第一章導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義第二章函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)第三章函數(shù)的極值與最值第四章生活中的優(yōu)化問(wèn)題第五章導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第六章導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像01第一章導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義幾何意義物理意義導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)定義為：f'(x?)=lim(f(x?+Δx)-f(x?))/Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'(x?)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x?,f(x?))處的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的物理意義：若f(t)表示物體在t時(shí)刻的位置，則f'(t)表示物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.常數(shù)函數(shù)：f(x)=c，f'(x)=0；2.冪函數(shù)：f(x)=x^n，f'(x)=nx^{n-1}；3.三角函數(shù)：f(x)=sinx，f'(x)=cosx；4.指數(shù)函數(shù)：f(x)=e^x，f'(x)=e^x；5.對(duì)數(shù)函數(shù)：f(x)=lnx，f'(x)=1/x。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.和差法則：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；2.乘積法則：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；3.商法則：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2；4.復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：若y=f(u)，u=g(x)，則dy/dx=dy/du*du/dx。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括求切線方程、求函數(shù)的極值和最值、解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用案例求切線方程求函數(shù)的極值和最值解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題步驟1：求導(dǎo)數(shù)；步驟2：將切點(diǎn)坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)公式求斜率；步驟3：使用點(diǎn)斜式方程求切線方程。步驟1：求導(dǎo)數(shù)；步驟2：找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟3：判斷極值；步驟4：比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；步驟5：確定最值。步驟1：建立目標(biāo)函數(shù)；步驟2：確定定義域；步驟3：求最值；步驟4：考慮實(shí)際意義。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是描述函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率，它在幾何上表示曲線的切線斜率。例如，對(duì)于函數(shù)y=x2，在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)為2，這意味著在這一點(diǎn)處，曲線的切線斜率為2。導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以幫助我們理解函數(shù)圖像的形狀和變化趨勢(shì)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以直觀地看到函數(shù)在某一時(shí)刻的變化速度，這對(duì)于研究函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用非常重要。例如，在物理學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)描述物體的速度和加速度，從而幫助我們理解物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)描述成本和收入的變化率，從而幫助我們做出更好的決策。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。02第二章函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，如果對(duì)于任意的x?,x?∈I，當(dāng)x?<x?時(shí)，總有f(x?)<f(x?)。函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，如果對(duì)于任意的x?,x?∈I，當(dāng)x?<x?時(shí)，總有f(x?)>f(x?)。若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f'(x)>0，則f(x)在I上單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則f(x)在I上單調(diào)遞減。函數(shù)單調(diào)性判斷例題1：判斷函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)性解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0,2。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。例題2：判斷函數(shù)g(x)=x/(x2+1)的單調(diào)性解：g'(x)=(-x2+1)/(x2+1)2。令g'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。例題3：判斷函數(shù)h(x)=e^x-x的單調(diào)性解：h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增。函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用求函數(shù)的最值判斷方程根的個(gè)數(shù)解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題步驟1：求導(dǎo)數(shù)；步驟2：找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟3：比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；步驟4：確定最值。步驟1：求導(dǎo)數(shù)；步驟2：找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟3：判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化；步驟4：確定方程根的個(gè)數(shù)。