2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)運(yùn)動與變化觀點(diǎn)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)動關(guān)系若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$在區(qū)間$(-\infty,1)$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是（）A.$a>0$，$b=-2a$B.$a<0$，$b=-2a$C.$a>0$，$b=2a$D.$a<0$，$b=2a$解析：函數(shù)的單調(diào)性變化由導(dǎo)數(shù)的符號決定。對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=2ax+b$，由題意知$x=1$是函數(shù)的極值點(diǎn)，故$f'(1)=0$，即$2a+b=0\Rightarrowb=-2a$。又因函數(shù)在$x=1$左側(cè)遞減、右側(cè)遞增，可知二次函數(shù)開口向上，即$a>0$。該題體現(xiàn)了"導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性變化的臨界點(diǎn)"這一運(yùn)動觀點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)工具刻畫函數(shù)值隨自變量變化的趨勢。2.瞬時(shí)變化率的實(shí)際應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=3x^2-4x+5$，則在$x=1$處的瞬時(shí)變化率為（）A.2B.4C.6D.8解析：瞬時(shí)變化率即函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。計(jì)算$f'(x)=6x-4$，代入$x=1$得$f'(1)=6\times1-4=2$。該題將抽象的導(dǎo)數(shù)概念與"變化率"這一運(yùn)動描述相聯(lián)系，反映了函數(shù)值在某一時(shí)刻的變化快慢。在物理情境中，若$f(x)$表示位移函數(shù)，則該瞬時(shí)變化率即為瞬時(shí)速度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對運(yùn)動過程的精確量化。3.函數(shù)圖像交點(diǎn)與方程解的運(yùn)動關(guān)聯(lián)函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$與$x$軸交點(diǎn)間的距離為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{3}{2}$C.1D.2解析：函數(shù)與$x$軸的交點(diǎn)即方程$2x^2-3x+1=0$的解。求解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$，兩點(diǎn)距離為$|x_2-x_1|=\frac{1}{2}$。該題展示了"方程的解是函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)"的幾何意義，通過函數(shù)圖像的運(yùn)動（上下平移）可直觀觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化，體現(xiàn)了靜態(tài)方程與動態(tài)函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。4.極值點(diǎn)處的函數(shù)變化特征已知函數(shù)$f(x)=3x^2-2x+1$，則其極小值點(diǎn)為（）A.$x=0$B.$x=\frac{1}{3}$C.$x=1$D.不存在解析：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值。$f'(x)=6x-2$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{1}{3}$。當(dāng)$x<\frac{1}{3}$時(shí)$f'(x)<0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x>\frac{1}{3}$時(shí)$f'(x)>0$，函數(shù)遞增，故$x=\frac{1}{3}$為極小值點(diǎn)。該題體現(xiàn)了函數(shù)在極值點(diǎn)附近的"增減趨勢反轉(zhuǎn)"這一運(yùn)動特征，導(dǎo)數(shù)的符號變化是判斷函數(shù)運(yùn)動方向的關(guān)鍵。5.函數(shù)定義域與自變量的運(yùn)動范圍函數(shù)$f(x)=\sqrt{2x+3}$的定義域是（）A.$(-\infty,-\frac{3}{2}]$B.$(-\infty,\frac{3}{2}]$C.$[-\frac{3}{2},+\infty)$D.$[\frac{3}{2},+\infty)$解析：二次根式有意義需滿足被開方數(shù)非負(fù)，即$2x+3\geq0\Rightarrowx\geq-\frac{3}{2}$。定義域是自變量$x$的取值范圍，決定了函數(shù)運(yùn)動的"起始區(qū)間"。在實(shí)際問題中，定義域往往由物理意義或幾何條件限制，如時(shí)間不能為負(fù)、長度必須為正等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型對現(xiàn)實(shí)運(yùn)動過程的合理抽象。6.分段函數(shù)的動態(tài)拼接設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\leq0\x^2,&x>0\end{cases}$，則$f(f(-1))$的值為（）A.-1B.0C.1D.4解析：先計(jì)算內(nèi)層$f(-1)=2\times(-1)+1=-1$，再計(jì)算外層$f(-1)=-1$。分段函數(shù)是不同區(qū)間上函數(shù)表達(dá)式的"動態(tài)拼接"，其圖像由若干段不同的曲線組成，在分段點(diǎn)處可能存在函數(shù)值的跳躍或連續(xù)性變化。這類函數(shù)常用于描述具有不同運(yùn)動規(guī)律的復(fù)雜過程，如物體在不同階段的運(yùn)動軌跡。7.函數(shù)奇偶性與圖像對稱性的運(yùn)動規(guī)律下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=-x^3$C.$f(x)=x|x|$D.$f(x)=\frac{1}{x}$解析：奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；增函數(shù)滿足自變量增大時(shí)函數(shù)值隨之增大。