2026屆高三九校聯(lián)合模擬考試

數(shù)學(xué)科試題

本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將條形碼粘貼在答題卡相應(yīng)位置，并且把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填

寫(xiě)在答題卡上。

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位

置上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，只上交答題卡，試卷不回收。

第I卷（選擇題，共58分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1

1．已知z，則z（）

3i

510

A．B．5C．D．10

510

2．對(duì)于實(shí)數(shù)a，“a22”是“l(fā)og2a2”的（）條件．

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必

要

3．已知a2b2，ab1，則ab（）

A．1B．2C．3D．7

ex1

4．函數(shù)fx，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，下列結(jié)論正確的是（）

ex12

A．fx是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增B．fx是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增

C．fx是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減D．fx是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減

2

5．設(shè)函數(shù)fxlog3xax3在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a的最大值為（）

A．2B．3C．4D．5

2026屆高三九校聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)科試卷第1頁(yè)（共4頁(yè)）

3

6．已知遞增數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，若a1，S2a3S，則k的取值范

nn1n1n1kn

圍為（）

A．0,4B．4,C．0,3D．3,

2

7．設(shè)函數(shù)fxax1ex,gxe2x2ax1ex1，若曲線(xiàn)yfx與ygx恰有

一個(gè)交點(diǎn)，則a（）

A．－1B．1C．1D．2

2

8．已知圓錐的軸截面SAB是一個(gè)正三角形，其中S是圓錐頂點(diǎn)，AB是底面直徑．若C是

底面圓O上一點(diǎn)，P是母線(xiàn)SC上一點(diǎn)，AB6，ACSP2，則三棱錐PABC外接球

的表面積是（）

107π109π112π116π

A．B．C．D．

3333

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．

9．公比為q的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a25，a1a315，則（）

n1

A．a(chǎn)11B．q4C．S485D．a(chǎn)n4

π

10．已知函數(shù)fxsinx3cosx，其中03，若將其圖象向左平移個(gè)單位，

6

此時(shí)圖象正好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則以下結(jié)論正確的是（）

A．fx的最小正周期為2π

π

B．fx在0,上的最小值為3

2

ππ

C．函數(shù)yfxfx的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為,0

63

π

D．若x,π時(shí)，方程fxa有兩個(gè)不同的解，則a2,3

2

11．已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)．若f(1)1，f(x)f(4x)0，

g(2x1)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）

1

A．f(x)是奇函數(shù)B．g(x)關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱(chēng)

2

2026屆高三九校聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)科試卷第2頁(yè)（共4頁(yè)）

2024

C．f(2x1)f(12x)0D．f(k)0

k1

第II卷（非選擇題，共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

12．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，fxx53xa1，則fa

的值為.

14

13．已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足xy8，則xy的最小值為．

xy

A

14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bctanbtanBctanC，

2

????

b3，A4C，則a．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

15．（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)fxsin2x2cos2x.

(1)求fx的最小正周期及值域；

(2)求fx的單調(diào)遞增區(qū)間.

16．（本小題滿(mǎn)分15分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

π????

2bc2asinB.

6

(1)求A；

(2)若a23,ABC的面積為3,D為BC上一點(diǎn)，AD為BAC的平分線(xiàn)，求AD.

17．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，四邊形ABB1A1為

菱形，ABB，ACBC.

1311

(1)證明：BCBB1.

(2)已知平面ABC平面ABB1A1，求二面角BCC1A的正弦值：

2026屆高三九校聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)科試卷第3頁(yè)（共4頁(yè)）

18．（本小題滿(mǎn)分17分）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱(chēng)m，n互質(zhì)，歐拉函數(shù)是

指，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的正整數(shù)（包括1）的個(gè)數(shù)，

記作(n)，例如(4)2，(5)4．

(1)求(6)，3n，4n；

3n

*

(2)設(shè)an，n，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；

n1nN

3232

14

bn*

(3)設(shè)n，nN，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn，

2419

19．（本小題滿(mǎn)分17分）已知函數(shù)fxcosxln1x,gxax1.

(1)求fx在x0處的瞬時(shí)變化率；

(2)若fxgx恒成立，求a的值；

2n

1*

(3)求證：fsin1ln2,nN.

kn1k

2026屆高三九校聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)科試卷第4頁(yè)（共4頁(yè)）

《2026屆高三九校聯(lián)合模擬考試

數(shù)學(xué)》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CCDBCCCCABDBC

題號(hào)11

答案AD

12．413．914．3

3

15．(1)最小正周期為，值域?yàn)?1,21；(2)k,k,kZ.

88

2

【詳解】（1）fxsin2x2cosxsin2xcos2x12sin2x1，-------------4分

4

2

故fx的最小正周期T，fx的值域?yàn)?1,21.-------------------------6分

2

（2）根據(jù)（1）中所求，fx2sin2x1，

4

令2k2x2k,kZ，----------------------------------------------------------------8分

242

3

解得xk,k,kZ.

