第1頁（共1頁）2025-2026學年浙江省杭州市拱墅區(qū)啟正中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）已知＝，則的值是（）A． B． C．2 D．2．（3分）函數(shù)是y＝x2向右平移2個單位后的解析式是（）A．y＝﹣x2+2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）23．（3分）把y＝x2﹣4x+5化為頂點式，得（）A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2+54．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點H．若AB＝10，則BH的長為（）A．5 B．4 C．3 D．25．（3分）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在網(wǎng)格線的交點上，E分別是邊BA，CA與網(wǎng)格線的交點，則DE的長為（）A． B．1 C． D．6．（3分）已知某二次函數(shù)，當x＜1時，y隨x的增大而減小，y隨x的增大而增大，則該二次函數(shù)的解析式可以是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）27．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是弧BE的中點．過點C作CD⊥AB于點G，若BE＝8，BG＝3（）A．4 B．5.5 C． D．8．（3分）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，CP與量角器的半圓弧交于點E，第24秒時（）A．48度 B．64度 C．96度 D．132度9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB長為半徑作弧，交BC于點D，D為圓心，大于，兩弧在BC下方交于點E；③連接AE交BC于點F．若BF＝2，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AF⊥BC B．AB＝3 C．∠B＝∠CAF D．AF2＝BF?CF10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，點D在邊AB上，點E在線段CD上，EG∥BC交AC于點G，若EF＝EG（）A．2 B． C． D．無法確定二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸是直線．12．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為CD邊上一點，連接EE′，若DE＝2．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為點D，如果AD＝BC＝1．14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，則∠D的度數(shù)為．15．（3分）拋物線y＝a（x﹣1）2+k的部分圖象如圖所示，則a+k＝．16．（3分）定義：有兩個內(nèi)角的差為90°的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點P為邊BC上一點，若△APC為“反直角三角形”．三、解答題（本題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）與B（﹣1，6）．（1）求b，c的值．（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標．（3）若0＜x＜3，求函數(shù)值y的取值范圍．18．（8分）如圖，已知DE∥BC，F(xiàn)E∥CD．（1）若AF＝3，AD＝5，AE＝4．求CE的長；（2）求證：．19．（8分）如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點E（1）＝；（2）EB＝ED．20．（8分）如圖，已知四邊形ABCD對角線AC，AC交于點E，連結(jié)AF，且∠BAC＝∠FAD＝∠CDB．（1）求證：△ABF∽△ACD．（2）若BC＝12，AD＝27，DF＝1821．（10分）某校初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高m，設籃球運行的軌跡為拋物線，建立如圖的平面直角坐標系．（1）求出拋物線的解析式；（2）若隊員與籃圈中心的水平距離為7m，籃圈距地面3m，問此球能否準確投中？22．（10分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，P在AB邊上，點E在P的右側(cè)．（1）若設PD為x，則△APD的面積是多少．（2）若P是AB邊上的動點，P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當E到達點B時，P停止運動，陰影部分面積S1+S2的最小值．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a為常數(shù)，且a≠0）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣2，0），求a的值．（2）若當x＞﹣1時，y隨x增大而減小，求a的取值范圍．（3）若a＞0，則關于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個根大于0小于1，求a取值范圍．24．（10分）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，求證：BC2＝BD?AB．【嘗試應用】（2）如圖2，在△AEC中，∠E＝90°，若∠A＝2∠ECD，ED?AC＝5【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝2，，點F是邊DA延長線上一點，過點C作∠FCE＝∠B交射線BA于點E，設AM＝x，求y關于x的函數(shù)關系式．

