第02講：一元二次函數(shù)、方程與不等式【題型歸納】【考點梳理】考點一：基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．考點二：用基本不等式求最值用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值應(yīng)注意x，y是正數(shù)；①如果xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；②如果x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.考點三：一元二次方程與不等式判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【題型歸納】題型一：不等式的性質(zhì)【例1】．（2425高一上·廣東·期中）下列命題是真命題的是（

）【答案】D【分析】舉例說明判斷ABC；作差推理判斷D.故選：D【答案】A故選：A.【例3】．（2526高一上·湖南·階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）【答案】D【分析】應(yīng)用特殊值法判斷A，B，C，再根據(jù)不等式性質(zhì)判斷D.故選：D．題型二：基本不等式【例1】．（2526高一上·吉林·期中）求最值：【答案】(1)12(2)5(3)25【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值；（2）利用基本不等式求和的最小值；【答案】(1)證明見解析(2)24(3)50【分析】（1）根據(jù)基本不等式“1”的巧用求解最值即可；【例3】．（2425高一上·四川眉山·期中）求最值：【答案】(1)(2)(3)題型三：由一元二次方程的解確定參數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，求得a，c值，代入所求，即可求得答案.故選：A【答案】C故選：C.【答案】A故選：A.題型四：解含有參數(shù)的一元二次不等式【答案】答案見解析題型五：一元二次方程根的分布問題【答案】C【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合一元二次函數(shù)及其方程的性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組，即可求解．故選：C．【答案】B故選：BA．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】舉反例說明充分性，利用二次方程根的分布說明必要性，從而得解.所以前者是后者的必要不充分，故C正確.故選：C.題型六：一元二次不等式在實數(shù)集的恒成立問題【答案】D因為不等式對于任意均成立，故選：D．【答案】A【分析】根據(jù)參數(shù)是否等于零分類討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列不等式，求解即可.故選：A.【答案】B【分析】根據(jù)判別式可求的取值范圍.故選：B.題型七：一元二次不等式在某個區(qū)間上恒成立問題【答案】D【分析】分離參數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性可求得參數(shù)范圍.故選：D.【答案】A故選：A【答案】D故選：D題型八：一元二次不等式在某個區(qū)間有解問題【答案】A【分析】分別分析命題p和命題q，再根據(jù)“p為假命題，q為真命題”的條件確定實數(shù)a的取值范圍．故選：A．【答案】B【分析】根據(jù)含量詞的命題為真命題，可得關(guān)于參數(shù)的不等式，解得的范圍，依題再求各范圍的交集即得.故選：B．【答案】B【分析】利用分離變量法整理不等式，構(gòu)造函數(shù)解析式，求得新函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，可得答案.故選：B.題型九：一元二次不等式的實際應(yīng)用問題【例1】．（2425高一上·遼寧錦州·期中）某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為40元，年銷售6萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少1000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？【答案】(1)60元(2)10.5萬件，60元所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為60元.當(dāng)該商品改革后銷售量至少達到10.5萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為60元.【例2】．（2223高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）2022年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達”變異毒株，盡管我國疫情得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然嚴(yán)峻，日常防護依然不能有絲毫放松．在日常防護中，醫(yī)用防護用品必不可少，某公司一年購買某種醫(yī)用防護用品600噸，每次都購買x噸，運費為6萬元/次，一年的存儲費用為萬元.一年的總費用y（萬元）包含運費與存儲費用.(1)要使總費用不超過公司年預(yù)算260萬元，求x的取值范圍.(2)要使總費用最小，求x的值.(2)30（2）先由（1）得一年的總費用y，再直接利用基本不等式即可求出最小時x的值.【詳解】（1）因為公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，所以購買貨物的次數(shù)為，故x的值為30.【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)已知條件列不等式，從而求得的范圍.（2）先求得花壇面積的表達式，然后利用基本不等式求得最小值.題型十：一元二次不等式的壓軸綜合問題【分析】（1）整理不等式，由二次不等式解集得到二次方程的根，代入求得，然后解方程得到.【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根與一元二次不等式的解之間的關(guān)系，結(jié)合韋達定理即可求解，（2）利用判別式即可求解（?。?，由不等式的乘“1”法即可求解（ⅱ）.(3)答案見解析（2）由一元二次不等式恒成立求出的范圍.（3）分類討論解含參數(shù)的一元二次不等式.【高分演練】一、單選題【答案】C故選：C2．（2526高一上·北京·階段練習(xí)）對于實數(shù)a，b，c，下列說法錯誤的是（

）【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷AB；利用作差法判斷CD.故選：D【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式求解最值判斷ABC，利用常數(shù)代換技巧求最值判斷D.故選：D．【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)化簡，然后由相應(yīng)二次方程根的大小得出不等式的解．故選：C．【答案】A故選：A.【答案】A故選：A二、多選題【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐一判斷各選項正誤，判斷結(jié)果.故選：BC8．（2526高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）下列關(guān)于x的不等式的解集正確的是（

）【答案】AB【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，分別求出A，B，C選項中不等式的解集，即可判斷正誤；根據(jù)分式不等式的解法求出D選項中不等式的解集，即可判斷正確與否.故選：AB.【答案】AC【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐項求解判斷.故選：AC【答案】AC【分析】根據(jù)基本不等式計算判斷A，B，先平方再應(yīng)用基本不等式計算判斷C，D.故選:AC．11．（2425高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下列結(jié)論中，錯誤的結(jié)論有（

）【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可判斷A的正誤；將條件整理變形，根據(jù)基本不等式，可判斷B、C、D的正誤，即可得答案.此時不成立，故無法取得最小值2，故C錯誤；故選：ABC三、填空題【分析】根據(jù)一元二次不等式的解，結(jié)合韋達定理求出，再利用1的妙用求出最小值，進而求解一元二次不等式即可.四、解答題17．（2526高一上·新疆克拉瑪依·期中）求下列不等式的解集：【答案】(1)；(3)答案見解析.【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）利用穿根法即可求解；(1)若關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為[0，b]，求實數(shù)a，b的值；(3)解關(guān)于x的不等式：f（x）＜a1．(2){1}(3)答案見解析（3）根據(jù)含參一元二次不等式的解法求解即可.(1)求k的值；(2)現(xiàn)在全年只有24000元資金用于支付這筆費用，請問能否恰當(dāng)安排每批進貨的數(shù)量使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由.【答案】(1)(2)安排每批進貨120臺時，24000元資金恰好夠用.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于“每批購入400臺時的全年所需運輸和保管總費用”的關(guān)系式，從而求得k的值；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于“每批購入臺時的全年所需運輸和保管總費用”的關(guān)系式