九江市2025年第一次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學試題注意事項本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡相應位置。全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。已知集合A=\{x\midx^2-3x-4<0\}，B=\{x\mid2^x\geq4\}，則A\capB=（）A.[2,4)B.(2,4)C.[1,2)D.(-1,2]若復數(shù)z=\frac{2i}{1-i}（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.\sqrt{2}C.2D.2\sqrt{2}已知向量\boldsymbol{a}=(1,2)，\boldsymbol=(m,-1)，若\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)，則m=（）A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)f(x)=\frac{\ln(2-x)}{\sqrt{x+1}}的定義域是（）A.(-1,2)B.[-1,2)C.(-1,2]D.[-1,2]已知\sin\alpha=\frac{3}{5}，\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)，則\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=（）A.-\frac{1}{7}B.\frac{1}{7}C.-7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.4\piB.8\piC.12\piD.16\pi（注：三視圖描述為：俯視圖是半徑為2的圓，主視圖和左視圖均為底邊長4、高3的等腰三角形）已知拋物線y^2=4x的焦點為F，點P在拋物線上，且|PF|=3，則點P的橫坐標為（）A.1B.2C.3D.4已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則函數(shù)f(x)的極大值點為（）A.0B.1C.2D.3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。下列命題正確的是（）A.若a>b>0，則\frac{1}{a}<\frac{1}B.若a>b，則ac^2>bc^2C.若a<b<0，則a^2>ab>b^2D.若a>b，c<d，則a-c>b-d已知函數(shù)f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)（\omega>0，|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的部分圖像如圖所示，則（）A.\omega=2B.\varphi=\frac{\pi}{6}C.函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}（k\in\mathbb{Z}）D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]上單調(diào)遞增已知圓C:x^2+y^2-2x-4y+1=0，直線l:3x+4y+m=0，則下列說法正確的是（）A.圓C的圓心坐標為(1,2)，半徑為2B.若直線l與圓C相切，則m=-15或m=5C.若直線l與圓C相交，則-15<m<5D.過點(2,0)作圓C的切線，切線方程為x=2已知函數(shù)f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\\log_2x,&x>0\end{cases}，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)f(x)的值域為(-\infty,1]B.若f(a)=f(b)（a\neqb），則ab=1C.函數(shù)f(x)在(-\infty,0]上單調(diào)遞增，在(0,+\infty)上單調(diào)遞增D.不等式f(x)>\frac{1}{2}的解集為(-1,0]\cup(\sqrt{2},+\infty)第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知等差數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項和為S_n，若a_1=1，S_3=9，則a_3=________。展開式(x-\frac{1}{x})^6中常數(shù)項為________。已知x>0，y>0，且x+2y=4，則xy的最大值為________。已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+a^2-1，若關(guān)于x的方程f(f(x))=0有且僅有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的值為________。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（10分）在\triangleABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b=2，c=3，\cosA=\frac{1}{3}。（1）求a的值；（2）求\sinC的值。（12分）已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n\in\mathbb{N}^*）。（1）證明：數(shù)列\(zhòng){a_n+1\}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項和S_n。（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AB=AC=1，BC=\sqrt{2}，AA_1=2。（1）證明：AB\perpA_1C；（2）求二面角A-A_1C-B的余弦值。（12分）某超市為了了解顧客的購物習慣，隨機抽取了100名顧客進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：|性別|喜歡使用自助結(jié)賬|喜歡使用人工結(jié)賬|合計||------|------------------|------------------|------||男|30|20|50||女|25|25|50||合計|55|45|100|（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“顧客是否喜歡使用自助結(jié)賬與性別有關(guān)”；（2）從喜歡使用自助結(jié)賬的顧客中隨機抽取3人，記其中男性顧客的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望。附：K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中n=a+b+c+d。P(K^2\geqk_0)0.0500.0100.001k_03.8416.63510.828（12分）已知橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的離心率為\frac{\sqrt{3}}{2}，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA\perpOB，求\triangleAOB面積的最大值。（12分）已知函數(shù)f(x)=\lnx-ax+1（a\in\mathbb{R}）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點x_1，x_2（x_1<x_2），證明：x_1+x_2>2。參考答案一、單項選擇題A解析：解不等式x^2-3x-4<0得-1<x<4，故A=(-1,4)；解2^x\geq4得x\geq2，故B=[2,+\infty)，則A\capB=[2,4)。B解析：z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i+2i^2}{2}=-1+i，則|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}。A解析：\boldsymbol{a}+\boldsymbol=(1+m,1)，由\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)得1\times(1+m)+2\times1=0，解得m=-3。A解析：由2-x>0且x+1>0得-1<x<2，故定義域為(-1,2)。A解析：由\sin\alpha=\frac{3}{5}，\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)得\cos\alpha=-\frac{4}{5}，\tan\alpha=-\frac{3}{4}，則\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1-(-\frac{3}{4})}=\frac{1}{7}。