全國7月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

闡明：本卷中，表示方陣A的轉(zhuǎn)■銅陣，4表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，⑶表示方陣A的行列式.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題.每題2分，共20分）

在每題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多項(xiàng)選擇或

未選均無分。

10-1

1.設(shè)4=350,則/卜（）

041

A.-49B.-7

C.7D.49

2.設(shè)A為3階方陣，且同=4,則卜24|=（)

A.-32B.-8

C.8D.32

3.設(shè)48為n階方陣，且則下列命題正確的是（)

A.(4+B)T=A+BB.(AB)T=-AB

C.A?是對稱矩陣D.B?+A是對稱陣

4.設(shè)A,B,X,丫都是〃階方陣，則下面等式正確的是（)

A.若屋=0,則A=0B.(A8)2=A2B2

C.若AX=AY,則x=yD.若A+X=3,則X=B-A

113

02-14

5.設(shè)矩陣A=，則秩（A）)

0005

0000

A.1B.2

C.3D.4

kx+z=0

6.若方程組(2尤+Z)，+z=0僅有零解，則a二()

區(qū)一2〉+z=0

A.-2B.-1

C.0D.2

7.實(shí)數(shù)向量空間V=（（內(nèi)，X2，X3）kl+X3=。｝的維數(shù)是（）

A.0B.I

C.2D.3

%+2—XT，—A—1

8.若方程組(3x2-xy=A-2有無窮多解，則；1=()

=

AX2—Xy(4—3)(4—4)+(2—2)

A.1B.2

C.3D.4

100

9.設(shè)A=010，則下列矩陣中與4相同的是（)

002

-io(T-110-

A.020B.010

001002_

-100--10「

C.011D.020

002_001

10.設(shè)實(shí)二次型/（%,工2，工3）=￥-石，則/（）

A.正定B.不定

C.負(fù)定D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

請?jiān)诿款}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

II.設(shè),4=(-1,1,2)7，fi=(0,2,3)r,M|ABr|=.

12.設(shè)三階矩陣4=[%,%4]，其中《(i=l,2,3)為A的列向量，且|A|=2,則

眄+a2,a2,a{+a2-a3]|=

010

13.設(shè)A=0C，且秩(A)=3,則a,b,c應(yīng)滿足

b0

2

V3_1

~22

14.矩陣Q=的逆矩陣是.

V3

,2T

15.三元方程內(nèi)+=:1的通解是

—10

16.已知4相同于A=，則|A-E|=.

02

■()()r

17.矩陣A=010的特性值是.

100

-12-

18.與矩陣A=相同的對角矩陣是.

21

-10o-

19.設(shè)A相同于A=0-10,貝]A4.

001

20.二次型J(X\4243)二大/2?工武3+1K3的矩陣是

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每題9分，共54分)

1234

234I

21.計(jì)算4階行列式口=

3412

4123

101

22.設(shè).4=020,而X滿足AX+E=A2+X,求X.

23.求向量組:的秩，并給出該向量組的一個極大無關(guān)組，同時將其

他的向量表示成該極大無關(guān)組的線性組合.

%+2X2-2X3=O

24.當(dāng)；I為何值時，齊次方程組《2%-超+/1玉=0有非零解？并求其所有非零解?

3X1+x2-x3=0

25.已知是三階實(shí)對稱矩陣A的三個特性值，向量%二(1,1,1),、%=(2,2,1了是A的對應(yīng)于4=4=1的

特性向量，求A的屬于4=-1的特性向量.

26.求正交變換V=PX,化二次型?riK2/3)=2Ag+ZQ3-2W3為標(biāo)準(zhǔn)形.

四、證明題(本大題6分)

27.設(shè)%%，小線性無關(guān)，證明《，%+24,%+3a§也線性無關(guān).

2011年7月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

（課程代碼04184）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.D2.A3.C4.D5.C

6.D7.C8.C9.A10.B

二、填空題（本大題共10小題,每小題2分,共20分)

11.0-213.a*2bc

一2201

22

14.15.￥=占1+A0

旦loj

"22.