2025-2026學年浙江省杭州市拱墅區(qū)啟正中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DCBDBBCCBC一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）已知＝，則的值是（）A． B． C．2 D．【解答】解：由和比性質(zhì)，得＝＝，故選：D．2．（3分）函數(shù)是y＝x2向右平移2個單位后的解析式是（）A．y＝﹣x2+2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2【解答】解：函數(shù)是y＝x2向右平移2個單位后的解析式是y＝（x﹣4）2．故選：C．3．（3分）把y＝x2﹣4x+5化為頂點式，得（）A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2+5【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+5+1＝（x﹣2）8+1，故選：B．4．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點H．若AB＝10，則BH的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：連接OC，∵直徑AB＝10，∴OB＝OC＝5，∵AB⊥CD，AB過圓心O，∴∠OHC＝90°，CH＝DH＝4，由勾股定理得：OH＝＝＝6，∴BH＝OB﹣OH＝5﹣3＝8，故選：D．5．（3分）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在網(wǎng)格線的交點上，E分別是邊BA，CA與網(wǎng)格線的交點，則DE的長為（）A． B．1 C． D．【解答】解：如圖，由題意可知，∠AFD＝∠BGD＝90°，又∵∠ADF＝∠BDG，∴△ADF≌△BDG（AAS），∴AD＝BD，同理：AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝4，故選：B．6．（3分）已知某二次函數(shù)，當x＜1時，y隨x的增大而減小，y隨x的增大而增大，則該二次函數(shù)的解析式可以是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2【解答】解：∵二次函數(shù)，當x＜1時；當x＞1時，∴對稱軸是：x＝2，開口向上，A．y＝（x+1）2，對稱軸：x＝﹣3，故A選項不合題意；B．y＝2（x﹣1）3，故B選項符合題意；C．y＝﹣2（x+1）3，開口向下，故C選項不合題意；D．y＝﹣2（x﹣1）7，開口向下，故D選項不合題意；故選：B．7．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是弧BE的中點．過點C作CD⊥AB于點G，若BE＝8，BG＝3（）A．4 B．5.5 C． D．【解答】解：連接OD，如圖，∵CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴，CG＝DG，∵點C是的中點，∴，∴，∴CD＝BE＝8，∴，∵OG＝r﹣3，OD＝r，∴62+（r﹣3）4＝r2，解得，∴⊙O的半徑為．故選：C．8．（3分）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，CP與量角器的半圓弧交于點E，第24秒時（）A．48度 B．64度 C．96度 D．132度【解答】解：連接OE，∵∠ACB＝90°，∴A，B，C在以點O為圓心，∴點E，A，B，C共圓，∵∠ACE＝2×24°＝48°，∴∠AOE＝2∠ACE＝96°．∴點E在量角器上對應的讀數(shù)是：96°．故選：C．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB長為半徑作弧，交BC于點D，D為圓心，大于，兩弧在BC下方交于點E；③連接AE交BC于點F．若BF＝2，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AF⊥BC B．AB＝3 C．∠B＝∠CAF D．AF2＝BF?CF【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，AF是△ABC底邊BC上的高線，∴AF⊥BC，故選項A正確；∴∠B+∠BAF＝90°．∵∠CAF+∠BAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，故選項C正確；∵∠AFB＝∠CFA＝90°，∴Rt△ABF∽Rt△CAF，∴，∴AF2＝BF?CF，故選項D正確；∵BF＝2，CF＝2，∴，在Rt△ABF中，由勾股定理得，，故選項B錯誤，符合題意；故選：B．10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，點D在邊AB上，點E在線段CD上，EG∥BC交AC于點G，若EF＝EG（）A．2 B． C． D．無法確定【解答】解：過點D作DH∥BC，由題意可得：EG∥BC∥DH，∴△CEG∽△CDH，∴，同理可得，∴，∴EF＝EG，∴BD＝DH，∵DH∥BC，∴△ADH∽△ABC，∴即，∴．故選：C．二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸是直線x＝1．【解答】解：解法1：利用公式法y＝ax2+bx+c的頂點坐標公式為（，），代入數(shù)值求得對稱軸是直線x＝1；解法2：利用配方法y＝x5﹣2x﹣3＝x3﹣2x+1﹣7＝（x﹣1）2﹣4，故對稱軸是直線x＝1．故答案為：x＝1．12．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為CD邊上一點，連接EE′，若DE＝24．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為6，DE＝2，∴AE6＝AB2+DE2＝40，∵將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)至△ABE′，∴∠E'AE＝∠BAD＝90°，AE'＝AE，∴EE'＝＝＝4．故答案為：4．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為點D，如果AD＝BC＝1．【解答】解：∵CD⊥AB于點D，∴∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CDB＝∠ACB，∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC，∴＝，∴BD?BA＝BC2，∴AD＝BC＝1，∴BD（BD+4）＝1，解得BD＝或BD＝，舍去），故答案為：．14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，則∠D的度數(shù)為25°．【解答】解：∵∠COD和∠CAD都對，∴∠CAD＝∠COD＝，∵OD∥AC，∴∠D＝∠COD＝25°．故答案為：25°．15．（3分）拋物線y＝a（x﹣1）2+k的部分圖象如圖所示，則a+k＝3．【解答】解：由圖象可知，拋物線經(jīng)過點（0，∴3＝a（6﹣1）2+k，∴a+k＝7，故答案為：3．16．（3分）定義：有兩個內(nèi)角的差為90°的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點P為邊BC上一點，若△APC為“反直角三角形”或．