88

3

故fx的單調(diào)增區(qū)間為：k,k,kZ.--------------------------------------------13分

88

π

16．(1)A(2)AD2

3

π

【詳解】（1）根據(jù)題意2bc2asinB，

6

π

則由正弦定理得2sinBsinC2sinAsinB，--------------------------------2分

6

π

即2sinBsinAB2sinAsinB，

6

31

即2sinBsinAcosBcosAsinB2sinAsinBcosB，

22

化簡(jiǎn)得2sinBcosAsinB3sinAsinB，--------------------------------------5分

因?yàn)閟inB0，所以2cosA3sinA，

π

∴sinA1，由于A0,π，

6

π

則A；--------------------------------------------------------------------------------7分

3

1π

（2）根據(jù)題意，VABC的面積為3,即3bcsin，

23

則bc4，-------------------------------------------------------------------------------8分

2π

又根據(jù)余弦定理，23b2c22bccos，則b2c216，

3

2

所以bcb2c22bc24，即bc26，----------------------------10分

1π1π1

又由VABC的面積3bADsincADsinbcAD，----------------13分

26264

所以AD2.--------------------------------------------------------------------------------15分

4

17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).

5

【詳解】（1）

設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連接CO，B1O，AB1，BC1，

因?yàn)镃ACB，所以ABOC，

π

因?yàn)樗倪呅蜛BBA為菱形，ABB，所以ABB為等邊三角形，則ABOB

111311

又OC平面OB1C，OB1平面OB1C，OCOB1O，所以AB平面OB1C，--------------------------3分

因?yàn)锽1C平面OB1C，所以ABB1C，

因?yàn)锳C1B1C，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，

AC1ABA，所以B1C平面ABC1，--------------------------------------------------------------------------------6分

因?yàn)锽C1平面ABC1，所以BC1B1C，所以四邊形BCC1B1為菱形，即BCBB1.-------------------------7分

（2）

因?yàn)槠矫鍭BC平面ABB1A1，且平面ABC平面ABB1A1AB，ABOB1，OB1平面ABB1A1，

所以B1O平面ABC；-----------------------------------------------------------------------------8分

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA，OB1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2.

則O0,0,0，C3,0,0，B0,1,0，B10,0,3，A0,1,0，

可得AC3,1,0，BB1CC10,1,3，BC3,1,0.

mBC3xy0,

設(shè)平面的法向量為，則

BCC1mx,y,z

mCC1y3z0,

令x1，則y3，z1，可得m1,3,1.------------------------------------------------------10分

nAC3ab0,

設(shè)平面的法向量為，則

ACC1na,b,c

nCC1b3c0,

令a1，則b3，c1，可得n1,3,1.-------------------------------------------------------12分

mn34

cosm,n，故二面角BCC1A的正弦值為--------------------------------------------15分

mn55

nn1nn1111

18．(1)(6)2；323；424(2)Sn(3)證明見(jiàn)解析

423n1

【詳解】（1）1到6中與6互質(zhì)的只有1和5，所以(6)2；------------------------1分

2

1到3n中，被3整除余1和被3整除余2的數(shù)都與3n互質(zhì)，所以3n3n23n1---3分

3

nn1n1

1到4n中，所有奇數(shù)都與4n互質(zhì)，所以4424．-------------------------------5分

2

nn1

23n13131111

（2）an，------------------8分

23n223n1243n13n1143n113n1

1111111

從而Sn．

43013113113213n113n1

111111

-------------------------------------------------------------------11分

43013n1423n1

11111

b

nnnn1

（3）證明：24141n1n134，------------------15分

4141

4n41

11

n1n

從而134414，證畢．分

Tn1-------------------------------------17

i11n

i1341949

4

19．21．(1)1(2)a1(3)證明見(jiàn)解析

1

【詳解】（1）fxsinx,-----------------------2分

1x

1

則f0sin01，

10

故fx在x0處的瞬時(shí)變化率為f01----------------------5分

（2）設(shè)h(x)fxgxcosxln1xax1,x1.

由條件可知hx0恒成立，

由于h00，且hx的圖象在定義域內(nèi)是連續(xù)不間斷的，

所以x0是hx的一個(gè)極大值點(diǎn)，則h00，

1

又hxsinxa,所以h(0)1a0,解得a1,--------------------------6分

1x

下證當(dāng)a1時(shí)，hx0對(duì)任意的x1,恒成立，

1x

令xln(1x)x,則x1--------------------------------7分

1x1x

由(x)01x0,(x)0x0，

故函數(shù)x在1,0單調(diào)遞增，在0,單調(diào)遞減，

所以x00，即lnx1x0，而cosx10，--------------------------10分

所以當(dāng)x0,時(shí)，h(x)(cosx1)[ln(1x)x]0，

綜上，若fxgx恒成立，則a1，-----------------------------------------------11分

11

（3）由（2）可知fxx1,fsin1sin，