專題06不等式組考點(diǎn)概覽考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)考點(diǎn)2解不等式組考點(diǎn)3在數(shù)軸上表示不等式的解集考點(diǎn)4不等式（組）的應(yīng)用考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)1．（2025·山東濟(jì)南·中考真題）已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，掌握三個性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．不等式的基本性質(zhì)：基本性質(zhì)1，不等式兩邊同時加上或減去同一個整式，不等號的方向不變；基本性質(zhì)2，不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；基本性質(zhì)3，不等式兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：A、，則，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，則，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，則，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、，則，即，選項(xiàng)正確，符合題意，故選：D．2．（2025·江蘇常州·中考真題）若則0．（填、或）．【答案】【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個式子，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．考點(diǎn)2解不等式組3．（2025·四川攀枝花·中考真題）不等式組的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】本題主要考查不等式組的解集，分別求出不等式①②的解集，再求出不等式組的解集即可．【詳解】解：，解①得，，解②得，，∴不等式組的解集是；故選：A．4．（2025·寧夏·中考真題）不等式組的解集是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是分別解出每個不等式的解集，再找出它們的公共部分．先解第一個不等式通過移項(xiàng)、系數(shù)化為1，求出解集；再解第二個不等式，通過去分母、移項(xiàng)，求出解集；最后根據(jù)“同小取小，同大取大，大小小大中間找”的原則確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①，移項(xiàng)得即解得．解不等式②，去分母得，移項(xiàng)得，即．則不等式組的解集為與的公共部分，即故答案為：5．（2025·黑龍江大慶·中考真題）不等式組的整數(shù)解有個．【答案】2【分析】本題考查的是解一元一次不等式組的整數(shù)解．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，找出整數(shù)解即可得答案．【詳解】解：，解不等式，得，解不等式，得，原不等式組的解集為，原不等式組的整數(shù)解為3，2共2個．故答案為：2．6．（2025·江蘇淮安·中考真題）（1）計算：；（2）解不等式組：．【答案】（1）（2）【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，求不等式組的解集，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值，解不等式的步驟，是解題的關(guān)鍵：（1）進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)值，去絕對值和零指數(shù)冪的運(yùn)算即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【詳解】解：（1）原式；（2）由①，得：；由②，得：；∴．7．（2025·江蘇鹽城·中考真題）解不等式組：．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式組．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．8．（2025·江蘇無錫·中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：．【答案】（1），；（2）【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式組的解法．（1）把方程化為，再進(jìn)一步解方程即可．（2）分別解不等式組中的兩個不等式，再確定解集的公共部分即可．【詳解】解：（1），方程移項(xiàng)得：，配方得：，即，開方得：，解得：，．（2），由①得：，由②得：，則不等式組的解集為．9．（2025·海南·中考真題）（1）計算：（2）解不等式組：【答案】（1）1；（2）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，求不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)絕對值、零次方的意義，二次根式的性質(zhì)化簡，再算加減；（2）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集．