專題2.1古典概型教學(xué)目標(biāo)1.理解古典概型的特征和理解基本事件的概念.2.掌握概率計(jì)算公式.3.能用列舉法求概率，會(huì)使用列表法或樹狀圖法等列舉方法，有序、不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的基本事件，并計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：理解古典概型的概念，準(zhǔn)確把握古典概型的兩個(gè)基本特征并同時(shí)掌握古典概型的概率計(jì)算公式.2.難點(diǎn)：判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，準(zhǔn)確計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)以及分清事件A所包含的基本事件數(shù).知識(shí)點(diǎn)01隨機(jī)事件的概率1.對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們通常用一個(gè)數(shù)P(A)(0≤P(A)≤1)來表示該事件發(fā)生的可能性的大小，這個(gè)數(shù)稱為隨機(jī)事件A的．【即學(xué)即練】1．（24-25高二下·黑龍江牡丹江·期中）對(duì)任意事件，其概率為，則的可能范圍是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02古典概型（重點(diǎn)）1．概念：一般地，若試驗(yàn)E具有如下特征：(1)有限性：樣本點(diǎn)總數(shù)；(2)等可能性：各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性，則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?，?jiǎn)稱．【知識(shí)剖析】(1)由古典概型的定義可得古典概型滿足基本事件的有限性和等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不用通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．(2)在古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等，稱這些基本事件為等可能基本事件．【即學(xué)即練】1．（2025高一·全國·專題練習(xí)）下列是古典概型的為（

）A．從6名同學(xué)中隨機(jī)選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小B．在區(qū)間上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于2的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率2.下列有關(guān)古典概型的說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等C．每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等D．已知樣本點(diǎn)總數(shù)為n，若隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率P知識(shí)點(diǎn)03古典概型的概率公式（重、難點(diǎn)）1.概率公式P(A)＝＝【易錯(cuò)警示】求隨機(jī)事件的概率時(shí)，首先要判斷試驗(yàn)是不是古典概型，若是古典概型，才可使用古典概型的概率公式求其概率.2.從集合的角度理解古典概型的概率計(jì)算公式用集合的觀點(diǎn)來考察事件A的概率，有利于幫助我們生動(dòng)、形象地理解事件A與樣本點(diǎn)的關(guān)系，有利于理解公式P（A）=mn把一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的n個(gè)樣本點(diǎn)組成一個(gè)集合I，其中每一個(gè)樣本點(diǎn)就是I中的一個(gè)元素，把含m個(gè)樣本點(diǎn)的事件A看作含有m個(gè)元素的集合，則集合A是集合I的一個(gè)子集，故有P（A）=mn【即學(xué)即練】1．（25-26高一上·河南·開學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)白球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是白球的概率為（）A． B． C． D．2．（24-25高一下·湖南岳陽·期末）從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加學(xué)校辯論賽，則選出的兩人恰好是兩名女生的概率是（）A． B． C． D．題型01古典概型的判斷【典例1】（24-25高一下·新疆·期末）下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議D．從區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．【變式1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（

）①從區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；③在正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4題型02古典概型概率的計(jì)算【典例2】（24-25高一下·湖南邵陽·期末）現(xiàn)有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司應(yīng)聘，但該公司只錄用2人．假設(shè)這5人被錄用的機(jī)會(huì)相同，則被錄用的2人性別不同的概率是（

）A． B． C． D．三步計(jì)算古典概型的概率：1．定空間：選擇合適的方法寫出樣本空間，確定n(Ω2．定事件：表示事件A，確定n(A)；3．求概率：代入pA【變式2-1】（24-25高一下·福建漳州·期末）漳州市博物館是了解漳州深厚文化底蘊(yùn)的理想之地，博物館共有三層，每個(gè)樓層都展示了不同的文化主題．現(xiàn)甲、乙兩人各自選擇一個(gè)樓層參觀，假設(shè)每個(gè)人選擇哪個(gè)樓層參觀是等可能的，則甲乙在不同樓層參觀的概率為（

）．A． B． C． D．【變式2-2】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)箱子中有大小質(zhì)地相同的2張卡片，其中一張兩面均是紅色，另一張一面紅色，一面白色，已知取出的一張卡片向上一面的顏色是紅色，則它背面是白色的概率為（

