專題02代數(shù)式及因式分解（10大考點）考點概覽考點1列代數(shù)式考點2代數(shù)式的求值考點3整式的加減與乘除考點4冪的運算考點5整式的混合運算考點6整式的化簡求值考點7因式分解考點8代數(shù)式的變化規(guī)律考點9新定義探究問題考點10圖形的變化規(guī)律考點1列代數(shù)式1．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）用代數(shù)式表示與差的平方，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；“a與b差的平方”指先求a減b的差，再將這個差整體平方，即．【詳解】解：A.：這是平方差公式的結(jié)果，表示的平方減去的平方，而非差的平方，錯誤，不符合題意；B.：表示先求差再平方，正確，符合題意；C.：僅對平方后減去，未對差整體平方，錯誤，不符合題意；D.：表示減去的平方，運算順序錯誤，錯誤，不符合題意；故選：B．2．（2025·四川廣安·中考真題）一種商品每件標價為a元，按標價的8折出售，則每件商品的售價是元．【答案】【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，按標價的8折出售，即按原價的倍出售，據(jù)此求解即可．【詳解】解；一種商品每件標價為a元，按標價的8折出售，則每件商品的售價是元，故答案為；．3．（2025·山西·中考真題）近年來，我省依托鄉(xiāng)村e鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入．某農(nóng)戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農(nóng)戶通過網(wǎng)上售出a個布老虎，則他的利潤增加了元（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意是關(guān)鍵；求出售出一個布老虎增加的利潤，即可求出售出a個布老虎增加的利潤．【詳解】解：售出一個布老虎增加的利潤為（元），則售出a個布老虎增加的利潤為．故答案為：．考點2代數(shù)式的求值4．（2025·四川自貢·中考真題）若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了求代數(shù)式的值、整式的混合運算，由題意可得，整體代入計算即可得解，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：．5．（2025·吉林長春·中考真題）已知，則代數(shù)式的值為．【答案】3【分析】本題主要考查了求代數(shù)式的值，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．將化為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3．6．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）若，則．【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式求值，掌握整體的思想是解題的關(guān)鍵．先將變形為，然后將變形為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．7．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）已知實數(shù)a，b滿足，則．【答案】【分析】本題考查了平方差公式因式分解，根據(jù)平方差公式因式分解，將已知等式代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：．考點3整式的加減與乘除8．（2025·寧夏·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了合并同類項的法則，同底數(shù)冪相乘，積的乘方，完全平方公式，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪相乘，積的乘方，完全平方公式計算即可．【詳解】解：A.，故此選項錯誤；B.，故此選項錯誤；C.，故此選項錯誤；D.，故此選項正確；故選：D．9．（2025·江蘇宿遷·中考真題）下列計算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了合并同類項，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，根據(jù)合并同類項，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘除法逐一排除即可，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、與不是同類項，不可以合并，不符合題意；、，不符合題意；、，符合題意；、，不符合題意；故選：．10．（2025·四川廣元·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了整式的混合運算，包括同底數(shù)冪的除法、合并同類項、積的乘方以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各類運算的法則，明確同類項的定義及不同公式的區(qū)別，避免運算錯誤．根據(jù)相關(guān)運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A.，故運算正確．B.與，不是同類項，不能合并，不符合題意；C.，運算錯誤，不符合題意；D.，運算錯誤，不符合題意．故選：A．11．（2025·山東青島·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方．根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方運算法則逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A、與不能合并，故該選項不符合題意；B、，故該選項不符合題意；C、，故該選項不符合題意；D、，故該選項符合題意；故選：D．12．（2025·四川資陽·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查合并同類項、冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的運算法則．根據(jù)合并同類項、冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的運算法則逐一進行判斷即可．【詳解】A．合并同類項時，系數(shù)相加，字母部分不變，正確結(jié)果為，故A錯誤．B．合并同類項時，系數(shù)相減，結(jié)果為，故B錯誤．C．冪的乘方運算法則為底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即，故C正確．D．同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，應(yīng)為，故D錯誤．故選C．13．