專題26相似三角形（13大考點(diǎn)，精選60題）考點(diǎn)概覽考點(diǎn)1比例的性質(zhì)考點(diǎn)2相似圖形考點(diǎn)3平行線分線段成比例考點(diǎn)4相似三角形的判定考點(diǎn)5相似三角形的性質(zhì)考點(diǎn)6相似三角形的應(yīng)用考點(diǎn)7位似與位似圖形考點(diǎn)8相似三角形的新定義問(wèn)題考點(diǎn)9相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題考點(diǎn)10相似三角形與圓綜合問(wèn)題考點(diǎn)11相似三角形與動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題考點(diǎn)12相似三角形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)考點(diǎn)13相似三角形在二次函數(shù)壓軸題中的應(yīng)用專題26圖形的相似考點(diǎn)1比例的性質(zhì)1．（2025·四川南充·中考真題）已知，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2025·四川成都·中考真題）若，則的值為．考點(diǎn)2相似圖形3．（2025·河北·中考真題）“這么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘濟(jì)橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲化石，他想了解其長(zhǎng)度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）．回家后量出照片上筆和化石的長(zhǎng)度分別為和，筆的實(shí)際長(zhǎng)度為，則該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．4．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）“兒童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”風(fēng)箏古稱紙鳶，起源于春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，風(fēng)箏制作技藝已被列入國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄為豐富校園生活，某校開展風(fēng)箏制作活動(dòng)，小言和哥哥制作了一大一小兩個(gè)形狀相同的風(fēng)箏，風(fēng)箏的形狀如圖所示，其中對(duì)角線．已知大、小風(fēng)箏的對(duì)應(yīng)邊之比為，如果小風(fēng)箏兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為和，那么大風(fēng)箏兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和為．考點(diǎn)3平行線分線段成比例5．（2025·吉林長(zhǎng)春·中考真題）將直角三角形紙片（）按如圖方式折疊兩次再展開，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．6．（2025·河南·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，的三個(gè)頂點(diǎn)均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，點(diǎn)D、E分別是邊、與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．1 C． D．7．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的圖象上，直線與軸交于點(diǎn)．連結(jié)．若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．考點(diǎn)4相似三角形的判定8．（2025·河北·中考真題）如圖，在五邊形中，，延長(zhǎng)，，分別交直線于點(diǎn)，．若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定，則這個(gè)條件是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)5相似三角形的性質(zhì)9．（2025·黑龍江綏化·中考真題）兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是和，并且它們的周長(zhǎng)之和為，那么較小三角形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．10．（2025·貴州·中考真題）如圖，已知，若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．4 D．811．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，用12個(gè)以點(diǎn)O為公共頂點(diǎn)的相似三角形組成形如海螺的圖案，若，，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為考點(diǎn)6相似三角形的應(yīng)用12．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬動(dòng)整個(gè)地球．”這句話生動(dòng)體現(xiàn)了杠桿原理：通過(guò)調(diào)整支點(diǎn)位置和力臂長(zhǎng)度，用較小的力就能撬動(dòng)重物．這一原理在生活中隨處可見．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，另一端就會(huì)撬動(dòng)石頭．如圖乙所示，動(dòng)力臂，阻力臂，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．13．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，港口位于島的北偏西方向，燈塔在島的正東方向，，一艘海輪在島的正北方向，且、、三點(diǎn)在一條直線上，．(1)求島與港口之間的距離；(2)求．（參考數(shù)據(jù)：，，）14．（2025·吉林·中考真題）綜合與實(shí)踐：確定建筑物的打印模型的高度項(xiàng)目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹人中學(xué)的打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表

時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角．3．測(cè)出測(cè)角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為________．（結(jié)果精確到）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．15．（2025·河南·中考真題）焦裕祿紀(jì)念園是全國(guó)重點(diǎn)革命烈士紀(jì)念建筑物保護(hù)單位，革命烈士紀(jì)念碑位于紀(jì)念園南部的中心．某綜合與實(shí)踐小組開展測(cè)量紀(jì)念碑高度的活動(dòng)，記錄如下．活動(dòng)主題測(cè)量紀(jì)念碑的高度實(shí)物圖和測(cè)量示意圖測(cè)量說(shuō)明如圖，紀(jì)念碑位于有臺(tái)階的平臺(tái)上，太陽(yáng)光下，其頂端的影子落在點(diǎn)處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿頂端的影子落在點(diǎn)處，位于點(diǎn)處的觀測(cè)者眼睛所在位置為點(diǎn)，點(diǎn)在一條直線上，紀(jì)念碑底部點(diǎn)在觀測(cè)者的水平視線上．測(cè)量數(shù)據(jù)備注點(diǎn)在同一水平線上．根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題．(1)由標(biāo)桿的影子的長(zhǎng)和標(biāo)桿的長(zhǎng)相等，可得，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)求紀(jì)念碑的高度．(3)小紅通過(guò)間接測(cè)量得到的長(zhǎng)，進(jìn)而求出紀(jì)念碑的高度約為．查閱資料得知，紀(jì)念碑的實(shí)際高度為．請(qǐng)判斷小紅的結(jié)果和（2）中的結(jié)果哪個(gè)誤差較大？并分析誤差較大的可能原因（寫出一條即可）．16．