專題21圓的有關(guān)性質(zhì)（9大考點(diǎn)，精選39題）考點(diǎn)概覽考點(diǎn)1垂徑定理的有關(guān)計(jì)算考點(diǎn)2垂徑定理的證明考點(diǎn)3有關(guān)圓的認(rèn)識的計(jì)算與證明考點(diǎn)4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系考點(diǎn)5圓周角定理考點(diǎn)6圓周角定理的計(jì)算與證明考點(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形考點(diǎn)8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題考點(diǎn)9利用隱圓解決最值問題考點(diǎn)1垂徑定理的有關(guān)計(jì)算1．（2025·四川涼山·中考真題）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧2．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)．若，．則的長是（）A．3 B．2 C．6 D．3．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的弦．半徑于點(diǎn)D，且．則的長是．4．（2025·湖北·中考真題）如圖，是的外接圓，．過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的半徑．考點(diǎn)2垂徑定理的證明5．（2025·河南·中考真題）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時(shí)的一個(gè)圖形，所在圓的圓心為點(diǎn)O，四邊形為矩形，邊與相切于點(diǎn)，連接，，連接交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為．6．（2025·山東東營·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用公式為：弧田面積（弦矢＋矢），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為2，則的值為．7．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學(xué)與功能上成熟于宋代，北宋建筑學(xué)家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術(shù)典籍之一．如圖2是古人根據(jù)《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計(jì)圖，月洞門呈圓弧形，用表示，點(diǎn)O是所在圓的圓心，是月洞門的橫跨，是月洞門的拱高現(xiàn)在我們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計(jì)圖如圖3，已知月洞門的橫跨為，拱高的長度為a．作法如下：①作線段的垂直平分線，垂足為；②在射線上截取；③連接，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)O；④以點(diǎn)O為圓心，的長為半徑作．則就是所要作的圓?。埬阋罁?jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計(jì)圖（保留作圖痕跡，不寫作法）考點(diǎn)3有關(guān)圓的認(rèn)識的計(jì)算與證明8．（2025·河南·中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的圓交于點(diǎn)．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形是平行四邊形．9．（2025·廣西·中考真題）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．考點(diǎn)4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系10．（2025·四川南充·中考真題）如圖，是的直徑，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A．4 B． C．6 D．11．（2025·河北·中考真題）2025年3月是第10個(gè)全國近視防控宣傳教育月，活動(dòng)主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低近視率”，圖是一幅眼肌運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練圖，其中數(shù)字對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，數(shù)字0對應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字對應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長為．（參考數(shù)據(jù)：，）12．（2025·上海·中考真題）如圖，已知，為中的兩弦，聯(lián)結(jié)，交弦于點(diǎn)，，且．(1)求證：；(2)如果，求證：．考點(diǎn)5圓周角定理13．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，是的直徑，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．14．（2025·重慶·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．15．（2025·湖南長沙·中考真題）如圖，，為的弦，連接，，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．16．（2025·新疆·中考真題）如圖，是的直徑，是弦，，，則（

）A． B． C． D．17．（2025·山西·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．18．（2025·湖北·中考真題）如圖，內(nèi)接于．分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．19．（2025·四川瀘州·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑．若，則（

）A． B． C． D．20．（2025·四川自貢·中考真題）分別與相切于兩點(diǎn)．點(diǎn)在上，不與點(diǎn)重合．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．或21．（2025·浙江·中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于是上一點(diǎn)，連接分別交于點(diǎn)．若，則的直徑為．22．（2025·陜西·中考真題）如圖，為的直徑，，，則的度數(shù)為．23．（2025·安徽·中考真題）如圖，是的弦，與相切于點(diǎn)B，圓心O在線段上．已知，則的大小為．24．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)，，在上，，則．25．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，．若的半徑為2，則劣弧的長為．考點(diǎn)6圓周角定理的計(jì)算與證明26．（2025·北京·中考真題）如圖，過點(diǎn)P作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接，，，取的中點(diǎn)C，連接并延長，交于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)延長交的延長線于點(diǎn)E．若，，求的長．27．（2025·安徽·中考真題）如圖，四邊形的頂點(diǎn)都在半圓O上，是半圓O的直徑，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長．考點(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形28．（2025·山東東營·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．29．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，連接BD，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．30．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，的半徑為6，則的長為．31．（2025·吉林·中考真題）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），畫出，使．(2)在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫出，使．32．（2025·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，以，為邊作．(1)當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)（如圖1），求的度數(shù)；(2)當(dāng)與相切時(shí)（如圖2），若的半徑為6，求的長．考點(diǎn)8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題33．（2025·廣東深圳·中考真題）如圖，以矩形的點(diǎn)為圓心，的長為半徑作，交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)落在上，且點(diǎn)為中點(diǎn)．若，，則的長為．34．（2025·四川南充·中考真題）如圖，為正方形的對角線，平分，交于點(diǎn)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，延長交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．以上結(jié)論正確的是．（填寫序號）35．（2025·四川達(dá)州·中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：探究圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常將一個(gè)圖形分割成幾個(gè)圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段之間的數(shù)量關(guān)系．探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于，于，過點(diǎn)作于．連結(jié)，由圖形面積分割法得：______；則____________．實(shí)踐應(yīng)用：如圖2，是等邊三角形，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)．將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連結(jié)交于，過點(diǎn)作于，于，當(dāng)時(shí)，求的值．拓展延伸：如圖3，已知是半圓的直徑，，是弦，，是上一點(diǎn)，，垂足為，，求的值．36．（2025·福建·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AD，BC的延長線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)F．G是AB上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的周長．考點(diǎn)9利用隱圓解決最值問題37．（2025·山東·中考真題）【圖形感知】如圖1，在四邊形中，已知，，．（1）求的長；【探究發(fā)現(xiàn)】老師指導(dǎo)同學(xué)們對圖1所示的紙片進(jìn)行了折疊探究．在線段上取一點(diǎn)，連接．將四邊形沿翻折得到四邊形，其中，分別是A，D的對應(yīng)點(diǎn)．（2）其中甲、乙兩位同學(xué)的折疊情況如下：①甲：點(diǎn)恰好落在邊上，延長交于點(diǎn)，如圖2．判斷四邊形的形狀，并說明理由；②乙：點(diǎn)恰好落在邊上，如圖3．求的長；（3）如圖4，連接交于點(diǎn)P，連接．當(dāng)點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．38．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化的過程中，通過直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問題，讓我們共同體會幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．(1)【幾何直觀】如圖1，中，，，在內(nèi)部取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；與的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)【類比推理】如圖2，在正方形內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，延長交的延長線于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；(3)【深度探究】如圖3，矩形中，，，在其內(nèi)部取一點(diǎn)，使，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，延長至點(diǎn)，使，連接，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，若，則__________；(4)【拓展延伸】在矩形中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，則的最小值為__________．39．（2025·陜西·中考真題）問題探究（1）如圖①，在中，請畫出一個(gè)，使得點(diǎn)，，分別在邊，，上；（2）如圖②，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，周長的最小值；問題解決（3）為了進(jìn)一步提升游客的體驗(yàn)感，某公園管理部門