對選項(xiàng)C，當(dāng)$x\geq0$時(shí)$f(x)=x^2$遞增，當(dāng)$x<0$時(shí)$f(x)=-x^2$遞增，且$f(-x)=-x|x|=-f(x)$，故既是奇函數(shù)又是增函數(shù)。該題體現(xiàn)了"奇偶性是函數(shù)圖像的對稱運(yùn)動特征"，奇函數(shù)圖像繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖像重合，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。8.函數(shù)零點(diǎn)的動態(tài)逼近若函數(shù)$f(x)=e^x+3x$，則其零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A.$(-1,-\frac{1}{2})$B.$(-\frac{1}{2},0)$C.$(0,\frac{1}{2})$D.$(\frac{1}{2},1)$解析：函數(shù)零點(diǎn)即$f(x)=0$的解。因$f(-\frac{1}{2})=e^{-\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\approx0.606-1.5<0$，$f(0)=1+0=1>0$，由零點(diǎn)存在定理知零點(diǎn)在$(-\frac{1}{2},0)$內(nèi)。該題展示了通過函數(shù)值符號變化"鎖定"零點(diǎn)位置的逼近思想，體現(xiàn)了"連續(xù)函數(shù)由負(fù)變正時(shí)必經(jīng)過零點(diǎn)"的動態(tài)過程，這種二分法逼近思想是求方程近似解的重要方法。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.函數(shù)圖像的定點(diǎn)運(yùn)動特征函數(shù)$f(x)=a^{x-3}+2(a>0,a\neq1)$的圖像恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為______。解析：指數(shù)函數(shù)$a^x$恒過$(0,1)$，令$x-3=0$得$x=3$，此時(shí)$f(3)=1+2=3$，故定點(diǎn)為$(3,2)$。該題體現(xiàn)了函數(shù)圖像的"平移運(yùn)動"規(guī)律，$y=a^x$向右平移3個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位得到$f(x)$，定點(diǎn)也隨之做相同的平移運(yùn)動，反映了函數(shù)圖像變換中的不變性。10.平均變化率的定量計(jì)算函數(shù)$f(x)=2x^2-1$在區(qū)間$[1,2]$上的平均變化率為______。解析：平均變化率公式為$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$。計(jì)算得$f(2)=8-1=7$，$f(1)=2-1=1$，故平均變化率為$7-1=6$。平均變化率描述了函數(shù)在某一區(qū)間上的整體變化趨勢，與瞬時(shí)變化率的關(guān)系體現(xiàn)了"近似與精確"的辯證關(guān)系——當(dāng)區(qū)間長度無限縮小時(shí)，平均變化率逼近瞬時(shí)變化率，這是微積分的核心思想之一。11.線性規(guī)劃中的最優(yōu)解運(yùn)動變量$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases}$，則目標(biāo)函數(shù)$z=2x+y$的最小值為______。解析：作出可行域（以$(0,2),(2,0),(4,2)$為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域），目標(biāo)函數(shù)$z=2x+y$可化為$y=-2x+z$，其圖像是斜率為-2的直線。當(dāng)直線向下平移時(shí)$z$值減小，在可行域頂點(diǎn)$(0,2)$處取得最小值$z=0+2=2$。該題體現(xiàn)了"目標(biāo)函數(shù)在可行域邊界上的運(yùn)動"，最優(yōu)解通常在頂點(diǎn)處取得，反映了線性約束下目標(biāo)值的變化規(guī)律。12.函數(shù)圖像變換的運(yùn)動規(guī)律將函數(shù)$y=2x^2$的圖像向右平移2個(gè)單位、向下平移1個(gè)單位后，所得函數(shù)解析式為______。解析：函數(shù)圖像平移遵循"左加右減，上加下減"原則。向右平移2個(gè)單位得$y=2(x-2)^2$，再向下平移1個(gè)單位得$y=2(x-2)^2-1$。該題展示了函數(shù)圖像的剛性運(yùn)動（平移變換），其本質(zhì)是自變量和函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系發(fā)生系統(tǒng)性偏移，體現(xiàn)了"運(yùn)動中的不變性"——圖像形狀不變，僅位置發(fā)生改變。三、解答題（本大題共4小題，共70分）13.二次函數(shù)的動態(tài)最值問題（16分）已知拋物線$y=2x^2-4x-1$，解答下列問題：（1）求函數(shù)在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值與最小值；（2）若將拋物線沿$x$軸方向平移$m$個(gè)單位后，圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求$m$的值。解析：（1）函數(shù)對稱軸為$x=-\frac{2a}=1$，開口向上。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)及頂點(diǎn)函數(shù)值：$f(-1)=2+4-1=5$，$f(1)=2-4-1=-3$，$f(3)=18-12-1=5$，故最大值為5，最小值為-3。（2）平移后函數(shù)解析式為$y=2(x-m)^2-4(x-m)-1$，因過原點(diǎn)$(0,0)$，代入得$2m^2+4m-1=0$，解得$m=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}=-1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$。該題通過二次函數(shù)的對稱軸、開口方向等要素，分析函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)的變化趨勢，體現(xiàn)了"對稱軸是函數(shù)值變化的分水嶺"這一運(yùn)動特征；圖像平移則展示了函數(shù)圖像的整體運(yùn)動對解析式的影響，反映了形與數(shù)的辯證統(tǒng)一。14.導(dǎo)數(shù)在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用（18分）一物體做直線運(yùn)動，其位移$s$（米）與時(shí)間$t$（秒）的關(guān)系為$s(t)=t^3-3t^2+2t$。