對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)全章復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)復(fù)習(xí)理順本章重點(diǎn)知識(shí)，掌握本章重要知識(shí)點(diǎn)及常見(jiàn)題型.2.能綜合應(yīng)用本章知識(shí)解決綜合性強(qiáng)的問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：重點(diǎn)是對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖像；2.難點(diǎn)：對(duì)數(shù)概念理解，運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)關(guān)系及綜合應(yīng)用。構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)回顧重點(diǎn)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)的基本概念1.對(duì)數(shù)的定義一般地，如果ax＝Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，且a≠1))，那么數(shù)x叫做，記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.幾種特殊的對(duì)數(shù)(1)常用對(duì)數(shù)：以10為底，記作；(2)自然對(duì)數(shù)：以e為底，記作．3.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，ax＝N?．用圖表示為：【知識(shí)剖析】為什么規(guī)定底數(shù)a>0,且a≠1?(1)當(dāng)a＝0時(shí)，ax恒等于0，沒(méi)有研究的必要．(2)當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)于某些取值，ax無(wú)意義，即不利于定義的擴(kuò)充．(3)當(dāng)a＝1時(shí)，則無(wú)論x取何值，ax恒等于1，沒(méi)有研究的必要．知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)；(2)1的對(duì)數(shù)為，即loga1＝(a>0且a≠1)；(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)為，即logaa＝(a>0且a≠1).(4)對(duì)數(shù)恒等式:＝＝.(a>0，且a≠1，N>0).知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式自然語(yǔ)言描述的對(duì)數(shù)正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)的對(duì)數(shù)的和的對(duì)數(shù)兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)(n∈R)正數(shù)冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘同一底數(shù)的冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)【記憶口訣】(1)【記憶口訣】(1)積的對(duì)數(shù)等于對(duì)數(shù)的和．(2)商的對(duì)數(shù)等于對(duì)數(shù)的差．(3)(n∈R)真數(shù)的冪指數(shù)可變積1.換底公式(1)一般形式：＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； (2)常用形式：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).2.換底公式的推論：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).知識(shí)點(diǎn)05對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1.函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?.特別說(shuō)明：判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如特別說(shuō)明：判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為；（2）底數(shù)為的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有．（1）常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù).（2）自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)06反函數(shù)定義一般地，指數(shù)函數(shù)y=(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=(a>0且a≠1)互為性質(zhì)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別為它的反函數(shù)y=的互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)07對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過(guò)定點(diǎn)()，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時(shí)，y∈；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈；x∈(0,1)時(shí)，y∈；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈.對(duì)稱性函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關(guān)于對(duì)稱注意：掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其關(guān)鍵是理解圖象的特征，利用幾何直觀掌握函數(shù)的性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)08底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響1.底數(shù)a與1的決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.

當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“;

當(dāng)0<a<1時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“”.

2.函數(shù)y=與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸.

3.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的：

無(wú)論是a>1還是0<a<1,在第一象限內(nèi),自左向右,圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.

①上下比較：在直線x=1的右側(cè),a>1時(shí),a越大,圖象越靠近x軸;0<a<1時(shí),a越小,圖象越靠近x軸;

②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.提示：在第一象限內(nèi)，底數(shù)從小到大，圖象從左往右．知識(shí)點(diǎn)09y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)1.定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.2.值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.3.單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)法則判定.(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定)4.奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.5.最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最后確定最值.知識(shí)點(diǎn)10對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)型函數(shù)解不等式1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).2.形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.知識(shí)點(diǎn)11三種函數(shù)的性質(zhì)及增長(zhǎng)速度比較指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))是增函數(shù)圖象(隨x的增大)趨向于和x軸趨向于和x軸呈直線上升增長(zhǎng)速度(隨x的增大)y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越y(tǒng)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越y(tǒng)的增長(zhǎng)速度歸納總結(jié)總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，ax>kx>logax題型01對(duì)數(shù)概念的理解【典例1-1】對(duì)數(shù)中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（24-25高一上·山東淄博·隨堂練習(xí)）通常我們將的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把記為.對(duì)數(shù)式成立的條件在對(duì)數(shù)式中，必須注意：真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1．【變式1-1】（24-25高一上·江蘇南通·課后作業(yè)）（多選）下列選項(xiàng)中，使有意義的a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·課堂作業(yè)）在對(duì)數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型02指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【典例2-1】已知2x=3，則x=（A．log23 B．log32 C．【典例2-2】將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：(1)；(2)；(3)；(4).指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化的技巧指數(shù)式ab＝N與對(duì)數(shù)式logaN＝b的互化規(guī)則是“底數(shù)不變，左右交換”，即：①兩式均以a為底；②b，N兩個(gè)字母在等號(hào)左右互換其位置．冪值相等的指數(shù)式問(wèn)題，求解時(shí)一般設(shè)相等的指數(shù)式為同一個(gè)常數(shù)，然后取對(duì)數(shù)求解.【典例2-3】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）若，則的值為.利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化求值利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化求值時(shí)，要注意方程思想的應(yīng)用，即通過(guò)解方程及指對(duì)互化的策略，求得相應(yīng)未知量的值.【變式2-1】（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（