）A． B． C． D．題型03不放回問題的概率計(jì)算【典例3】（2025·四川宜賓·一模）從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．不放回問題的概率計(jì)算仍遵從三步：1.定空間、2.定事件、3.求概率.在不放回問題中，所抽取的元素互不相同.【變式3-1】（24-25高一下·山東臨沂·期末）一個(gè)袋中有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，其中紅球4個(gè)，黑球2個(gè)，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸取2次，每次摸出1個(gè)球，則第二次摸出的球是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）盒中裝有1，2，3，4四個(gè)標(biāo)號(hào)的小球．小明在盒中隨機(jī)抽取兩次（不放回），則抽中的兩次小球號(hào)碼均為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．題型04有放回問題的概率計(jì)算【典例4-1】（24-25高一下·天津西青·期末）從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和A．23,12 B．14,【典例4-2】(多選)（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3次，則下列說法正確的是（

）A．取出的3個(gè)球顏色相同的概率為2B．取出的3個(gè)球顏色不全相同的概率為8C．取出的3個(gè)球顏色全不相同的概率為2D．取出的3個(gè)球無紅球的概率為1有放回問題的概率計(jì)算仍遵從三步：1.定空間、2.定事件、3.求概率.在有放回問題中，所抽取的元素可以相同.【變式4-1】（24-25高二下·山西·開學(xué)考試）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編號(hào)0，1，2，3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出后放回，連續(xù)取2次，取出的2個(gè)小球號(hào)碼之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng)．那么中獎(jiǎng)的概率是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高二上·廣東茂名·期中）袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，那么這2個(gè)球同色的概率為（

）A． B． C． D．【變式4-3】（25-26高一上·湖南長沙·開學(xué)考試）在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)球，球上分別標(biāo)有數(shù)字這些球除了數(shù)字以外完全相同.現(xiàn)隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字m，放回后攪勻再摸出一個(gè)球，記下數(shù)字n，則使得二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限的概率為.題型05由古典概型的概率求參數(shù)【典例5-1】（24-25高一下·江蘇南京·期末）一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計(jì)口袋中黃球的個(gè)數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個(gè)球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復(fù)上述過程200次，共摸出紅球80次，根據(jù)上述數(shù)值，估計(jì)口袋中大約有黃球（

）個(gè)．A．10 B．15 C．25 D．40【典例5-2】從一個(gè)不透明的口袋中摸出一個(gè)球?yàn)榧t球的概率為15，已知袋中紅球有3個(gè)，則袋中共有除顏色外完全相同的球的個(gè)數(shù)為由古典概型的概率求參數(shù)時(shí)，將所求的量設(shè)為未知數(shù)，利用古典概型的概率公式列出關(guān)于該未知數(shù)的方程，解之即得所求.【變式5-1】在一次機(jī)器人比賽中，有供選擇的A型機(jī)器人和B型機(jī)器人若干，從中選擇一個(gè)機(jī)器人參加比賽，B型機(jī)器人被選中的概率為13，若A型機(jī)器人比B型機(jī)器人多4個(gè)，則A型機(jī)器人的個(gè)數(shù)為【變式5-2】袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球概率為14，得到黑球或黃球概率是512，得到黃球或綠球概率是1題型06古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合【典例6】（23-24高一下·黑龍江綏化·期末）黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一.為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；(2)估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；(3)景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在50,60,60,70的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分分別在50,60和對(duì)于古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問題，一般采用各個(gè)擊破的策略，即統(tǒng)計(jì)部分利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)求解，概率部分利用概率公式求解.【變式6-1】某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，所有成績均為不低于40分的整數(shù)）分為6組：，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出圖中實(shí)數(shù)a的值；(2)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生640名，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)；(3)若從成績來自和兩組的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生：（?。懗鲈撛囼?yàn)的樣本空間；（ⅱ）求這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績至多有一名及格的概率．【變式6-2】2025年5月22日16時(shí)49分，經(jīng)過約8小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟二十號(hào)乘組航天員陳冬、陳中瑞、王杰密切協(xié)同，在地面科研人員配合支持下，航天員從核心艙節(jié)點(diǎn)艙出艙，航天員陳冬時(shí)隔兩年再度漫步太空．某地區(qū)為了激發(fā)人們對(duì)天文學(xué)的興趣，開展了天文知識(shí)比賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)求及的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率．練基礎(chǔ)1．（24-25高一·全國·單元測(cè)試）以下試驗(yàn)不是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性大小B．同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率2．（24-25高一下·山東青島·期末）某校高一、高二、高三的人數(shù)之比為，從中隨機(jī)抽取400名學(xué)生組成志愿者，若學(xué)校中每人被抽中的概率都是，則該校高二年級(jí)的人數(shù)為（