（2025·吉林長春·中考真題）下列計算一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了積的乘方計算，同底數(shù)冪乘法計算，合并同類項，根據(jù)相關(guān)計算法則求出對應(yīng)選項中式子的結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：A、，原式計算正確，符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算錯誤，不符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選：A．考點4冪的運算14．（2025·江蘇常州·中考真題）計算：．【答案】【分析】本題考查積的乘方，根據(jù)積的乘方的法則，進行計算即可．【詳解】解：；故答案為：．15．（2025·四川樂山·中考真題）已知：，則，．【答案】12【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪乘法的逆運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)冪的乘方求出，再由進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．16．（2025·四川廣安·中考真題）下列各式運算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方及合并同類項，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．逐一計算各選項的結(jié)果，即可得到答案．【詳解】A.，故選項正確，符合題意；

B.，故選項錯誤，不符合題意；C.，故選項錯誤，不符合題意；D.，故選項錯誤，不符合題意；故選：A17．（2025·江蘇蘇州·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪的運算性質(zhì)，計算判斷即可．本題考查冪的運算性質(zhì)，包括同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方以及積的乘方。需逐一驗證各選項是否符合相關(guān)運算法則．【詳解】A.，但選項A結(jié)果為，錯誤．B.，但選項B結(jié)果為，錯誤．C.，符合積的乘方法則，正確．D.，但選項D結(jié)果為，錯誤．故選：C．考點5整式的混合運算18．（2025·新疆·中考真題）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，平方差公式和單項式乘以多項式的計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計算算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，再計算乘方和絕對值，最后計算加減法即可得到答案；（2）先根據(jù)平方差公式和單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．（2025·廣西·中考真題）（）計算：

（）化簡：【答案】（）；（）【分析】（）先算乘法，再進行加法運算即可；（）先算乘法，再合并同類項即可；本題考查了有理數(shù)的混合運算，整式的混合運算，掌握有理數(shù)和整式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）原式；（）原式．考點6整式的化簡求值20．（2025·浙江·中考真題）化簡求值：，其中．【答案】，13【分析】本題考查了整式的混合運算，化簡求值，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．先計算單項式乘以多項式，再進行合并同類項，然后再代入求值即可．【詳解】解：，當時，原式．21．（2025·江蘇常州·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，7【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，完全平方公式以及化簡求值，二次根式的性質(zhì)，正確計算是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)單項式乘以多項式，完全平方公式將括號去掉，然后進行合并同類項，最后將x的值代入化簡后的式子進行計算得出答案．【詳解】解：，當時，原式．22．（2025·山東濰坊·中考真題）（1）先化簡，再求值：，其中，滿足．（2）解方程組：．【答案】（），；（）．【分析】本題考查了整式的化簡求值，解二元一次方程組，掌握運算法則和方程組解法是解題的關(guān)鍵．（）先由單項式乘以多項式，完全平方公式進行化簡，然后合并同類項化成最簡，再把代入求解即可；（）利用代入消元解方程組即可．【詳解】解：（），因為，所以．（）解：，由得，將代入，得，解得，將代入，得，∴該方程組的解為．考點7因式分解23．（2025·廣西·中考真題）因式分解：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了因式分解．利用平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：．故選：A24．（2025·江蘇南通·中考真題）分解因式．【答案】【分析】可利用提取公因式的方法對式子進行因式分解．本題主要考查了提取公因式法分解因式，熟練掌握如何準確找出多項式各項的公因式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：故答案為：．25．（2025·江蘇宿遷·中考真題）分解因式：【答案】【分析】本題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：26．（2025·北京·中考真題）分解因式：．【答案】【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．27．（2025·甘肅蘭州·中考真題）因式分解：．【答案】【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可．【詳解】解：．故答案為：．28．（2025·黑龍江綏化·中考真題）分解因式：．【答案】【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．先提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．29．（2025·山西·中考真題）因式分解：．【答案】【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點是解題的關(guān)鍵；由平方差公式分解即可．【詳解】解：；故答案為：．30．