21.3二次根式的加減xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】同類(lèi)二次根式 3【題型2】二次根式的加減 4【題型3】二次根式的混合運(yùn)算 4【題型4】二次根式的化簡(jiǎn)求值 5【題型5】二次根式的實(shí)際應(yīng)用 6【題型6】海倫秦九韶公式 7xixix

夯實(shí)必備知識(shí)新知梳理【知識(shí)點(diǎn)1】同類(lèi)二次根式同類(lèi)二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．合并同類(lèi)二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．【知識(shí)拓展】同類(lèi)二次根式把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．（1）同類(lèi)二次根式類(lèi)似于整式中的同類(lèi)項(xiàng)．（2）幾個(gè)同類(lèi)二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．1.（2025春?伊犁州期末）下列二次根式能與2進(jìn)行加減運(yùn)算的是（）A．8B．12C．20D．1【知識(shí)點(diǎn)2】二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．1.（2025春?旌陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上表示1和2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C，設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x,則x+2的值為（）A．12B．1+2C．21D．2【知識(shí)點(diǎn)3】二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．1.（2025春?武安市期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．2B．22×33=6C．8÷D．32?【知識(shí)點(diǎn)4】二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問(wèn)題的策略，提高解決問(wèn)題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．1.（2024秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為12和18的兩個(gè)小正方形，則余下部分的面積為（）A．12B．12C．12D．182.（2024春?臨淄區(qū)期末）已知一個(gè)矩形面積是24，一邊長(zhǎng)是2，則另一邊長(zhǎng)是（）A．12B．2C．6D．3【題型1】同類(lèi)二次根式【典型例題】下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）A.B.C.D.【舉一反三1】與是同類(lèi)二次根式的是（）A.B.C.D.【舉一反三2】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)根式，則x＝

．【舉一反三3】已知最簡(jiǎn)根式和最簡(jiǎn)根式是同類(lèi)根式，求a2002﹣b2001的值．【舉一反三4】是否存在實(shí)數(shù)m，使最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型2】二次根式的加減【典型例題】已知，則x的值是（）A.B.2C.D.【舉一反三1】下列計(jì)算中，正確的是（）A.B.＝C.D.【舉一反三2】對(duì)于任意的正數(shù)m，n定義運(yùn)算*為：m*n＝，計(jì)算（3*2）+（8*12）的結(jié)果為

．【舉一反三3】化簡(jiǎn)+﹣（﹣）的結(jié)果是

．【舉一反三4】計(jì)算：（1）3﹣2+﹣；（2）3﹣+；（3）﹣+2；（4）2+3﹣．【題型3】二次根式的混合運(yùn)算【典型例題】計(jì)算的結(jié)果為（）A.B.C.D.5【舉一反三1】小英在（）□中的“□”填入運(yùn)算符號(hào)“×”得到的結(jié)果為m，小康在□中的“□”填入運(yùn)算符號(hào)“÷”得到的結(jié)果為n，則m，n之間的關(guān)系為（）A.m＝nB.m＝2nC.m＝n+1D.n＝2m【舉一反三2】從“+，﹣，×，÷”中選擇一種運(yùn)算符號(hào)，填入算式“（）□”的“□”中，使其運(yùn)算結(jié)果為有理數(shù)，則應(yīng)選擇的運(yùn)算符號(hào)是（）A.+B.﹣C.×D.÷【舉一反三3】計(jì)算÷（+）的結(jié)果是

．【舉一反三4】下面是小華同學(xué)解答題目的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．計(jì)算：．解：原式＝第一步＝第二步＝第三步任務(wù)一：以上步驟中，從第

步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是

．任務(wù)二：請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．【舉一反三5】計(jì)算：．【題型4】二次根式的化簡(jiǎn)求值【典型例題】若，則化簡(jiǎn)4等于（）A.B.2C.D.1【舉一反三1】設(shè)a為﹣的小數(shù)部分，b為﹣的小數(shù)部分．則﹣的值為（）A.+﹣1B.﹣+1C.﹣﹣1D.++1【舉一反三2】定義：我們將（）與（）稱(chēng)為一對(duì)“對(duì)偶式”．因?yàn)椋ǎǎ剑ǎ?﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根號(hào)．若，則＝

．【舉一反三3】若點(diǎn)P（x，y）在第二象限，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是

．【舉一反三4】已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）求a2﹣3ab+b2．【題型5】二次根式的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】電流通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱量，電流I（單位：A）、導(dǎo)線(xiàn)電阻R（單位：Ω）、通電時(shí)間t（單位：s）與產(chǎn)生的熱量Q（單位：J）滿(mǎn)足Q＝I2Rt．已知導(dǎo)線(xiàn)的電阻為2Ω，1s時(shí)間導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生50J的熱量，電流I的值是（）A.2B.5C.8D.10【舉一反三1】若三角形的面積為12，一邊長(zhǎng)為+1，則這邊上的高為（）A.12+12B.24﹣24C.12﹣12D.24+24【舉一反三2】如圖，在數(shù)學(xué)課上，老師用5個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形的無(wú)重疊的情況下拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，已知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3、寬為2，下列是四位同學(xué)對(duì)該大長(zhǎng)方形的判斷，其中不正確的是（）A.大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6B.大長(zhǎng)方形的寬為5C.大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為11D.大長(zhǎng)方形的面積為300【舉一反三3】邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形如圖所示，若它的周長(zhǎng)為2+，面積為，則a2b+ab2的值為

．【舉一反三4】全球氣候變暖導(dǎo)致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開(kāi)始在巖石上生長(zhǎng)．每一個(gè)苔蘚都會(huì)長(zhǎng)成近似的圓形，苔蘚的直徑和其生長(zhǎng)年限近似地滿(mǎn)足如下的關(guān)系式：，其中d表示苔蘚的直徑，單位是厘米，t代表冰川消失的時(shí)間（單位：年）．（1）計(jì)算冰川消失21年后苔蘚的直徑為多少厘米？（2）如果測(cè)得一些苔蘚的直徑是35厘米，問(wèn)冰川約是在多少年前消失的？【題型6】海倫秦九韶公式【典型例題】如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S＝．這個(gè)公式稱(chēng)為海倫﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，則△ABC的面積是（）A.12B.C.24D.【舉一反三1】海倫﹣秦九韶公式告訴我們，若一個(gè)三角形ABC三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，記，三角形的面積為，如圖，請(qǐng)你利用海倫﹣秦九韶公式計(jì)算△ABC的面積為（）A.B.C.D.10【舉一反三2】古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱(chēng)為海倫﹣秦九韶公式，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，記p＝，那么三角形的面積為S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若a＝8，b＝4，c＝6，則△ABC的面積為

．【舉一反三3】數(shù)學(xué)家秦九韶提出“三斜求積術(shù)”（已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積），它與海倫公式實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)公式，又稱(chēng)海倫?秦九韶公式，表述為：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，記，那么面積．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為4，4，2，則三角形的面積為

．【舉一反三4】古希臘的幾何學(xué)家海倫，約公元50年，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名．在他的著作《度量》一書(shū)中，給出了如下公式：若一個(gè)三角形的三