）A．100=1與lg1=0 B．C．27?13=13與【變式2-2】求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【變式2-3】（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）已知，，則.（用數(shù)字作答）題型03利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化與求值【典例3-1】若，則（）A．3 B．4 C．9 D．16【典例3-2】已知，，則．用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)式或指數(shù)式此類題型主要是已知一些指數(shù)值、對(duì)數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來(lái)表示所要求的式子，解此類問(wèn)題要能熟練掌握所學(xué)的有關(guān)對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)的知識(shí)，有時(shí)還會(huì)用到整體思想．【變式3-1】已知，，則用，表示.【變式3-2】（24-25高一上·福建廈門(mén)·期中）若，，則.題型04利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式進(jìn)行運(yùn)算【典例4-1】（多選）（24-25高一上·山東泰安·期中）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算即利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值，具體策略有兩種：(1)“收”，將同底的兩數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù),即逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；(2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)，即正用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【典例4-2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)已知，，求（用表示）.利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)（自然對(duì)數(shù)），再化簡(jiǎn)、通分、求值.【變式4-1】若利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)（自然對(duì)數(shù)），再化簡(jiǎn)、通分、求值.A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高一上·山東泰安·期中）化簡(jiǎn)求值：(1)(2)．【變式4-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3).題型05利用換底公式證明【典例5-1】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是（

）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【典例5-2】設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．換底公式之用已知量表示此類題型主要是已知一些指數(shù)值、對(duì)數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來(lái)表示所要求的式子，求解過(guò)程中注意用換底公式將所求式的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知式的底數(shù)，再借助對(duì)數(shù)運(yùn)算加以解決.【變式5-1】設(shè)，且，利用對(duì)數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)；(3)計(jì)算：若，求的值．【變式5-2】已知a，b，c滿足.（1）當(dāng)時(shí)，試討論a?b?c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；（2）當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，求證：.題型06對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【典例6-1】（24-25高一上·湖南懷化·期中）我們已經(jīng)知道物質(zhì)的原子個(gè)數(shù)為，你知道整個(gè)宇宙可觀測(cè)原子個(gè)數(shù)是多少嗎？據(jù)估計(jì)，整個(gè)宇宙可觀測(cè)原子個(gè)數(shù)大約為.下列各數(shù)中與最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【典例6-2】“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退：心似平原跑馬，易放難收”（明：《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的．假設(shè)初始值為1，如果每天的“進(jìn)步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“進(jìn)步者”是“退步者”的倍．照此計(jì)算，大約經(jīng)過(guò)（

）天“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A．35 B．37 C．38 D．39對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用求解策略在日常實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運(yùn)算的問(wèn)題.求解對(duì)數(shù)實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，一是要合理建立數(shù)學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及兩邊取對(duì)數(shù)的方法計(jì)算求解.【變式6-1】地震震級(jí)是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來(lái)測(cè)定的，一般采用里氏震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，里氏震級(jí)的計(jì)算公式為，其中A是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）．根據(jù)該公式可知，7.5級(jí)地震的最大振幅是6級(jí)地震的最大振幅的（