【詳解】解：（1）（2），解①得，解②得，∴．考點(diǎn)3在數(shù)軸上表示不等式的解集10．（2025·西藏·中考真題）解不等式組：并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，在數(shù)軸上表示見詳解【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，并在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次不等式．分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，所以不等式組的解為．在數(shù)軸上表示為：11．（2025·山東濟(jì)南·中考真題）解不等式組并寫出它的所有整數(shù)解．【答案】，整數(shù)解為：，0，1，2，3．【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，并求其整數(shù)解，分別求兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集，即可得到整數(shù)解．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得原不等式組的解集是整數(shù)解為，0，1，2，312．（2025·江蘇徐州·中考真題）（1）解方程；

（2）解不等式組【答案】（1），；（2）【分析】本題考查解一元二次方程，解一元一次不等式組．（1）利用配方法求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：（1），移項(xiàng)，得，配方，得，即，開平方，得，解得，即，（2）解不等式，得：，解不等式，得：，因此該不等式組的解集為：．13．（2025·甘肅甘南·中考真題）（1）計算：；（2）解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】（1）；（2），數(shù)軸見解析【分析】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，解不等式的步驟，是解題的關(guān)鍵：（1）先化簡各數(shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集，定邊界，定方向在數(shù)軸上表示出解集即可．【詳解】解：（1）；（2），由①得：；由②得：，∴原不等式組的解集為：，數(shù)軸表示為：考點(diǎn)4不等式（組）的應(yīng)用14．（2025·四川攀枝花·中考真題）在攀枝花高質(zhì)量發(fā)展建設(shè)共同富裕試驗(yàn)區(qū)的進(jìn)程中，有關(guān)部門積極助力果農(nóng)成立芒果種植專業(yè)合作社，運(yùn)用“實(shí)體店+直播”的新電商模式擴(kuò)大芒果銷售．某合作社精品芒果成本為60元/箱，每天的銷售量箱與售價元/箱滿足關(guān)系式．(1)若芒果的售價為80元/箱，求合作社每天芒果的銷售利潤；(2)若規(guī)定芒果的售價不低于86元/箱，且每天的銷售量不少于300箱，求芒果的售價應(yīng)定在什么范圍．【答案】(1)合作社每天芒果的銷售利潤為元(2)芒果的售價應(yīng)該定在86元/箱到95元/箱之間【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出不等式，是解題的關(guān)鍵：（1）求出時的函數(shù)值，根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列式計算；（2）根據(jù)每天的銷售量不少于300箱，列出不等式求出的范圍，結(jié)合芒果的售價不低于86元/箱，求出范圍即可．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時，；∴合作社每天芒果的銷售利潤為（元）；答：合作社每天芒果的銷售利潤為元；（2）由題意，得：，解得：，又∵，∴．故芒果的售價應(yīng)該定在86元/箱到95元/箱之間．15．（2025·江蘇鹽城·中考真題）某公司為節(jié)約成本，提高效率，計劃購買、兩款機(jī)器人．已知款機(jī)器人的單價比款機(jī)器人的單價多1萬元，用25萬元購買款機(jī)器人的數(shù)量與用20萬元購買款機(jī)器人的數(shù)量相同．(1)求、兩款機(jī)器人的單價分別是多少萬元？(2)如果購買、兩款機(jī)器人共12臺，且購買款機(jī)器人的數(shù)量不少于款機(jī)器人數(shù)量的一半，請設(shè)計購買成本最少的方案．【答案】(1)款機(jī)器人的單價為5萬元，款機(jī)器人的單價為4萬元(2)購買成本最少的方案是購買款機(jī)器人4臺，款機(jī)器人8臺【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式和一次函數(shù)關(guān)系式．