30-10

16.4—4—i?4=-i18.（或)

o-i03

￡

0

22

J

19.20.0

22

4I0

三、計(jì)算整

（本大度共6小題，每小題9分,共54分）

111

21.0=10234

341

412

I000

2I2-1

=!0

31-2-1

4-3-2-1

-AI1

由/==?。?)伏.)

i-11‘2*,+*,+*?30

I-I-A

得2*,-0

3上嚴(yán)0

得4=力=1,4=-2

當(dāng)4=4=1時，解方程組4=yo

a,.%+2%,%+30fl性無關(guān)

x.1

=0

￥ttM系為<?（I.O」）L，TIJ?O）,

其全編特征向量為（4.&不全為等）

211A

對4?一2時,由I2-I

?<?<?-(1.-I.-Dr

正交規(guī)范化。，Q.￡N

A?^(l,0,!/.As^(-l.-2.i)r.As-^(l.-l--l)r

1

-|石

石f

0-2r■

767371

—

萬

蘇國

歡

、證銅檢（本大題共】小題，6分）

27.證:令+&（4+2a；）+M（a）+3%）=0

即（4,+&+先必+2&%+3&=。

由4,a：,a,線性無關(guān)

全國4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

課程代碼：04184

闡明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A"表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，網(wǎng)表示方陣4的行列式.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每題2分，共20分)

在每題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多項(xiàng)選擇或

未選均無分。

)

fl23、(367

B.#456出456,

D.F1A3HZZ3

2.下列矩陣中，是初等矩陣的為()

A.1()1B.K2)|

c.D.I?~~

3.設(shè)A、B均為〃階可逆矩陣，且CM_%，則廠是()

0^1T~Q8個

A.IL°dB.匕。/

Fo4個(A'10、

C.t1D.K0吧

4.設(shè)4為3階矩陣，A的秩r(4)=3,則矩陣4的秩r(H>()

A.0R.I

C.2D.3

5.i殳向量M=「1,4)’9=J")'。3=(3,-8"若有常數(shù)”力使叵!三遠(yuǎn)三三目，則()

A.a=-1,b=-2B.a=-\,b=2

C.a=1,b=-2D.a=1,b=2

6.向量組卜1=(1，2,。)，。2=&，4,0),g=(3,6,0),。4=(4,9,。1的極大線性無關(guān)組為()

A.B.

C.D.。2，a3

7.設(shè)矩陣那么矩陣A的列向量組的秩為（）

A.3B.2

C.1D.0

8.設(shè)且是可逆矩陣A的一個特性值,有一個特性值等于（)

3

4

A.3

C.

9.設(shè)延陣（一二1,則A的對應(yīng)于特性值在4的特性向量為（）

A.(0,0,0)TB.(0,2,-1)T

C.(1,0,-1)TD.(0,1,1)T

10.二次型/（芯,々，芻）=21；-中2+考的矩陣為（）

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

請?jiān)诿款}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.行列式III=1.

3040

12.行列式:1；;中第4行名元素的代數(shù)余子式之和為

0—1

53-22

13.設(shè)矩陣A=l^__121,8=(1,2,3),貝ijNA=.

14.設(shè)3階方陣4的行列式⑷=2，則兇3|=.

2

15.設(shè)A,〃為〃階方陣，5.AB=E,AlB=B'A=E,貝ij4?+/=.

16.已知3維向量［*(1,-3,3),(1,0,-1)M@+30=.

17.設(shè)向量M=(1,2,3,4),則團(tuán)的單位化向量為.

18.設(shè)〃階矩陣A的各行元素之和均為0,且A的秩為〃-1,則齊次線性方程組Ax=0的通解為，

19.設(shè)3階矩陣A與〃相同，若A的特性值為LLL，則行列式1和1=________.

234

20.設(shè).4'2附是正定矩陣,則。的取值范圍為.

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每題9分，共54分)

(2)|ATB|.

22.設(shè)A』()1,2丑3人1人且滿足AXb=C,求矩陣X.

23.求向量組叵1=(1,2,1,0)T，圖=(1,1,1,2)1,包=(3,4,3,4)1,0=(4,5,6,4)T的秩與一個極大線性無

關(guān)組.

x}-x2+3內(nèi)-x4=1

24.判斷線性方程組,2芭-占-七+4%=2是否有解，有解時求出它的解.

