)cm，(AD=8)cm，點(P)從點(A)出發(fā)，沿(A→B→C→D)方向勻速運動，速度為2cm/s，同時點(Q)從點(C)出發(fā)，沿(C→D→A)方向勻速運動，速度為1cm/s。設(shè)運動時間為(t)秒（(0\leqt\leq10)）。用(t)表示線段(PQ)的長度；當(dāng)(t)為何值時，(\triangleAPQ)的面積為12cm2？在運動過程中，是否存在某一時刻(t)，使得(PQ\perpAC)？若存在，求出(t)的值；若不存在，說明理由。三、概率統(tǒng)計模型應(yīng)用題（45分）（一）數(shù)據(jù)處理與模型選擇（20分）某高中為研究學(xué)生每周運動時間與數(shù)學(xué)成績的關(guān)系，隨機抽取100名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：每周運動時間（小時）[0,3)[3,6)[6,9)[9,12]數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀人數(shù)5152010總?cè)藬?shù)10304020完成2×2列聯(lián)表（以“運動時間≥6小時”和“成績是否優(yōu)秀”為分類變量），并判斷是否有95%的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與每周運動時間≥6小時有關(guān)”？（參考公式：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，臨界值(\chi^2_{0.05}=3.841)）若用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機抽取3人，記其中“每周運動時間≥6小時且成績優(yōu)秀”的人數(shù)為(X)，求(X)的分布列與數(shù)學(xué)期望。（二）綜合建模與決策（25分）某電商平臺“618”促銷期間，用戶可通過兩種方式獲得優(yōu)惠券：方式A：直接領(lǐng)取固定金額50元券；方式B：參與抽獎，有(\frac{1}{3})概率獲得100元券，(\frac{2}{3})概率獲得20元券。若用戶只能選擇一種方式，從期望收益角度應(yīng)選擇哪種？平臺為提高用戶活躍度，設(shè)置“邀請好友助力”機制：每邀請1位好友助力，方式B的100元券概率增加0.1（最多邀請3位，概率不超過1）。設(shè)邀請好友數(shù)為(n)（(n=0,1,2,3)），寫出方式B的期望收益(E(n))關(guān)于(n)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)(n)為何值時，方式B的期望收益超過方式A？某用戶計劃購買一款原價2000元的商品，若使用優(yōu)惠券后的實付金額為(Y)元，比較以下兩種策略的實付金額期望：策略1：直接使用方式A；策略2：邀請2位好友助力后使用方式B。四、開放探究題（30分）（一）模型設(shè)計（15分）某社區(qū)擬在半徑為50米的圓形廣場內(nèi)修建一個矩形健身區(qū)域，要求矩形的兩個頂點在廣場邊界上，另外兩個頂點在一條直徑上（如圖2）。設(shè)矩形的一邊長為(x)米，面積為(S)平方米。建立(S)關(guān)于(x)的函數(shù)模型，并求出定義域；如何設(shè)計矩形的尺寸，使得健身區(qū)域面積最大？（二）模型評價與創(chuàng)新（15分）若廣場改為橢圓形狀（長軸長120米，短軸長80米），原矩形設(shè)計方案是否仍適用？說明理由；結(jié)合2025年課標(biāo)要求，闡述在數(shù)學(xué)建模過程中“問題轉(zhuǎn)化”與“模型檢驗”兩個環(huán)節(jié)的重要性，并舉例說明。（注：全卷共四大題，滿分150分，考試時間120分鐘）試題設(shè)計說明：內(nèi)容覆蓋：嚴(yán)格依據(jù)2025年課標(biāo)要求，涵蓋函數(shù)（二次函數(shù)、正態(tài)分布）、幾何（正四棱錐、動態(tài)幾何）、概率統(tǒng)計（獨立性檢驗、分布列）三大核心模塊，突出數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。能力層級：基礎(chǔ)題（如函數(shù)解析式求解、幾何體表面積計算）占40%，綜合應(yīng)用題（如含干擾項的模型優(yōu)化、概率決策問題）占40%，開放探究題（如模型缺陷分析、橢圓場景拓展）占20%，符合“基礎(chǔ)性—綜合性—創(chuàng)新性”的梯度設(shè)計。情境真實性：選取共享單車、電商促銷、社區(qū)規(guī)劃