）倍．A． B． C． D．【變式6-2】深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．73 C．74 D．75題型07對(duì)數(shù)函數(shù)的判斷【典例7-1】下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．（且） B．C． D．（且）【典例7-2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則．【變式7-1】判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y＝log判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.A．（且） B．C． D．（且）【變式7-2】函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝.題型08求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式【典例8】已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【變式8-1】下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式8-2】已知函數(shù)，若圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A．－2 B．2 C． D．【變式8-3】已知對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．4【變式8-4】函數(shù)（，且）是對(duì)數(shù)函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)，則．【變式8-5】已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.題型09反函數(shù)的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例9-1】函數(shù)的反函數(shù)為，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．【典例9-2】已知函數(shù)和函數(shù)（且）互為反函數(shù)，則恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.反函數(shù)的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x反函數(shù)的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；（2）將x＝logay或x＝ay中的x與y互換位置，得y＝logax或y＝ax；（3）由y＝ax或y＝logax的值域，寫(xiě)出y＝logax或y＝ax的定義域。A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式9-3】（多選）（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（

）A． B．C． D．題型10對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域問(wèn)題【典例10-1】（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?【典例10-2】（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.【變式10-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)榍髮?duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.A． B．C． D．【變式10-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【變式10-3】若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式10-4】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?【變式10-5】（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?題型11對(duì)數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例11-1】函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【典例11-2】（24-25高二上·山西·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（

）A．4B．C．D．8關(guān)于定點(diǎn)問(wèn)題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(關(guān)于定點(diǎn)問(wèn)題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)＝1求出x，即得定點(diǎn)為(x，m).A． B． C． D．【變式11-2】函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式11-3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）設(shè)且，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．題型12對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題【典例12】函數(shù)的遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．A． B．C． D．【變式12-2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【變式12-3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.題型13利用對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍【典例13-1】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．與對(duì)數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(1)首先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；(2)若已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，則該區(qū)間為函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，從而求參數(shù)的范圍．【典例13-2】（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則取值的范圍與對(duì)數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(1)首先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合法則“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；(2)若已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，則該區(qū)間為函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，從而求參數(shù)的范圍．利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)本質(zhì)還是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，需要注意幀數(shù)大于0，轉(zhuǎn)化成內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.(2)若底數(shù)中含有字母，需要對(duì)字母分大于1，小于1大于0兩種情況討論．【變式13-1】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)本質(zhì)還是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，需要注意幀數(shù)大于0，轉(zhuǎn)化成內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.(2)若底數(shù)中含有字母，需要對(duì)字母分大于1，小于1大于0兩種情況討論．A． B．C． D．【變式13-2】（24-25高三上·四川德陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【變式13-3】已知函數(shù)，，其中且，在上為減函數(shù)，則的取值范圍為.【變式13-4】若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求a的取值范圍．題型14對(duì)數(shù)型函數(shù)比較大小問(wèn)題【典例14】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式14-1】已知，則的大小關(guān)系是（比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論．A． B． C． D．【變式14-2】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式14-3】（多選）（24-25高一上·浙江寧波·期中）下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式14-4】比較大?。?1)與；(2)與．題型15解對(duì)數(shù)不等式【典例15-1】求不等式的解集．【典例15-2】已知函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．兩類對(duì)數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<兩類對(duì)數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.A． B． C． D．【變式15-2】設(shè)集合，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式15-3】若時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式15-4】已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式15-5】若，則的取值范圍為．【變式15-6】解不等式．【變式15-7】若恒存在解集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式15-8】若，求的取值范圍．題型16對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象問(wèn)題【典例16-1】已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【典例16-2】（24-25高三上·廣西貴港·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)對(duì)圖象的影響其中對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)對(duì)圖象的影響其中a，b，c，d是圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，根據(jù)圖象，其大小關(guān)系為0<c<d<1<a<b.【變式16-1】（多選）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A． B．C． D．【變式16-2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，滿足，試畫(huà)出函數(shù)的圖象．題型17對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域問(wèn)題【典例17-1】函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【典例17-2】函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．關(guān)于值域問(wèn)題1.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：關(guān)于值域問(wèn)題1.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：一方面，要抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求其值域(多采用換元法)．對(duì)于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)的值域的求法的步驟：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．【典例17-3】（24-25高一上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．關(guān)于利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域首先確定對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性確定取得最值時(shí)的自變量的值，分別代入后求出最值，進(jìn)而得到值域．【變式17-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）“函數(shù)的值域?yàn)椤钡囊粋€(gè)充分不必要條件是（