B解析：該幾何體為圓錐，底面半徑r=2，高h=3，體積V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times4\times3=4\pi？（修正：原計算錯誤，正確體積為4\pi，選項A）B解析：拋物線y^2=4x的焦點F(1,0)，準線方程x=-1，設P(x_0,y_0)，由|PF|=x_0+1=3得x_0=2。A解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，當x<0時f'(x)>0，0<x<2時f'(x)<0，故極大值點為0。二、多項選擇題ACD解析：B中當c=0時，ac^2=bc^2，故B錯誤；A、C、D均正確。ABC解析：由圖像知周期T=\pi，故\omega=2，A正確；代入點(\frac{\pi}{6},2)得2\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=2，即\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1，結(jié)合|\varphi|<\frac{\pi}{2}得\varphi=\frac{\pi}{6}，B正確；對稱軸方程為2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi，即x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}，C正確；當x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]時，2x+\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]，函數(shù)先增后減，D錯誤。ABC解析：圓C化為標準方程(x-1)^2+(y-2)^2=4，圓心(1,2)，半徑2，A正確；圓心到直線距離d=\frac{|3+8+m|}{5}=\frac{|11+m|}{5}，相切時d=2，即|11+m|=10，解得m=-1或m=-21？（修正：原計算錯誤，正確m=-1或m=-21，B選項錯誤）；相交時d<2，即-21<m<-1，C錯誤；過點(2,0)切線方程為x=2和3x+4y-6=0，D錯誤。（注：原選項B、C、D均有誤，修正后正確選項為A）AC解析：當x\leq0時，0<2^x\leq1；當x>0時，\log_2x\in\mathbb{R}，故值域為\mathbb{R}，A錯誤；若f(a)=f(b)=1，則a=0，b=2，ab=0\neq1，B錯誤；函數(shù)在(-\infty,0]和(0,+\infty)上均單調(diào)遞增，C正確；解不等式得-1<x\leq0或x>\sqrt{2}，D正確。（修正后正確選項為CD）三、填空題5解析：S_3=3a_1+3d=3+3d=9，得d=2，故a_3=a_1+2d=1+4=5。-20解析：展開式通項T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(-\frac{1}{x})^r=(-1)^rC_6^rx^{6-2r}，令6-2r=0得r=3，常數(shù)項為(-1)^3C_6^3=-20。2解析：xy=\frac{1}{2}x\cdot2y\leq\frac{1}{2}(\frac{x+2y}{2})^2=\frac{1}{2}\times4=2，當且僅當x=2y=2時取等號。1解析：f(x)=(x-a)^2-1，令f(x)=t，則f(t)=0，解得t=a+1或t=a-1。由題意，f(x)=a+1有兩個解，f(x)=a-1有一個解，故a-1=-1，得a=0？（修正：正確解法：f(t)=0得t=a+1或t=a-1，f(x)=a+1即(x-a)^2=a+2，f(x)=a-1即(x-a)^2=a。要使總解數(shù)為3，則其中一個方程有兩個解，另一個方程有一個解，故a=0或a+2=0，即a=0或a=-2）四、解答題（1）解：由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=9，故a=3。（2）解：由\cosA=\frac{1}{3}得\sinA=\frac{2\sqrt{2}}{3}，由正弦定理\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}，得\sinC=\frac{c\sinA}{a}=\frac{3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}。（1）證明：a_{n+1}+1=2a_n+2=2(a_n+1)，又a_1+1=2\neq0，故數(shù)列\(zhòng){a_n+1\}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）得a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1，則S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-2-n。（1）證明：由AB=AC=1，BC=\sqrt{2}得AB^2+AC^2=BC^2，故AB\perpAC。又直三棱柱中AA_1\perpAB，AC\capAA_1=A，故AB\perp平面A_1ACC_1，從而AB\perpA_1C。（2）解：建立空間直角坐標系，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A_1(0,0,2)。平面A_1AC的法向量為\boldsymbol{AB}=(1,0,0)；平面A_1BC的法向量設為\boldsymbol{n}=(x,y,z)，由\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{A_1C}=(0,1,-2)，\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{BC}=(-1,1,0)，得y-2z=0，-x+y=0，取z=1，則\boldsymbol{n}=(2,2,1)。二面角余弦值為\frac{|\boldsymbol{AB}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{AB}|\cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{1\times3}=\frac{2}{3}。（1）解：K^2=\frac{100\times(30\times25-20\times25)^2}{50\times50\times55\times45}=\frac{100\times2500}{50\times50\times55\times45}\approx0.404<3.841，故沒有95%的把握認為有關(guān)。（2）解：X的可能取值0，1，2，3。P(X=k)=\frac{C_{30}^kC_{25}^{3-k}}{C_{55}^3}，計算得：P(X=0)=\frac{C_{25}^3}{C_{55}^3}=\frac{2300}{26930}\approx0.085，P(X=1)=\frac{C_{30}^1C_{25}^2}{C_{55}^3}=\frac{30\times300}{26930}\approx0.334，P(X=2)=\frac{C_{30}^2C_{25}^1}{C_{55}^3}=\frac{435\times25}{26930}\approx0.405，P(X=3)=\frac{C_{30}^3}{C_{55}^3}=\frac{4060}{26930}\approx0.151。分布列略，數(shù)學期望E(X)=3\times\frac{30}{55}=\frac{18}{11}。（1）解：由離心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}得c=\frac{\sqrt{3}}{2}a，b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2。代入點(2,1)得\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1，解得a^2=8，b^2=2，故橢圓方程\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1。（2）解：聯(lián)立直線與橢圓得(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0，設A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，則x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}，x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2}。由OA\perpOB得x_1x_2+y_1y_2=0，即(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0，代入得5m^2=8(1+k^2)。弦長|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{4\sqrt{2(1+k^2)(4k^2+1-m^2)}}{1+4k^2}，原點到直線距離d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}，面積S=\frac{1}{2}|AB