（2025·江蘇連云港·中考真題）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊長(zhǎng)，面積為．(1)甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計(jì)一個(gè)正方形桌面，請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)正方形面積較大；(2)丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面．請(qǐng)分別求出圖3、圖4中長(zhǎng)方形的面積與的長(zhǎng)之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出面積的最大值．考點(diǎn)7位似與位似圖形17．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，位似中心是原點(diǎn)O，已知，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．18．（2025·浙江·中考真題）如圖，五邊形是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．若的長(zhǎng)為3，則的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．519．（2025·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，在第三象限畫與位似，若與的相似比為，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．20．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在的方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，將以點(diǎn)O為位似中心放大后得到，則與的周長(zhǎng)之比是（

）A． B． C． D．21．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．以點(diǎn)為位似中心作與位似，相似比為2，且與位于點(diǎn)同側(cè)；以點(diǎn)為位似中心作與位似，相似比為2，且與位于點(diǎn)同側(cè)……按照以上規(guī)律作圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為．22．（2025·廣東·中考真題）如圖，把放大后得到，則與的相似比是．23．（2025·黑龍江綏化·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，把以原點(diǎn)為位似中心放大，得到．若點(diǎn)和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則與的相似比為．24．（2025·安徽·中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)和均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．已知點(diǎn)A和的坐標(biāo)分別為和．(1)在所給的網(wǎng)格圖中描出邊的中點(diǎn)D，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)以點(diǎn)O為位似中心，將放大得到，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格圖中畫出．考點(diǎn)8相似三角形的新定義問(wèn)題25．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，黃金矩形中，以寬為邊在其內(nèi)部作正方形，得到四邊形是黃金矩形，依此作法，四邊形，四邊形也是黃金矩形．依次以點(diǎn)E，G，L為圓心作，，，曲線叫做“黃金螺線”．若，則“黃金螺線”的長(zhǎng)為．（結(jié)果用表示）26．（2025·廣東·中考真題）定義：把某線段一分為二的點(diǎn)，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱此線段被分為中外比，這個(gè)點(diǎn)稱為中外比點(diǎn)．(1)如圖，點(diǎn)是線段的中外比點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．(2)如圖，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)求作一點(diǎn)把線段分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)如圖，動(dòng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象分別與矩形的邊，相交于點(diǎn)，，與對(duì)角線相交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，探究點(diǎn)，，是否分別為，，的中外比點(diǎn)，并證明．考點(diǎn)9相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題27．（2025·遼寧·中考真題）（1）如圖1，在與中，與相交于點(diǎn)，，求證：；（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與相交于點(diǎn)：若，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，求的面積．28．（2025·廣東深圳·中考真題）綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板拼接成一個(gè)四邊形．【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對(duì)的角等于原等腰三角形的頂角，此時(shí)該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在中，，，．此時(shí)，四邊形是“雙等四邊形”，是“伴隨三角形”．【問(wèn)題解決】如圖3，在四邊形中，，，．求：①與的位置關(guān)系為：__________：②_____．（填“>”，“”或“”）【方法應(yīng)用】①如圖4，若，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)恰好落在邊上，求證：四邊形是雙等四邊形．②如圖5，在等腰三角形中，，，，在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使四邊形是以為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．（2025·重慶·中考真題）在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接．將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，，，求的度數(shù)；(2)如圖2，，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系并證明：(3)如圖3，，，，連接，．點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)過(guò)程中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．當(dāng)取最小值時(shí)，在直線上取一點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折到所在的平面內(nèi)，得，連接，，，當(dāng)取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．30．（2025·河南·中考真題）在中，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)為銳角時(shí)，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系：__________．(2)類比探究如圖2，當(dāng)為鈍角時(shí)，請(qǐng)依據(jù)題意補(bǔ)全圖形（無(wú)需尺規(guī)作圖），并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論，并證明．(3)拓展應(yīng)用當(dāng)，且時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的值．31．（2025·湖南·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖1，在平行四邊形紙片中，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，沿直線將紙片剪開，得到和四邊形，如圖2所示．