步驟1：建立目標(biāo)函數(shù)；步驟2：確定定義域；步驟3：求最值；步驟4：考慮實(shí)際意義。函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用案例函數(shù)單調(diào)性在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常重要。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以通過(guò)函數(shù)單調(diào)性來(lái)分析成本和收入的變化趨勢(shì)。假設(shè)某企業(yè)的成本函數(shù)為C(x)=10x+1000，收入函數(shù)為R(x)=20x-0.01x2，其中x為產(chǎn)量。為了確定企業(yè)的利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，我們需要分析成本和收入函數(shù)的單調(diào)性。通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，我們可以找到成本和收入函數(shù)的極值點(diǎn)，從而確定利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量。此外，函數(shù)單調(diào)性還可以用于分析市場(chǎng)供需關(guān)系、價(jià)格變化趨勢(shì)等問(wèn)題。通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，我們可以更好地理解經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的規(guī)律，從而做出更合理的決策。03第三章函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值極大值極小值極值判斷定理函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處的極大值是指：對(duì)于x?附近的所有點(diǎn)x，都有f(x?)>f(x)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處的極小值是指：對(duì)于x?附近的所有點(diǎn)x，都有f(x?)<f(x)。1.必要條件：若f(x)在x?處取得極值，且f'(x?)存在，則f'(x?)=0；2.充分條件：若f'(x?)=0，且在x?的左側(cè)和右側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，則x?是極值點(diǎn)。函數(shù)極值判斷例題1：判斷函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的極值解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0,2。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。因此，f(0)=2為極大值，f(2)=-2為極小值。例題2：判斷函數(shù)g(x)=x/(x2+1)的極值解：g'(x)=(-x2+1)/(x2+1)2。令g'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。因此，g(-1)=-1/2為極小值，g(1)=1/2為極大值。例題3：判斷函數(shù)h(x)=e^x-x的極值解：h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增。因此，h(0)=1為極小值。函數(shù)極值應(yīng)用求函數(shù)的最值判斷方程根的個(gè)數(shù)解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題步驟1：求導(dǎo)數(shù)；步驟2：找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟3：比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；步驟4：確定最值。步驟1：求導(dǎo)數(shù)；步驟2：找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟3：判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化；步驟4：確定方程根的個(gè)數(shù)。步驟1：建立目標(biāo)函數(shù)；步驟2：確定定義域；步驟3：求最值；步驟4：考慮實(shí)際意義。函數(shù)極值應(yīng)用案例函數(shù)極值在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常重要。例如，在物理學(xué)中，可以通過(guò)函數(shù)極值來(lái)分析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。假設(shè)一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移函數(shù)為s(t)=t3-6t2+9t+5，為了分析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們需要找到物體的速度和加速度的極值點(diǎn)。通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，我們可以找到速度函數(shù)s'(t)=3t2-12t+9和加速度函數(shù)s''(t)=6t-12的極值點(diǎn)，從而確定物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。此外，函數(shù)極值還可以用于分析化學(xué)反應(yīng)速率、生物生長(zhǎng)速率等問(wèn)題。通過(guò)研究函數(shù)的極值，我們可以更好地理解自然現(xiàn)象的規(guī)律，從而做出更合理的決策。04第四章生活中的優(yōu)化問(wèn)題生活中的優(yōu)化問(wèn)題生產(chǎn)計(jì)劃投資決策資源分配在生產(chǎn)計(jì)劃中，我們需要確定生產(chǎn)多少產(chǎn)品可以使利潤(rùn)最大化。這通常涉及到成本和收入函數(shù)的最值問(wèn)題。在投資決策中，我們需要確定投資哪些項(xiàng)目可以使收益最大化。這通常涉及到風(fēng)險(xiǎn)和收益函數(shù)的最值問(wèn)題。在資源分配中，我們需要確定如何分配資源可以使效率最大化。這通常涉及到資源利用和成本函數(shù)的最值問(wèn)題。優(yōu)化問(wèn)題案例案例1：生產(chǎn)計(jì)劃某工廠計(jì)劃用60米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形羊圈，如何設(shè)計(jì)羊圈的長(zhǎng)和寬，才能使羊圈的面積最大？解：設(shè)羊圈的長(zhǎng)為x米，寬為y米，則有2x+2y=60，即y=30-x。面積S=xy=x(30-x)=-x2+30x。S'(x)=-2x+30，令S'(x)=0，得x=15。S(15)=225，因此長(zhǎng)寬分別為15米和15米時(shí)面積最大。案例2：投資決策某投資者有100萬(wàn)元資金，可以選擇投資兩種不同的項(xiàng)目，項(xiàng)目A的年收益率為10%，風(fēng)險(xiǎn)率為5%；項(xiàng)目B的年收益率為15%，風(fēng)險(xiǎn)率為10%。如何分配資金可以使收益最大化？解：設(shè)投資項(xiàng)目A的資金為x萬(wàn)元，則投資項(xiàng)目B的資金為(100-x)萬(wàn)元。