X)-4X3+5.r4=-l

25.已知2階矩陣A的特性值為四=1,恒=9,對應(yīng)的特性向量依次為國=(-1,1)T,

磯(7,1)L求矩陣4

26.已知矩陣4相同于對角矩陣/二G3

，求行列式|A-E|的值.

四、證明題(本大題共6分)

27.設(shè)4為〃階對稱矩陣，B為〃階反對稱矩陣.證明:

（1）AB-BA為對稱矩陣；

（2）AB+BA為反對稱矩陣.

22.解由于|4|=2,所以A可逆.

經(jīng)計(jì)算

3-2

3?5_

A?

2-T

1

又由于出|=1,所以5可逆且b

則X^A-lCB^1=

23.解以.,a4為列向量構(gòu)成矩陣A

34、134、

2145行初?變發(fā)0--2-3

A==B

360002

44>、oo00.

由此可知B的列向fit組的秩為3,且第1,2,4列為B的列向量組的一個極

大線性無關(guān)組，所以向量組外，/的秩為3，%,,為其一個極大

線性無關(guān)組也是一個極大線性無關(guān)組）.

3-1

24.解4=(42)=242

-45

3-1

0-760

0-76-2

3

0-760

0000-2

由此得r(A)=2^r(A)=3.

ll….，r干忖

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試則答？?小7竹？市、

25?解由于線性無關(guān)，令P=(at,.),則由P7AP=，得到

V

A=Pp§P'1

J-l7Y1丫-l7r

11認(rèn)9114

大2(制；3

26.解因?yàn)?與4相似，所以存在可逆矩陣P,使

A=p-'/iP

|4-E|=\P^AP-E\

=|P/(/1-E)P|

:|4-E|

-20

==-2

01

四、證明題(本大題共6分)

27.證已知4丁=4,=-3,則

(1)(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T

=BTAT-ATBT

=-BA^AB

所以AB-bA為對稱矩陣

(2)(AB+BA)T=(AB)T+(^A)T

=BTAT+AW

="BA-AB

=-(AB+BA)

所以AB+B4為反對稱矩陣

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答r第3頁（共3頁）

全國1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

闡明：本卷中，A”表示方陣A的逆矩陣，兒4）表示矩陣A的秩，表示向量。與用的內(nèi)積，E表示單位矩陣,

|A|表示方陣A的行列式.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

在每題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多項(xiàng)選

擇或未選均無分。

a。|

a”[2“a2a"222?I3

aa

1.設(shè)行列式。2]22。23=4，則行列式a2}a2223二（）

“31”324333a313。323a33

A.12B.24

C.36D.48

2.設(shè)矩陣A,B,C,X為同階方陣，且A,〃可逆，AXB=C,則矩陣X=（）

A.A'CB1B.CA3

C.B]AlCD.CB'A1

3.已知42+A-E=0,則矩陣A"=()

X.A-EB.-A-E

C.A+ED.-A+E

4.設(shè)%,%，%，%，%是四維向量，則（）

A.%,%，%,%,的一定線性無關(guān)B.%,%，%，%，%一定線性有關(guān)

C.a5一定能夠由線性表示D.a}一定能夠由a2,a3,a4,a5線性表出

5.設(shè)4是〃階方陣.若對任意的〃維向量x均滿足人上伍則（）

A.A=0B.A=E

C.r(A)=nD.O<r(A)<(/?)

6.設(shè)4為〃階方陣，心）＜〃，下列有關(guān)齊次線性方程組Ax=O的論述正確的是（）

A.4r=。只有零解B.Ax=（）的基礎(chǔ)解系含r（A）個解向量

C.Ax=O的基礎(chǔ)解系含〃EA）個解向量D.Ax=O沒有解

7.設(shè)功,〃2是非齊次線性方程組的兩個不一樣的解，則（）

A.7+〃2是Ax=b的解B.彷一〃2是Ax=b的解

（137一2%是力工二〃的解D.27-3%是^x=h的解

390

8.設(shè)4，%,%為矩陣4=045的三個特性值，則4丈2%=（）

002

9.設(shè)尸為正交矩陣，向量a,//的內(nèi)積為(a,4)=2,則(Pa,P/?)=()

A.-B.I

2

3

C.-D.2

2

2

10二次型fix]M2/3)=X|4-^2+A>3+2xtX2+2x｝與+2x2X3的秩為()

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

請?jiān)诿款}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

U.行歹U式］—4—2=o,則仁

2k—l

12.設(shè)A=；；,A為正整數(shù)，則屋二.