【動(dòng)手操作】現(xiàn)將三角形紙片和四邊形紙片進(jìn)行如下操作（以下操作均能實(shí)現(xiàn)）①將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，如圖3所示；②連接，過(guò)點(diǎn)作直線交射線于點(diǎn)，如圖4所示；③在邊上取一點(diǎn)，分別連接，，，如圖5所示．【問(wèn)題解決】請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)如圖3，填空：______；(2)如圖4，求證：；(3)如圖5．若，，求證：．32．（2025·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．【問(wèn)題解決】（1）如圖①，若點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，則度，線段與線段的位置關(guān)系是；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)在線段上，且，探究線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，射線交射線于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．33．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點(diǎn)．(1)當(dāng)是邊中點(diǎn)時(shí)，①如圖（1），聯(lián)結(jié)，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯(lián)結(jié)，交邊于點(diǎn)，求的值；(2)如圖（3）所示，聯(lián)結(jié)，，如果，，，．求的長(zhǎng)．34．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在內(nèi)，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，射線交邊于點(diǎn)．【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；【問(wèn)題探究】（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)；【拓展延伸】（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在邊上，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）35．（2025·安徽·中考真題）已知點(diǎn)在正方形內(nèi)，點(diǎn)E在邊上，是線段的垂直平分線，連接，．(1)如圖1，若的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)F是的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)，連接．①求證：；②如圖3，設(shè)，相交于點(diǎn)G，連接，，．若，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．36．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，矩形的面積是矩形面積的2倍，探索的度數(shù)隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個(gè)符合條件的特殊圖形（如圖2），請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中______；（2）小亮也畫出了一個(gè)符合條件的特殊圖形（如圖3），其中，，，求此圖形中的度數(shù)；【一般化探索】（3）利用圖1，探索上述問(wèn)題中的度數(shù)隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變化情況，并說(shuō)明理由．37．（2025·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思路，綜合實(shí)踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的旋轉(zhuǎn)放縮問(wèn)題展開探究．特例研究在正方形中，相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，可以看成是繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大k倍得到，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為________，k的值為________；（2）如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放大得到（點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)），使得點(diǎn)E落在上，點(diǎn)F落在上，求的值類比探究（3）如圖3，在菱形中，，O是的垂直平分線與的交點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放縮得到（點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)），使得點(diǎn)E落在上，點(diǎn)F落在上．猜想的值是否與α有關(guān)，并說(shuō)明理由；（4）若（3）中，其余條件不變，探究之間的數(shù)量關(guān)系（用含β的式子表示）．38．（2025·山西·中考真題）綜合與探究問(wèn)題情境：如圖，在紙片中，，點(diǎn)D在邊上，．沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使的對(duì)應(yīng)線段與平行，且折痕與邊交于點(diǎn)E，得到，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊的形狀，并說(shuō)明理由拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在射線上，且折痕與邊交于點(diǎn)F，然后展平．連接交邊于點(diǎn)G，連接．①若，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)39．（2025·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是一個(gè)平行四邊形紙片，是一條對(duì)角線，，．

(1)如圖1，將平行四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)．①試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)，分別在平行四邊形紙片的，邊上，連接，且，將平行四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，求的長(zhǎng)．40．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化的過(guò)程中，通過(guò)直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問(wèn)題，讓我們共同體會(huì)幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．(1)【幾何直觀】如圖1，中，，，在內(nèi)部取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；與的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)【類比推理】如圖2，在正方形內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；(3)【深度探究】如圖3，矩形中，，，在其內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，若，則__________；(4)【拓展延伸】在矩形中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，則的最小值為__________．41．