（1）設(shè)款機(jī)器人的單價為萬元，則款機(jī)器人的單價為萬元，根據(jù)用25萬元購買款機(jī)器人的數(shù)量與用20萬元購買款機(jī)器人的數(shù)量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購買款機(jī)器人臺，則購買款機(jī)器人臺，根據(jù)購買款機(jī)器人的數(shù)量不少于款機(jī)器人數(shù)量的一半，列出一元一次不等式，解得，再設(shè)購買成本為萬元，根據(jù)題意列出關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)款機(jī)器人的單價為萬元，則款機(jī)器人的單價為萬元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：款機(jī)器人的單價為5萬元，則款機(jī)器人的單價為4萬元；（2）解：設(shè)購買款機(jī)器人臺，則購買款機(jī)器人臺，根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)購買成本為萬元，根據(jù)題意得：，，隨的增大而增大，當(dāng)時，有最小值，此時，，答：購買成本最少的方案是購買款機(jī)器人4臺，款機(jī)器人8臺．16．（2025·山東濟(jì)南·中考真題）隨著“體重管理年”三年行動的實(shí)施，全民體重管理意識和技能逐步提升．某健身中心要采購甲、乙兩種型號的健身器材以滿足群眾的健身需求．據(jù)了解，甲型健身器材的單價比乙型健身器材的單價低300元，用50000元購買甲型健身器材的數(shù)量和用56000元購買乙型健身器材的數(shù)量相同．(1)求甲、乙兩種型號健身器材的單價各是多少元．(2)該健身中心計劃購買甲、乙兩種型號的健身器材共20臺，且甲型健身器材的購買數(shù)量不超過乙型健身器材購買數(shù)量的3倍，購買甲型健身器材多少臺時采購費(fèi)用最少？最少采購費(fèi)用是多少元？【答案】(1)甲型健身器材價格為2500元，則乙型健身器材的價格為2800元(2)購買甲型健身器材15臺，購買乙型健身器材5臺時，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用51500元．【分析】（1）設(shè)甲型健身器材價格為x元，則乙型健身器材的價格為元，根據(jù)題意，得，解方程即可．（2）根據(jù)題意，甲型健身器材買了個，則購買乙型健身器材數(shù)量為個，且，根據(jù)題意，得，解答即可．本題考查了分式方程的應(yīng)用題，不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)甲型健身器材價格為x元，則乙型健身器材的價格為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．此時，答：甲型健身器材價格為2500元，則乙型健身器材的價格為2800元．（2）解：根據(jù)題意，甲型健身器材買了個，則購買乙型健身器材數(shù)量為個，且即，且a為正整數(shù)，根據(jù)題意，得，由，得隨a的增大而減小，故當(dāng)時，取得最小值，且最小值為（元），故購買甲型健身器材15臺，購買乙型健身器材5臺時，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用51500元．17．（2025·山東濰坊·中考真題）某企業(yè)為提高生產(chǎn)效率，采購了相同數(shù)量的型、型兩種智能機(jī)器人，購買型機(jī)器人的總費(fèi)用為90萬元，購買型機(jī)器人的總費(fèi)用為60萬元，型機(jī)器人單價比型機(jī)器人單價低3萬元．(1)求型、型兩種機(jī)器人的單價；(2)該企業(yè)計劃從采購的這批機(jī)器人中選擇10臺配備到某生產(chǎn)線，要求兩種型號的機(jī)器人各至少配備1臺，且購買這10臺機(jī)器人的總費(fèi)用不超過70萬元．求出所有配備方案．【答案】(1)型機(jī)器人單價為9萬元，型機(jī)器人單價為6萬元(2)方案一：型機(jī)器人1臺，型機(jī)器人9臺；方案二：型機(jī)器人2臺，型機(jī)器人8臺；方案三：型機(jī)器人3臺，型機(jī)器人7臺【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出分式方程和不等式，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)型機(jī)器人單價為萬元，則型機(jī)器人單價為萬元，根據(jù)采購了相同數(shù)量的型、型兩種智能機(jī)器人，購買型機(jī)器人的總費(fèi)用為90萬元，購買型機(jī)器人的總費(fèi)用為60萬元，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)配備型機(jī)器人臺，則配備型機(jī)器人臺，根據(jù)購買這10臺機(jī)器人的總費(fèi)用不超過70萬元，列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型機(jī)器人單價為萬元，則型機(jī)器人單價為萬元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的根，且符合題意，所以，．所以，型機(jī)器人單價為9萬元，型機(jī)器人單價為6萬元．