12

13.設(shè)2階可逆矩陣A的逆矩陣4/=：，，則矩陣A二

34

14.設(shè)向量。=(6,-2,0,4),p=(-3,1,5,7),向量產(chǎn)滿足為+了=3〃，則/=

15.設(shè)A是mxn矩陣，Ax=O,只有零解，則r[A）=.

16.設(shè)為,02是齊次線性方程組Ax=O的兩個解，則A（3%+7a2）=.

17.實(shí)數(shù)向量空間占（（X/2J3）ki-X2+X3=0｝的維數(shù)是.

18.設(shè)方陣A有一個特性值為0,則卜.

19.設(shè)向量4=（-1,1,-3）,%=<2,-1,2）正交，貝ijA=.

20.設(shè)火笛42用）=才+44+2x1+2%.+2A,X3是正定二次型，則I滿足.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每題9分，共54分）

a-b-c2a

21.計(jì)算行列式2b2b

2cc-a-b

1-12

22.設(shè)矩陣4=25,對參數(shù)義討論矩陣A的秩.

I10-61

13-14

23.求解矩陣方程25X=25

00I-3

24.求向量組:的一個極大線性無關(guān)組，并將其他向量通過該極大

線性無關(guān)組表示出來.

25.求齊次線性方程組-3修+勺+2與-4必=0的一個基礎(chǔ)解系及其通解.

-X|-2X2+3尤3+尤4=0

232

26.求矩陣182的特性值和特性向最.

-2-14-3

四'證明題（本大題共1小題，6分）

27.設(shè)向量g,a2...，外線性無關(guān)，1勺WA.證明：ct\+ctj,…,如線性無關(guān)?

全國1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管）試題參考答案

課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題

1、B2、A3、C4、B5、A6、C7、C8、B9、D10、A

二、

-1(-21

13、g」I

IL-1,312.t

k1.2~2.

14、(-21,7,15,13)15、M16s0

17、218s019、-120s-72<t<72

三、計(jì)算題

解：原行列式

a+6+ca+b+c?a+b+c

2bb-a-c2b

2c2cc-a-b

11

=(a+b+c)2b2b

2cc-a-b

1

=(a+b+c)0

0

=Q+b+c)3

22.解：對矩陣實(shí)行初等變換，得

2'-12

A=-10-1-2A2+21

101010-A-5-1

11000

01+2A000-I

09-3A00A-30

當(dāng)兀=3時，力的秩為2

當(dāng)?#3時，A的秩為3

13100

23.解：由于（A：E）26010

001001

100-532100-532

0-10-2110102-1-1

00001001001

-532

所以4可逆，且2“2-1-1

00

故原矩陣方程變?yōu)?

-532-14-11

2-1-I256

0011-3-3

24.解：以所有向量為列向量形成4'4矩陣，然后對該矩陣施行初等行變換化為簡化行

階梯形矩陣

123

251

-1-61

-2-51

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案第2頁（共4頁）

所以其一個極大線性無關(guān)組為：囚，a,

2a4

且的=-5a1+3a2-2a

25.解：利用行初等變換將該線性方程組的系數(shù)矩陣化為行簡化的階梯形矩茸

所以原方程組等價(jià)于其中4人為自由未知量

令匕州[:]

得其一組基礎(chǔ)解系為：$=;

0

原方程組的通解為:

k\,k,為任意常數(shù)

線性代數(shù)《經(jīng)管類）試題答案第3頁（共4頁）

-2

26.解：\^E-A\-2

2+3

==?=2-21-2

②+③x(-2)-IA-4-2=(A-!)(A-3)2

00A-l

所以力的特征值為1,3（二重）

對2=1,解齊次線性方程組（E-A）X=O

得（七為自由未知是）

令/=】，得屬于1的全部特征向量為

k0,HO為任意常數(shù).

U）

對2=3,解齊次線性方程組（3E-/l）X=0

1.

得，，其中天為自由未知量

X[=_Q毛

令巧=2,得彳的屬于特征值3的全部特征向量為

1

/-1,好0為任意常數(shù).