【解答】解：∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＞∠B，∴∠APC＞∠C，若△APC為“反直角三角形”，①當∠APC﹣∠C＝90°時，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC＝5，BC＝5，∴，∴，∵∠B＝∠C，∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°，∴△ADB∽△PAB，∴，∴，∴；②當∠APC﹣∠CAP＝90°時，過點P作PM⊥BC交AC于點M，∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°，∴∠CAP＝∠APM，∴AM＝PM，∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴PM∥AD，∴△CMP∽△CAD，∴，設CP＝x，則BP＝8﹣x，∴，∴，CM＝，∴AC＝AM+CM＝PM+CM＝，∴x＝，∴BP＝；③當∠CAP＝∠C+90°時，如圖，連接AE，過點E作EF⊥AC于F，則∠EAC＝∠C，∠ADE＝∠PAE＝90°，又∵∠AED＝∠PEA，∴△AED∽△PEA，∴＝，∵CE＝AE，EF⊥AC，∴AF＝CF＝AC＝，∵∠ADC＝∠EFC＝90°，∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAD，∴＝，即＝，∴CE＝＝AE，∴DE＝CD﹣CE＝，同理可得：△AED∽△PEA，∴＝，即＝，∴PE＝，又∵BE＝BC﹣CE＝，＞，∴PE＞BE，即點P在CB的延長線上；④當∠CAP＝∠APC+90°時，∵當點P與點B重合時，∠APC最小，同③理可證，此種情況不存在；綜上可知，BP的長為或，故答案為：或．三、解答題（本題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）與B（﹣1，6）．（1）求b，c的值．（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標．（3）若0＜x＜3，求函數(shù)值y的取值范圍．【解答】解：（1）把點A（3，0）和B（﹣22+bx+c，，解得，∴b＝，c＝；（2）由（1）得解析式為：y＝﹣x2+x，頂點橫坐標x＝﹣＝，代入求縱坐標y＝，所以頂點：（，）；（3）已知y＝﹣x2+x，∴開口向下，頂點（，）是最大值點，對稱軸為直線x＝，∴8＜x＜時，函數(shù)單調(diào)遞增，y有最小值，時，函數(shù)單調(diào)遞減時，y有最大值，當x＝8時，有最小值，又∵，∴當0＜x＜7時，0．18．（8分）如圖，已知DE∥BC，F(xiàn)E∥CD．（1）若AF＝3，AD＝5，AE＝4．求CE的長；（2）求證：．【解答】（1）解：由題意可知：DF＝AD﹣AF＝5﹣3＝3，∵FE∥CD，∴，即，∴；（2）證明：由題意可知：，∵FE∥CD，∴，∴．19．（8分）如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點E（1）＝；（2）EB＝ED．【解答】證明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝；（2）∵＝，∴∠B＝∠D，∴EB＝ED．20．（8分）如圖，已知四邊形ABCD對角線AC，AC交于點E，連結(jié)AF，且∠BAC＝∠FAD＝∠CDB．（1）求證：△ABF∽△ACD．（2）若BC＝12，AD＝27，DF＝18【解答】（1）證明：已知四邊形ABCD對角線AC，AC交于點E，∴∠BAC+∠CAF＝∠FAD+∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD，∵∠DAF+∠ADB＝∠AFB，∠ADC＝∠ADF+∠CDB，∴∠AFB＝∠ADC，∴△ABF∽△ACD；（2）解：∵△ABF∽△ACD，∴，∴，∵∠BAC＝∠FAD，∴△BAC∽△FAD，∴，∵BC＝12，AD＝27，∴，∴AC＝18．21．（10分）某校初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高m，設籃球運行的軌跡為拋物線，建立如圖的平面直角坐標系．（1）求出拋物線的解析式；（2）若隊員與籃圈中心的水平距離為7m，籃圈距地面3m，問此球能否準確投中？【解答】解：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形可得，球出手時的坐標為（0，），2），設拋物線解析式為：y＝a（x﹣4）2+2，將點（0，）代入y＝a（x﹣8）2+4可得：＝16a+4，∴a＝﹣，則拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣5）2+4；（2）令x＝4，則y＝﹣，即點（7，3）在拋物線上，所以此球能準確投中．22．（10分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，P在AB邊上，點E在P的右側(cè)．（1）若設PD為x，則△APD的面積是多少．（2）若P是AB邊上的動點，P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當E到達點B時，P停止運動，陰影部分面積S1+S2的最小值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∴AB＝＝5，設AB邊上的高為h，∴h＝＝，∵PD⊥AC，∴PD∥BC，∴△ADP∽△ACB，∴＝，∴AD＝x，PA＝x，∴△APD的面積＝PD?AD＝x＝x5；（2）由（1）可知：BE＝AB﹣AP﹣PE＝5﹣x﹣1＝4﹣x，∴S1+S6＝x7+（6﹣＝x4﹣2x+＝（x﹣）2+，∴當x＝時，S1+S2的最小值為．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a為常數(shù)，且a≠0）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣2，0），求a的值．（2）若當x＞﹣1時，y隨x增大而減小，求a的取值范圍．（3）若a＞0，則關于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一個根大于0小于1，求a取值范圍．【解答】解：（1）將點（﹣2，0）代入二次函數(shù)y＝ax3+（a﹣2）x﹣2（a為常數(shù)，且a≠4）得：4a﹣2（a﹣8）﹣2＝0，解得a＝﹣3；（2）∵二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣2）x﹣5（a為常數(shù)，且a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣，二次函數(shù)圖象開口向上，y隨x的增大而