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D除外），是直角三角形，，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在邊上時(shí)，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，且點(diǎn)F在正方形內(nèi)部時(shí)，的延長(zhǎng)線與B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，如果，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．42．（2025·湖北·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)．①求證：；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．43．（2025·甘肅·中考真題）四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D除外），是直角三角形，，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在邊上時(shí)，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，且點(diǎn)F在正方形內(nèi)部時(shí)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，如果，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)10相似三角形與圓綜合問(wèn)題44．（2025·北京·中考真題）如圖，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接，，，取的中點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，，求的長(zhǎng)．45．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，過(guò)點(diǎn)B的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．46．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）在中，弦，相交于點(diǎn)，，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，，，，，求的長(zhǎng)．47．（2025·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖1，點(diǎn)O是以為直徑的半圓的圓心，與均為該半圓的切線，C，D均為直徑上方的動(dòng)點(diǎn)，連接，且始終滿足．(1)求證：與該半圓相切；(2)當(dāng)半徑時(shí)，令，，，，比較m與n的大小，并說(shuō)明理由；(3)在（1）的條件下，如圖2，當(dāng)半徑時(shí)，若點(diǎn)E為與該半圓的切點(diǎn)，與交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，令，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．（不考慮自變量x的取值范圍）48．（2025·云南·中考真題）如圖，是五邊形的外接圓，是的直徑．連接，，，．(1)若，且，求的度數(shù)；(2)求證：直線是的切線；(3)探究，發(fā)現(xiàn)與證明：已知平分，是否存在常數(shù)，使等式成立？若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)的值和一個(gè)的值，并證明你寫出的的值和的值，使等式成立；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)11相似三角形與動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題49．（2025·新疆·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)N分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)N分別是和的中點(diǎn)時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)C，D，N為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的最小值．50．（2025·四川南充·中考真題）矩形中，，點(diǎn)E是線段上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，求證：．【深入探究】（2）如圖2，點(diǎn)M在線段上，．點(diǎn)E在移動(dòng)過(guò)程中，求的最小值．【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，點(diǎn)N在線段上，．點(diǎn)E在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P在矩形內(nèi)部，當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

51．（2025·吉林·中考真題）如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以為邊作正方形，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形與重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．(1)的長(zhǎng)為_______．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)正方形的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫出x的值．52．（2025·黑龍江綏化·中考真題）綜合與實(shí)踐如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，作射線，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，連接交射線于點(diǎn)，連接．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并利用圖（1）說(shuō)明你的理由．【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）若，請(qǐng)你用含的代數(shù)式直接寫出的正切值________．【用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)】（3）設(shè)，正方形的面積為．請(qǐng)求出與的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量的取值范圍）考點(diǎn)12相似三角形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)53．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并求的面積．(2)連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．54．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，連接．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式：(2)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)13相似三角形在二次函數(shù)壓軸題中的應(yīng)用55．（2025·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸相交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值．(2)直線與二次函數(shù)的圖象分別相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，①求證：；②當(dāng)四邊形的一組對(duì)邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．(3)二次函數(shù)與二次函數(shù)組成新函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，求的取值范圍．56．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線為二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)．(1)求直線對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；(2)