四、證明題（本大題共1小鹿，6分）

27.證明：設(shè)有一組數(shù)乙，小…，4使得

1\(因+Gj)+1刈2+…+Ikak-0

即/,?,+l.a2+…+(/,+0at+…+乙/=0

由a.,a,,-,，線性無關(guān)知

/|=0,/,=0,???,l)+Z,=0,,Zt=0

即得4=4=-i,-=4=o.

故a：十%,％線性無關(guān).

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案第4頁

全國10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

闡明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣JAI表示方陣A的行列式,r（A）

表示矩A的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

在每題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多項(xiàng)選擇或

未選均無分。

1.設(shè)A為3階矩陣則卜2AT|二（)

A.-8B.-2

C.2D.8

「J’BNLD網(wǎng)ABX

2.設(shè)矩陣A=)

A.0

1

c.D.

-1:-J

3.設(shè)A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣，則下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）

A.AB-BAB.AB+BA

CARDRA

I2、

4.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A=MA'=()

34,

」4-31-2

AB.

2「22-34

12、42

C.--D.

234,23I

5.下列矩陣中個號初等矩陣的是（)

00r

A.()10B.010

<000；J00/

<100'q00、

C.030D.010

°01,<20b

6.設(shè)A.B均為n階可逆矩陣，則必有()

A.A+B可逆B.AB可逆

C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.設(shè)向量組a尸(1,2),a2=(0,2),B=(4,2),則()

A.ai,a北B線性無關(guān)

B.B不能由aI,a2線性表示

C.8可由。1,a2線性表示，但表示法不惟一

D.B可由a1，a2線性表示,且表示法惟一

8.設(shè)A為3階實(shí)對稱矩陣,A的所有特性值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為()

A.0B1

C.2D.3

2X[-x2+X3=0

9.設(shè)齊次線性方程組(X|-X2-X3=0有非零解，則人為()

XX|+x2+x3=0

A.-lB.0

C.lD.2

10.設(shè)二次型f(x)=xTAx正定，則下列結(jié)論中正確的是()

A.對任意n維列向量X,XTAX都不小于零

B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都不小于或等于零

C.A的特性值都不小于零

D.A的所有子式都不小于零

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

請?jiān)诿款}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

II.行列式?1的值為_________.

12

12.已知則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為.

11n

13.設(shè)矩陣A=',P=，則API___________.

k-24JU

14.設(shè)A,B都是3階矩陣，且|A|=2,B=-2E,則|A」B|=.

15.已知向量組au=(1,2,3),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)線性有關(guān)，則數(shù)k=,

勺、

2+。3=；，則該線性方程

16.已知Ax=b為4元線性方程組,r（A）=3,ai,a2,a3為該方程組的3個解，且a產(chǎn)

&0

組的通解是.

EP5交…如心則—二—

18.設(shè)2是矩陣A的一個特性值，則矩陣3A必有一個特性值為.

19.與矩陣A=（；相同的對角矩陣為.

20.設(shè)矩陣A=|\二2］若二次型f=xrAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.

I-2k）

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每題9分，共54分）

0120

1012

21.求行歹4式口=:的值.

210

021（）

①-10、r-l-20、

22.設(shè)矩陣A=I00,B=2-10,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.

01.,000,

-2、

23.若向量組a=0的秩為2,求k的值.

「2號

，223、

24.設(shè)矩陣人=\-10,b=1

【一】21,

⑴求A1;

(2)求解線性方程組Ax=b，并將b用A的列向量組線性表出.

25.已知3階矩陣A的特性值為-1,12設(shè)B=A2+2A-E,^

(1)矩陣A的行列式及A的秩.

(2)矩陣B的特性值及與B相同的對角矩陣.

X]=2,+2y2+y3

26.求二次型f(xi,x2,x3)=-4X1X2+2XIX3+2X2X3經(jīng)可逆線性變換*x2=2y1-2y2+y3所得的標(biāo)準(zhǔn)形.

2y

四、證明題(本題6分)

27.設(shè)n階矩陣A滿足A?=E，證明A的特性值只能是±1.

10月全國自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）參考答案

2010年10月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參考

（課程代碼04184）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

二、滇空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

12.-2

p0、

1-2旬

2

，后為任意常數(shù)（答案不惟一）