2025~2026學(xué)年北京市京源學(xué)校遠(yuǎn)洋分校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題(★)1.已知向量，則（）

A．B．C．D．(★★)2.已知向量，若，則（）

A．B．C．6D．(★★)3.以邊長(zhǎng)為的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于

A．B．C．D．(★★)4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（）

A．B．C．D．(★)5.如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若，則的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．(★★)6.設(shè)是兩個(gè)不同平面，且直線與平面垂直，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★★)7.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面，，平面平面，則二面角的平面角是（）

A．B．C．D．(★★)8.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)P到平面QGC的距離是（）

A．B．C．D．1(★★★)9.為檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量的準(zhǔn)確程度，數(shù)學(xué)建模小組用記錄2025年3月份31天中每天空氣質(zhì)量是否為優(yōu)，方法為：當(dāng)?shù)谔炜諝赓|(zhì)量為優(yōu)，記，當(dāng)?shù)谔炜諝赓|(zhì)量不為優(yōu)，記；用記錄某數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)該月每天空氣質(zhì)量是否為優(yōu)，方法為：當(dāng)?shù)谔炜諝赓|(zhì)量為優(yōu)，記，當(dāng)?shù)谔炜諝赓|(zhì)量不為優(yōu)，記；記錄完畢后，數(shù)學(xué)建模小組計(jì)算出，其中，，那么該數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確的總天數(shù)是（）

A．24B．25C．26D．27(★★★)10.在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體的頂點(diǎn)、分別在軸，軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是，則的取值范圍是()．

A．B．C．D．二、填空題(★★)11.已知半徑為的球的表面積為，那么半徑為的球的表面積為_(kāi)__________．(★★★★)12.已知空間中三點(diǎn)與不重合，則使三點(diǎn)共線一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以是___________．(★★★)13.在正三棱柱中，，是棱上一點(diǎn)，則直線與平面所成角的大小為_(kāi)__________；三棱錐的體積為_(kāi)__________．(★★★★)14.如圖，某一個(gè)自行車停放時(shí)，車體由尺寸相同的前后輪和腳撐來(lái)支撐，前后輪的軸中心分別為，，與地面接觸點(diǎn)分別為，，腳撐一端固定在后輪軸中心處，另一端與地面接觸于點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間距離為110厘米，車輪外徑（直徑）為66厘米，腳撐長(zhǎng)度等于車輪半徑，，則平面與平面___________垂直（填“是”或者“不”），后車輪所在平面與地面的夾角（即二面角）的余弦值為_(kāi)__________．(★★★★)15.如圖，正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在正方形和正方形內(nèi)部（不含邊界）．設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，，使；②對(duì)于任意點(diǎn)，，直線與不垂直；③對(duì)于任意點(diǎn)，，直線與所成角不可能是；④若，則四面體體積的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．三、解答題(★★★)16.如圖，直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．(★★★)17.如圖，在三棱柱中，是正三角形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明．(★★★)18.如圖，在四棱錐中，平面，．為棱上一點(diǎn)，，平面與棱交于點(diǎn)．(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求證：平面平面；(3)若，求二面角的余弦值．(★★★)19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，，.點(diǎn)在棱上，且平面，是中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的值；(3)設(shè)平面與平面的交線為，求直線與直線所成角的余弦值．(★★★★)20.羨除是中國(guó)古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體．《九章算術(shù)》中有記載“羨除，隧道也．其所穿地，上平下斜”，羨除是有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體．如圖，在羨除ABCDEF中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，且為中點(diǎn)，平面與平面交于．(1)求證：平面平面；(2)若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使羨除存在，求：（i）點(diǎn)到平面的距離；（ii）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求的值．條件①：；條件②：；條件③：平面平面．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(★★★★)21.設(shè)正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素和，及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；；．若的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為的完美子集．(1)當(dāng)時(shí)，已知集