）關(guān)于利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域首先確定對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性確定取得最值時(shí)的自變量的值，分別代入后求出最值，進(jìn)而得到值域．A． B．C． D．【變式17-2】（24-25高一上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式17-3】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為.【變式17-4】已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式17-5】已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?7-6】（24-25高三上·山西晉城·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)若，求的值域；(3)討論的定義域．題型18對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【典例18-1】已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個(gè)月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認(rèn)為當(dāng)該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來(lái)的以下時(shí)就需要更換其中的硫酸來(lái)達(dá)到持久續(xù)航，則最多使用（

）個(gè)月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解題步驟：(1)列出指數(shù)關(guān)系式對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解題步驟：(1)列出指數(shù)關(guān)系式x＝ay，并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定變量的范圍；(2)利用指對(duì)互化轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax；(3)代入自變量的值后，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式計(jì)算．【典例18-2】（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）年月日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國(guó)歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)何題，并得到小于數(shù)字的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（

）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A． B． C． D．解題錦囊解題錦囊(1)在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.解題時(shí),往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算,要注意與已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解.(2)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題,一般都會(huì)給出函數(shù)解析式,要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義.【變式18-1】（24-25高二下·浙江紹興·階段練習(xí)）現(xiàn)測(cè)得某放射性元素的半衰期為1500年（每經(jīng)過(guò)1500年，該元素的存品為原來(lái)的一半），某生物標(biāo)本中該放射性元素面初始存量為m，經(jīng)檢測(cè)現(xiàn)在的存量，據(jù)此推測(cè)該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：)A．2700年 B．3100年C．3500年 D．3900年【變式18-2】（24-25高一上·四川涼山·期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時(shí)常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)多年研究，已經(jīng)對(duì)地震有了越來(lái)越清晰的認(rèn)識(shí)與了解．例如：地震時(shí)釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，年月日，我州會(huì)理市發(fā)生里氏級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級(jí)地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍題型19對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例19-1】若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【典例19-2】（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的最大值.解決綜合性問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)解決綜合性問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)增強(qiáng)定義域意識(shí)：無(wú)論是求單調(diào)區(qū)間、證奇偶性、解不等式都要先求定義域，符合定義域是滿足性質(zhì)的前提；(2)增強(qiáng)性質(zhì)的應(yīng)用意識(shí)：解對(duì)數(shù)不等式的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式，轉(zhuǎn)化工具就是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【變式19-1】已知函數(shù)，在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式19-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；(2)若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【變式19-3】（2025·江蘇南通·一模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的奇偶性；(2)若對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式19-4】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；(3)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式19-5】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)解方程．【變式19-6】已知函數(shù)（且）的圖象過(guò)點(diǎn)．(1)求a的值；(2)若（i）求的定義域并判斷其奇偶性；（ii）求的單調(diào)遞減區(qū)間．題型20三種函數(shù)的性質(zhì)及增長(zhǎng)速度比較【典例20-1】下列函數(shù)中，隨著x的增大，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度最快的是（

）A． B． C． D．常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．(4)冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之間．A．當(dāng)時(shí)，總走在最前面B．當(dāng)時(shí)，總走在最前面C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長(zhǎng)，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．【變式20-1】下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最慢的是（

由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長(zhǎng)，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．A． B．C． D．【變式20-2】衛(wèi)生部年月發(fā)布的《中國(guó)歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》指出，我國(guó)歲以下女童身高的中位數(shù)與年齡之間的關(guān)系如圖所示，從圖中可以看出，我國(guó)歲以下女童身高增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢．下列最能反映這種變化趨勢(shì)的函數(shù)模型是（

）．A． B．C． D．【變式20-3】對(duì)于任意，不等式都成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式20-4】下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則的最小值為2B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．下列函數(shù)是三種投資方案預(yù)期收益關(guān)于時(shí)間的函數(shù)：①；②；③，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更有前途的投資方案是③【變式20-5】（多選）對(duì)于函數(shù)與的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與有三個(gè)交點(diǎn)B．與有兩個(gè)交點(diǎn)C．，當(dāng)時(shí)，恒在的下方D．，當(dāng)時(shí)，恒在的上方【變式20-6】設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢B．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢C．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢D．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢【變式20-7】某學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，學(xué)生每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有60分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分標(biāo)