）A．900 B．800 C．700 D．6003．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練成績的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)678910頻率0.10.20.250.30.15若這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，則命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)的概率為（

）A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.74．（24-25高一下·廣東廣州·期末）現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.所取的2道題都是同一類題的概率為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一下·浙江金華·期末）從2，4，8，16中任取兩個(gè)數(shù)，分別記作a，b，則使為整數(shù)的概率是（）A． B． C． D．6．（25-26高一上·河南鶴壁·開學(xué)考試）從絕對(duì)值不大于的數(shù)字中隨機(jī)抽取一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)數(shù)是合數(shù)的概率為．7．（25-26高三上·浙江·開學(xué)考試）現(xiàn)有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足夠多，有甲、乙、丙三個(gè)小朋友，每人去拿1個(gè)或2個(gè)玩偶，至少有一個(gè)小朋友拿到哪吒玩偶的概率為.8．（2025高一·全國·專題練習(xí)）同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為，結(jié)果記為.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間．(2)“”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件？“且”呢？(3)“”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件？“”呢？9．（24-25高一下·湖南·期末）俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)中無人機(jī)顛覆了傳統(tǒng)戰(zhàn)爭(zhēng)的思維定式.無人機(jī)也給人們的生產(chǎn)、生活帶來了很多的便捷.在一次無人機(jī)展會(huì)上，有三家公司參與了展銷活動(dòng)，甲公司帶來了3款無人機(jī)，乙公司帶來了2款無人機(jī)，丙公司帶來了1款無人機(jī)，一購貨商準(zhǔn)備從中任選2款.(1)用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示所有的可能結(jié)果，寫出樣本空間；(2)記事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A發(fā)生的概率；(3)記事件“沒有丙公司的”，求事件B發(fā)生的概率.10．（24-25高一下·天津·期末）一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品（標(biāo)號(hào)為），2支二等品（標(biāo)號(hào)為），1支三等品（標(biāo)號(hào)為），若從中不放回地依次隨機(jī)抽取2支．設(shè)事件“兩支都是一等品”，“含有三等品”．(1)用圓珠筆的標(biāo)號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；(2)求事件的概率．練提升11．（24-25高一下·陜西漢中·期末）甲、乙、丙準(zhǔn)備在茶話會(huì)上表演節(jié)目，假設(shè)他們?nèi)顺鰣?chǎng)先后的可能性相等，則乙比丙先出場(chǎng)的概率為（

）A． B． C． D．12．（24-25高二下·海南海口·期末）在某次猜數(shù)字游戲中，答案是一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．一位同學(xué)第一次猜318，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且在相對(duì)應(yīng)的位置上；第二次猜329，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且不在對(duì)應(yīng)的位置上；第三次猜128，只有一個(gè)數(shù)字猜對(duì)且在對(duì)應(yīng)的位置上．根據(jù)上述信息，該同學(xué)第四次猜對(duì)的概率是（

）A． B． C． D．13．（24-25高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）為弘揚(yáng)新時(shí)代的中國女排精神，甲、乙兩個(gè)女排校隊(duì)舉行一場(chǎng)友誼賽，采用五局三勝制（即某隊(duì)先贏三局即獲勝，比賽隨即結(jié)束），若甲隊(duì)以贏得比賽，則甲隊(duì)輸?shù)舻膬删智『孟噜彽母怕适牵ǎ〢． B． C． D．14．（多選）（24-25高二上·浙江·期中）某次考試的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得6分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)不得分.若答案是兩項(xiàng)，選對(duì)一項(xiàng)得3分，選對(duì)兩項(xiàng)得6分，答案是三項(xiàng)，選對(duì)一項(xiàng)得2分，選對(duì)兩項(xiàng)得4分，選對(duì)三項(xiàng)得6分.”已知某選擇題的正確答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，下列表述正確的是（

）A．甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得3分的概率是B．乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得6分的概率是C．丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，但不選四項(xiàng)，能得分的概率是D．丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，但不選四項(xiàng)，能得分的概率是15．（2023高二下·新疆·學(xué)業(yè)考試）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則恰好出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率是