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）（1）計算：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計算特殊角三角函數(shù)值，再計算二次根式乘法、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值，再計算加減法即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題主要考查了分解因式，二次根式的混合計算，負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)，求特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握因式分解的方法，負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、絕對值以及特殊角的三角函數(shù)值等考點的運算是解本題的關(guān)鍵．考點8代數(shù)式的變化規(guī)律31．（2025·寧夏·中考真題）定義：若一個三位數(shù)的十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差恰好等于百位數(shù)字，則這個三位數(shù)叫做“極差數(shù)”．例如，三位數(shù)，因為，所以它是“極差數(shù)”．【理解定義】三位數(shù)是否為“極差數(shù)”？___________．【建模推理】（1）設(shè)一個“極差數(shù)”的百位、十位、個位數(shù)字分別為，則與的關(guān)系式為___________；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除嗎？為什么？【答案】理解定義：不是；建模推理：（1）；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除．理由見解析．【分析】本題考查數(shù)字類問題．旨在考查學生的信息處理能力．理解定義：根據(jù)定義進行驗證即可；建模推理：（1）根據(jù)“極差數(shù)”的定義即可求出答案；（2）設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，根據(jù)定義和（1）的結(jié)論即可求證．【詳解】理解定義：∵十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差為，百位數(shù)字為，∴十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差不等于百位數(shù)字，∴三位數(shù)不是“極差數(shù)”故答案為：不是建模推理：（1）設(shè)一個“極差數(shù)”的百位、十位、個位數(shù)字分別為，根據(jù)題意可得，，故答案為：；（2）任意一個“極差數(shù)”都能被11整除．證明：設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，∵，∴，∴能被11整除，∴任意一個“極差數(shù)”都能被11整除．32．（2025·重慶·中考真題）已知整式，其中為自然數(shù)，，，，…，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；②當時，滿足條件的所有整式M的和為；③滿足條件的所有二次三項式中，當x取任意實數(shù)時，其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題綜合考查了整式與配方法，根據(jù)題意逐項分析，對進行分類討論，即可求解，理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當時，，當，時，整式M為，當時，整式M不可能為單項式，當時，，，…，為正整數(shù)，整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；當時，，當時，，則中有一個可能為，故會有三種情況，對應(yīng)的整式M為，，，當時，，則故會有一種情況，對應(yīng)的整式M為，當時，，與，，…，為正整數(shù)矛盾，故不存在，滿足條件的所有整式M的和為，故②錯誤；多項式為二次三項式，，，因為多項式為三項式，故，當時，，則有兩種，，，兩種都滿足條件，當時，，則有一種，，滿足條件，當時，，與，，…，為正整數(shù)矛盾，故不存在，所以其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個，故③正確，其中正確的個數(shù)是個，故選：C．33．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）對于正整數(shù)x，規(guī)定函數(shù)．在平面直角坐標系中，將點中的，分別按照上述規(guī)定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中，均為正整數(shù)）．例如，點經(jīng)過第次運算得到點．經(jīng)過第次運算得到點，經(jīng)過第次運算得到點，經(jīng)過有限次運算后，必進入循環(huán)圈，按上述規(guī)定，將點經(jīng)過第次運算后得到點是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，點的坐標規(guī)律，求函數(shù)值，通過計算點每次運算后的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其變化呈現(xiàn)周期性循環(huán)，周期為3次．利用周期性規(guī)律，確定第2025次運算后的結(jié)果．【詳解】解：初始點：（第0次運算）．第1次：橫坐標為偶數(shù)，；縱坐標為奇數(shù)，；得到點．第2次：橫坐標為奇數(shù)，；縱坐標為偶數(shù)，；得到點．第3次：橫坐標為偶數(shù)，；縱坐標為偶數(shù)，；得到點，與初始點相同，即三次一循環(huán)，，∴第次運算后對應(yīng)點與第3次運算后的點相同，即．故選：A．34．（2025·江蘇揚州·中考真題）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為．【答案】【分析】本題考查勾股定理，數(shù)字類規(guī)律探究，觀察可知，每組勾股數(shù)的第一個數(shù)字為奇數(shù)，后面兩個數(shù)字為兩個連續(xù)的整數(shù)，得到第⑤組勾股數(shù)的第1個數(shù)為11，設(shè)第2個數(shù)為，則第3個數(shù)為，根據(jù)勾股定理列出方程進行求解．【詳解】解：由題意，第⑤組勾股數(shù)的第1個數(shù)為11，設(shè)第2個數(shù)為，則第3個數(shù)為，由勾股定理，得：，解得：，∴；∴第⑤組勾股數(shù)為；故答案為：．考點9新定義探究問題35．（2025·新疆·中考真題）對多項式A，B，定義新運算“”：；對正整數(shù)k和多項式A，定義新運算“”：（按從左到右的順序依次做“”運算）．已知正整數(shù)m，n為常數(shù)，記，，若不含項，則．【答案】15【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，整式加減中不含某一項問題，先根據(jù)，令，求出相應(yīng)的結(jié)果，進而推導(dǎo)出當時的結(jié)果，利用新定義，求出，再根據(jù)新定義求出，根據(jù)不含項，得到項的系數(shù)為0，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴當時，；當時，，當時，，當時，，∴當時，，當時，，∴，，∴，∵不含項，∴，∴，設(shè)，則：，∴，∵均為的整數(shù)冪，為偶數(shù)，∴，∴，∴，∴；故答案為：15．