2026屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)

平面向量的綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)CONTENTS掌握求向量數(shù)量積相關(guān)問題的常用方法：幾何法、基底法、坐標(biāo)法.01掌握向量數(shù)量積的常見轉(zhuǎn)化及變形.02培養(yǎng)邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).03一、平面向量與平面幾何

(1)(2018·天津，理)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則

的最小值為(

)√【解析】方法一：如圖1，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．一、平面向量與平面幾何一、平面向量與平面幾何一、平面向量與平面幾何12【思路】本題可從已知的向量等式出發(fā)，結(jié)合圖形活用向量的加、減法運(yùn)算及其幾何意義求解；亦可通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．一、平面向量與平面幾何一、平面向量與平面幾何方法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0.得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化簡(jiǎn)得m＝2.一、平面向量與平面幾何一、平面向量與平面幾何基本特征：向量問題的求解方法基本方法：1、幾何法（轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度和角度）數(shù)量積公式：夾角或長(zhǎng)度已知極化恒等式：底邊或中線為定值平面圖形：有垂直或能構(gòu)造垂直或平行四邊形基本方法：2、坐標(biāo)法（轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)和方程）基本方法：3、基底法（夾角且長(zhǎng)度已知）

思考題1

(1)已知△ABC的三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則9【解析】方法一(坐標(biāo)法)：由已知得AC⊥BC，所以以C為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，則一、平面向量與平面幾何一、平面向量與平面幾何

(2)(2025·浙江適應(yīng)性考試)如圖，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的邊AC落在直線l上，AC中點(diǎn)與定點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)B與定點(diǎn)P重合．將正三角形ABC沿直線l順時(shí)針滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在l上，再以頂點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．當(dāng)△ABC滾動(dòng)到△A1B1C1的位置時(shí)，頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為________；在滾動(dòng)過程中，一、平面向量與平面幾何一、平面向量與平面幾何二、平面向量與三角函數(shù)

【多選題】(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，則(

)√√二、平面向量與三角函數(shù)二、平面向量與三角函數(shù)二、平面向量與三角函數(shù)基本特征：向量問題的求解方法基本方法：1、幾何法（轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度和角度）數(shù)量積公式：夾角或長(zhǎng)度已知極化恒等式：底邊或中線為定值平面圖形：有垂直或能構(gòu)造垂直或平行四邊形基本方法：2、坐標(biāo)法（轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)和方程）基本方法：3、基底法（夾角且長(zhǎng)度已知）

思考題2

(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6]√二、平面向量與三角函數(shù)【解析】依題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，因?yàn)镻C＝1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)二、平面向量與三角函數(shù)若平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知(1)F3的大??；三、平面向量的實(shí)際應(yīng)用【解析】(1)∵三個(gè)力平衡，∴F1＋F2＋F3＝0，∴|F3|＝|F1＋F2|三、平面向量的實(shí)際應(yīng)用(2)F3與F1夾角的大小．【解析】(2)設(shè)F3與F1的夾角為θ，三、平面向量的實(shí)際應(yīng)用三、平面向量的實(shí)際應(yīng)用實(shí)際問題轉(zhuǎn)化向量問題求解數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯實(shí)際結(jié)論檢驗(yàn)解決問題有大小，有方向，有自由三角形法則，平行四邊形法則幾何法、坐標(biāo)法、基底法、結(jié)果代入實(shí)際問題檢驗(yàn)結(jié)果是否符合常理數(shù)學(xué)建模函數(shù)與方程的思想

思考題3已知一條河的兩岸平行，一艘船從岸上A點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為|v1|＝10km/h，水流速度的大小為|v2|＝4km/h，設(shè)v1和v2的夾角為θ.當(dāng)cosθ＝________時(shí)，船能垂直到達(dá)對(duì)岸．【解析】船垂直到達(dá)對(duì)岸，即合速度v＝v1＋v2與v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0，所以v1·v2＋v22＝0，即|v1||v2|cosθ＋|v2|2＝0，所以40cosθ＋16＝0，三、平面向量的實(shí)際應(yīng)用二、平面向量的實(shí)際應(yīng)用基本特征：