（2）設(shè)配備型機(jī)器人臺，則配備型機(jī)器人臺，根據(jù)題意，得，解得，∵要求A、B兩種型號的機(jī)器人各至少配備1臺，且y為正整數(shù)∴的取值為1，2，3，共有3種方案：方案一：型機(jī)器人1臺，型機(jī)器人9臺；方案二：型機(jī)器人2臺，型機(jī)器人8臺；方案三：型機(jī)器人3臺，型機(jī)器人7臺．18．（2025·寧夏·中考真題）中國結(jié)起源于舊石器時代的結(jié)繩記事，唐宋時期發(fā)展為裝飾藝術(shù)，明清達(dá)到鼎盛．某種中國結(jié)有大、小兩個型號，編織一個大號需用繩4米，編織一個小號需用繩3米．(1)編織這種中國結(jié)恰用繩25米，則大、小號各編織多少個？(2)計劃用不超過1200米的繩子編織350個這種中國結(jié)，一個大號的利潤為12元，一個小號的利潤為8元．當(dāng)大號編織多少個時總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)大號中國結(jié)編了4個，則小號中國結(jié)編了3個或大號中國結(jié)編了1個，則小號中國結(jié)編了7個．(2)當(dāng)大號編織個時總利潤最大，最大利潤是元．【分析】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式和二元一次方程的應(yīng)用，正確列出方程和函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）設(shè)大號中國結(jié)編了個，小號中國結(jié)編了個，編織這種中國結(jié)恰用繩25米，據(jù)此列出二元一次方程，求出整數(shù)解即可；（2）設(shè)大號編織個，則小號編織個，根據(jù)用不超過1200米的繩子編織350個這種中國結(jié)列不等式，解得的取值范圍，設(shè)總利潤為元，得到關(guān)于的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)大號中國結(jié)編了個，小號中國結(jié)編了個，由題意列方程得：，∴，∵，均是正整數(shù)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，答：大號中國結(jié)編了4個，則小號中國結(jié)編了3個或大號中國結(jié)編了1個，則小號中國結(jié)編了7個．（2）解：設(shè)大號編織個，則小號編織個，則，解得，∵為正整數(shù)，∴，設(shè)總利潤為元，則，∵，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為，答：當(dāng)大號編織個時總利潤最大，最大利潤是元．19．（2025·四川廣元·中考真題）某校開展陽光體育大課間活動，需購買一批球類用品．在采購中發(fā)現(xiàn)，籃球的單價比足球的單價高20元，用10000元購買籃球的數(shù)量和用8000元購買足球的數(shù)量相同．(1)求籃球和足球的單價；(2)學(xué)校需購買籃球和足球共120個（兩種球都要購買），足球的數(shù)量不能多于籃球數(shù)量的，設(shè)購買籃球x個，總費(fèi)用為y元，求總費(fèi)用y（元）與x（個）的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍和總費(fèi)用最低時的購買方案．【答案】(1)籃球的單價為100元，足球的單價為80元(2)，，且x為整數(shù)，當(dāng)購買籃球72個，足球48個時，總費(fèi)用最低．【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)籃球的單價為x元，則足球的單價為元，根據(jù)用10000元購買籃球的數(shù)量和用8000元購買足球的數(shù)量相同建立方程求解即可；（2）設(shè)購買籃球x個，則購買足球個，根據(jù)總費(fèi)用等于購買籃球的費(fèi)用加上購買足球的費(fèi)用求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)足球的數(shù)量不能多于籃球數(shù)量的列出不等式求出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定y最小時x的值即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)籃球的單價為x元，則足球的單價為元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，答：籃球的單價為100元，足球的單價為80元；（2）解：由題意得，，∵足球的數(shù)量不能多于籃球數(shù)量的，∴，∴，∵兩種球都要購買，∴，且x為整數(shù)∵，，∴y隨x增大而增大，∴當(dāng)時，y有最小值，此時，答：，，且x為整數(shù)，當(dāng)購買籃球72個，足球48個時，總費(fèi)用最低．20．（2025·山東淄博·中考真題）愛好閱讀的小胡購買了一本有關(guān)數(shù)學(xué)之美的課外書．下面是他的三個同學(xué)猜測該書價格的對話：小胡在聽到他們的對話后說：“你們?nèi)齻€都猜錯了．”則這本書的價格（元）所在的范圍是．【答案】【分析】本題考查不等式組的應(yīng)用，根據(jù)對話列不等式組，求出解集即可．【詳解】解：根據(jù)