36．（2025·四川成都·中考真題）分子為1的真分數(shù)叫做“單位分數(shù)”，也叫“埃及分數(shù)”．古埃及人在分數(shù)計算時總是將一個分數(shù)拆分成幾個單位分數(shù)之和，如：．將拆分成兩個單位分數(shù)相加的形式為；一般地，對于任意奇數(shù)k（），將拆分成兩個不同單位分數(shù)相加的形式為．【答案】【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題中定義，找到等式左右兩邊代數(shù)式的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)題中定義，結(jié)合題干例子可求解第一空；分別求得、5、7…對應(yīng)等式，由此得到等式左右兩邊代數(shù)式的變化規(guī)律，進而可得答案．【詳解】解：；由題意，當時，，當時，，當時，，……，當時，，又，∴對于任意奇數(shù)k（），，故答案為：；．考點10圖形的變化規(guī)律37．（2025·四川樂山·中考真題）醇是一類由碳、氫、氧元素組成的有機化合物，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氫原子．第1種如圖1有4個氫原子，第2種如圖2有6個氫原子，第3種如圖3有8個氫原子，第4種如圖4有10個氫原子，……按照這一規(guī)律，第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)氫原子個數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是：；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是：；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是：；所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是個．當時，（個），即第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是20個．故選：B．38．（2025·重慶·中考真題）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓點，第④個圖中有16個圓點……按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數(shù)是（

）A．32 B．28 C．24 D．20【答案】C【分析】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點的個數(shù)，代入計算即可．解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點個數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，第④個圖案中有16個黑色圓點，則第個圖案中有個黑色圓點，所以第⑥個圖中圓點的個數(shù)是個，故選：C．39．（2025·黑龍江綏化·中考真題）觀察下圖，圖（1）有2個三角形，記作；圖（2）有3個三角形，記作；圖（3）有6個三角形，記作；圖（4）有11個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的共同規(guī)律以及與第一個圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．仔細觀察圖形變化，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第一個圖形中有個三角形；第二個圖形中有個三角形；第三個圖形中有個三角形；第四個圖形中有個三角形；；第n個圖形中有個三角形．故答案為：40．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）下圖是謝爾賓斯基地毯圖案的形成過程．按此規(guī)律下去，第⑥個圖形中黑色三角形的個數(shù)是．【答案】或243（兩個答案均可得分）【分析】本題考查了圖形的變化類問題，找到圖形的變化規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：∵第1個圖案中有個，第2個圖案中有個，第3個圖案中有個，第4個圖案中有個，…，按此規(guī)律，第⑥個圖案中有個涂有陰影的三角形．故答案為：或243．41．（2025·黑龍江大慶·中考真題）如圖，四邊形是正方形，．執(zhí)行下面操作：第一次操作以點A為圓心，以為半徑順時針作弧交的延長線于點E，得到扇形；第二次操作以點B為圓心，以為半徑順時針作弧交的延長線于點F，得到扇形；第三次操作以點C為圓心，以為半徑順時針作弧交的延長線于點G，得到扇形，依此類推進行操作，其中，、、，…的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)，所得曲線叫做“正方形的漸開線”，則經(jīng)過四次操作后所得到的四個扇形的面積和為．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】本題考查了扇形的面積．先求得前三個扇形的面積，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：第一個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；第二個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；第三個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；則第四個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；∴經(jīng)過四次操作后所得到的四個扇形的面積和為，故答案為：．42．（2025·安徽·中考真題）綜合與實踐【項目主題】某勞動實踐小組擬用正三角形和正六邊形兩種環(huán)保組件改善小區(qū)幼兒園室內(nèi)活動場地．【項目準備】（1）密鋪知識學習：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間既沒有空隙也沒有重疊地鋪成一片，叫做圖形的密鋪．（2）密鋪方式構(gòu)建：運用密鋪知識得到圖1、圖2所示的兩種拼接方式，其中正六邊形和正三角形組件的邊長均為．（3）密鋪規(guī)律探究：為方便研究，稱圖3、圖4分別為圖1、圖2的“拼接單元”．觀察發(fā)現(xiàn)：自左向右拼接圖1時，每增加一個圖3所示的拼接單元，則增加1個正六邊形和2個正三角形，長度增加，從而x個這樣的拼接單元拼成一行的長度為．自左向右拼接圖2時，每增加一個圖4所示的拼接單元，則增加①個正六邊形和②個正三角形，長度增加③cm，從而y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為④cm．【項目分析】（1）項目條件：場地為長、寬的矩形；正三角形和正六邊形組件的單價分別為1元和5元．（2）基本約定：項目成本僅計算所需組件的費用．（3）方式確定：（i）考慮成本因