收益函數(shù)R(x)=0.1x+0.15(100-x)=15-0.05x。R'(x)=-0.05，令R'(x)=0，得x=300，但x不能超過(guò)100，因此x=100，即全部投資項(xiàng)目B。案例3：資源分配某學(xué)校有100名學(xué)生，需要分配到三個(gè)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室最多可以容納30名學(xué)生。如何分配學(xué)生可以使實(shí)驗(yàn)效率最大化？解：設(shè)分配到實(shí)驗(yàn)室1、實(shí)驗(yàn)室2和實(shí)驗(yàn)室3的學(xué)生人數(shù)分別為x、y和z，則有x+y+z=100，且x、y、z≤30。實(shí)驗(yàn)效率函數(shù)E(x,y,z)=1/x+1/y+1/z。通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，我們可以找到E(x,y,z)的極值點(diǎn)，從而確定如何分配學(xué)生可以使實(shí)驗(yàn)效率最大化。優(yōu)化問(wèn)題解決步驟建立目標(biāo)函數(shù)確定定義域求最值步驟1：確定優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)，例如利潤(rùn)最大化、成本最小化等；步驟2：根據(jù)目標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)。步驟1：確定優(yōu)化問(wèn)題的約束條件；步驟2：根據(jù)約束條件確定定義域。步驟1：求目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；步驟2：找到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟3：比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；步驟4：確定最值。優(yōu)化問(wèn)題解決案例優(yōu)化問(wèn)題在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常重要。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題來(lái)分析成本和收入的變化趨勢(shì)。假設(shè)某企業(yè)的成本函數(shù)為C(x)=10x+1000，收入函數(shù)為R(x)=20x-0.01x2，其中x為產(chǎn)量。為了確定企業(yè)的利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，我們需要建立目標(biāo)函數(shù)，即利潤(rùn)函數(shù)L(x)=R(x)-C(x)=10x-0.01x2-1000。通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，我們可以找到L(x)的極值點(diǎn)，從而確定利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量。此外，優(yōu)化問(wèn)題還可以用于分析市場(chǎng)供需關(guān)系、價(jià)格變化趨勢(shì)等問(wèn)題。通過(guò)研究?jī)?yōu)化問(wèn)題，我們可以更好地理解經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的規(guī)律，從而做出更合理的決策。05第五章導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以快速確定函數(shù)的增減區(qū)間，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，可以快速確定函數(shù)的局部最大值和最小值，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值，可以快速確定函數(shù)在整個(gè)定義域上的最大值和最小值，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。綜合應(yīng)用案例案例1：函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)性。解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0,2。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。案例2：函數(shù)的極值判斷函數(shù)g(x)=x/(x2+1)的極值。解：g'(x)=(-x2+1)/(x2+1)2。令g'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。因此，g(-1)=-1/2為極小值，g(1)=1/2為極大值。案例3：函數(shù)的最值判斷函數(shù)h(x)=e^x-x的最值。解：h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增。因此，h(0)=1為極小值。綜合應(yīng)用解決步驟求導(dǎo)數(shù)找極值點(diǎn)求最值步驟1：求目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；步驟2：分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化。步驟1：找到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；步驟2：判斷極值點(diǎn)。步驟1：比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；步驟2：確定最值。綜合應(yīng)用案例綜合應(yīng)用在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常重要。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以通過(guò)綜合應(yīng)用來(lái)分析成本和收入的變化趨勢(shì)。假設(shè)某企業(yè)的成本函數(shù)為C(x)=10x+1000，收入函數(shù)為R(x)=20x-0.01x2，其中x為產(chǎn)量。為了確定企業(yè)的利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，我們需要建立目標(biāo)函數(shù)，即利潤(rùn)函數(shù)L(x)=R(x)-C(x)=10x-0.01x2-1000。通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，我們可以找到L(x)的極值點(diǎn)，從而確定利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量。此外，綜合應(yīng)用還可以用于分析市場(chǎng)供需關(guān)系、價(jià)格變化趨勢(shì)等問(wèn)題。通過(guò)研究綜合應(yīng)用，我們可以更好地理解經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的規(guī)律，從而做出更合理的決策。06第六章導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像函數(shù)圖像的繪制單調(diào)性奇偶性周期性函數(shù)圖像的上升和下降部分表示函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間。函數(shù)圖