（1）求$t=2$秒時(shí)的瞬時(shí)速度；（2）求物體在$[0,2]$內(nèi)的平均速度；（3）求物體速度為零的時(shí)刻。解析：（1）速度$v(t)=s'(t)=3t^2-6t+2$，$t=2$時(shí)$v(2)=12-12+2=2$米/秒。（2）平均速度$\bar{v}=\frac{s(2)-s(0)}{2-0}=\frac{(8-12+4)-0}{2}=0$米/秒。（3）令$v(t)=0$，即$3t^2-6t+2=0$，解得$t=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$秒。該題建立了位移函數(shù)與速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，瞬時(shí)速度是位移對時(shí)間的瞬時(shí)變化率，平均速度是位移對時(shí)間的平均變化率，體現(xiàn)了"導(dǎo)數(shù)是刻畫運(yùn)動快慢的數(shù)學(xué)工具"。速度為零的時(shí)刻是物體運(yùn)動方向改變的臨界點(diǎn)，反映了運(yùn)動過程中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。15.分段函數(shù)與實(shí)際運(yùn)動過程（18分）某快遞公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：重量不超過1千克的包裹收費(fèi)10元；超過1千克的部分，每千克加收5元（不足1千克按1千克計(jì)算）。設(shè)包裹重量為$x$千克（$x>0$），費(fèi)用為$y$元。（1）寫出$y$關(guān)于$x$的函數(shù)解析式；（2）畫出該函數(shù)的圖像；（3）若某包裹費(fèi)用為25元，求其重量的取值范圍。解析：（1）當(dāng)$0<x\leq1$時(shí)，$y=10$；當(dāng)$x>1$且$x\in\mathbb{N}^$時(shí)，$y=10+5(x-1)=5x+5$；當(dāng)$n<x<n+1$（$n\in\mathbb{N}^$）時(shí)，$y=5(n+1)+5=5n+10$。綜上可寫為：$y=\begin{cases}10,&0<x\leq1\15,&1<x\leq2\20,&2<x\leq3\\vdots&\vdots\end{cases}$（2）圖像由水平線段組成，在$x=1,2,3,\cdots$處發(fā)生跳躍。（3）費(fèi)用25元時(shí)，由$5x+5=25\Rightarrowx=4$，故重量范圍是$3<x\leq4$千克。該題用分段函數(shù)刻畫了實(shí)際收費(fèi)的"階梯式變化"，每一段對應(yīng)一個(gè)重量區(qū)間的固定費(fèi)用，體現(xiàn)了"分段函數(shù)是描述不同階段運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)模型"。函數(shù)圖像的跳躍性反映了實(shí)際問題中的"臨界值效應(yīng)"，即重量跨越整數(shù)千克時(shí)費(fèi)用的突變。16.函數(shù)零點(diǎn)與方程解的動態(tài)探究（18分）已知函數(shù)$f(x)=|2^x-1|+k$，探究以下問題：（1）當(dāng)$k=0$時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）討論函數(shù)$f(x)$零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與$k$的關(guān)系；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求$k$的取值范圍。解析：（1）$k=0$時(shí)，$|2^x-1|=0\Rightarrow2^x=1\Rightarrowx=0$，故零點(diǎn)為$x=0$。（2）令$f(x)=0$得$|2^x-1|=-k$。因$|2^x-1|\geq0$，故：當(dāng)$-k<0$即$k>0$時(shí)，方程無解，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)$-k=0$即$k=0$時(shí)，方程有一解$x=0$，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)$0<-k<1$即$-1<k<0$時(shí)，方程有兩解$2^x=1\pm(-k)$，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)$-k=1$即$k=-1$時(shí)，方程有一解$2^x=2\Rightarrowx=1$，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)$-k>1$即$k<-1$時(shí)，方程無解，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0。（3）由（2）知，當(dāng)$-1<k<0$時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。該題通過參數(shù)$k$的變化，動態(tài)探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，體現(xiàn)了"參數(shù)變化導(dǎo)致函數(shù)圖像上下平移，進(jìn)而改變與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)"的運(yùn)動觀點(diǎn)。零點(diǎn)個(gè)數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)的臨界值，反映了函數(shù)與方程之間的動態(tài)聯(lián)系。四、附加題（本大題共2小題，共20分）17.函數(shù)圖像的對稱運(yùn)動（10分）證明：函數(shù)$f(x)=x^3+2x$的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，并判斷其單調(diào)性。解析：任取$x\in\mathbb{R}$，$f(-x)=(-x)^3+2(-x)=-x^3-2x=-f(x)$，故為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2+2>0$恒成立，故函數(shù)在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增。奇函數(shù)圖像的中心對稱體現(xiàn)了"繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖像重合"的運(yùn)動特征，而導(dǎo)數(shù)恒正反映了函數(shù)值隨自變量單調(diào)遞增的變化趨勢。18.運(yùn)動軌跡的函數(shù)模型（10分）一個(gè)小