第1章解直角三角形

1.銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).2.正弦、余弦、正切的定義如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：正弦sinsinA余弦coscosA正切tantanA3.sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“∠”，但不能寫(xiě)成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫(xiě)成sin∠BAC，而不能寫(xiě)出sinBAC.sin2A表示(sinA)2，而不能寫(xiě)成sinA2.三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成sinα，cosβ等.4.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；*（2）同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA5.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinA123cosA321tanA3136.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：（1）角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；（2）邊邊關(guān)系：勾股定理，即a2（3）邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即7.解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由tanA=ab求∠B=90°－∠A，c=斜邊，一直角邊(如c，a)由sinA=ac求∠B=90°－∠A，b=一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，a=c=銳角、對(duì)邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，c=b=斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，a=b=8.常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題常識(shí)坡度：i=1：m；坡角i=方位角仰角與俯角9.解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般過(guò)程(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.10.用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是：1.混淆銳角三角函數(shù)sin、cos和tan的定義錯(cuò)誤：對(duì)銳角三角函數(shù)的定義不熟悉，導(dǎo)致做題時(shí)張冠李戴。注意：銳角的三角函數(shù)是銳角所在直角三角形三邊中其中兩邊的比的值，因此容易混淆。在平時(shí)要多使用，多練習(xí)，記憶并熟練。例1（2425九年級(jí)下·甘肅·課后作業(yè)）分別求出下列直角三角形中∠A【答案】sinA=【分析】根據(jù)勾股定理，可得直角三角形的另一邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，可得答案．【詳解】解：對(duì)于圖1中的直角三角形，由勾股定理，得AC=∴sin對(duì)于圖2中的直角三角形，由勾股定理，得AB=∴sin2.特殊銳角的三角函數(shù)值不熟悉或混淆錯(cuò)誤：特殊的銳角函數(shù)值一共有三組9個(gè)，在使用時(shí)混淆。注意：熟練記憶特殊的銳角三角函數(shù)值，并能在遇到特殊角時(shí)進(jìn)行運(yùn)用。例2（2526九年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)cos30°(2)tan30°【答案】(1)12(2)【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，代入式子計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，代入式子計(jì)算即可．【詳解】（1）解：cos===1（2）解：tan====0．3.勾股定理結(jié)合銳角三角函數(shù)解直角三角形錯(cuò)誤：在計(jì)算直角三角形中的邊時(shí)，只使用剛學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)知識(shí)，不能結(jié)合勾股定理求解。注意：回顧勾股定理，已知直角三角形的兩條直角邊a，b和斜邊c，則有：a2+b例3（2526九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=14，AD=12，tan【答案】sinC=【分析】本題主要考查了正切、正弦、余弦的定義，勾股定理，由正切的定義求出BD，由線段的和差求出DC，再根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)正弦和余弦的定義分別求出sinC和cos【詳解】解：∵AD⊥∴∠ADB在Rt△ABD中，∵∴BD=9∵BC=14∴DC=∴AC=∴sinC=AD4.結(jié)合已知條件求直角三角形的其他元素（邊或角）錯(cuò)誤：常見(jiàn)的錯(cuò)誤：①錯(cuò)誤使用勾股定理；②當(dāng)已知（除直角這個(gè)條件外）一邊一角時(shí)，不能使用合適的銳角三角函數(shù)來(lái)求出更多的邊長(zhǎng)注意：參考知識(shí)清單中第7條，已知不同情況的一邊一角時(shí)，使用合適的銳角三角函數(shù)來(lái)求其他邊長(zhǎng)。例4（2526九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，AD是邊BC上的高，E是邊AC的中點(diǎn)，BC=AD(1)線段BD的長(zhǎng)；(2)∠EDC【答案】(1)15(2)4【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；熟練利用三角函數(shù)及勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（1）由三角函數(shù)得cosB=BDAB=35，設(shè)BD（2）由直角三角形的特征得DE=CE=【詳解】（1）解：∵AD是邊BC上的高，cosB∴cosB∴設(shè)BD=3x，∴=4x∴4解得：x=5∴BD（2）解：∵E是邊AC的中點(diǎn)，AD是邊BC上的高，∴DE∴∠DCE∵BC=∴CD∴tan∠5.作垂線構(gòu)成直角三角形求角的三角函數(shù)值錯(cuò)誤：不能掌握在沒(méi)有直角三角形的環(huán)境下求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，或已知一個(gè)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)時(shí)求線段長(zhǎng)的方法。注意：通過(guò)合適的方式做垂線，構(gòu)成直角三角形。在直角三角形中，可以結(jié)合線段長(zhǎng)求出銳角三角函數(shù)值，也可以結(jié)合已知的銳角三角函數(shù)值就可以求出其他的線段長(zhǎng)。例5（2526九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則tanC的值是【答案】4【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用，在直角三角形中銳角的正切為對(duì)邊比鄰邊，構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形△CBD如圖所示，點(diǎn)D在格點(diǎn)上，從而可以求出tan【詳解】解：構(gòu)造直角三角形△CBD如圖所示，點(diǎn)D由圖可得tanC故答案為：43例6（2025九年級(jí)·浙江·學(xué)業(yè)考試）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，連結(jié)AE,BE，點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F在BE上．若AD=6,DE=2，則BF的長(zhǎng)為【答案】46【分析】連結(jié)AF，利用直線平行的性質(zhì)證明∠BEC=∠C，從而得到BE=BC，進(jìn)而可求BF；作AM⊥BF于點(diǎn)M，作FN⊥【詳解】解：如圖，連結(jié)AF，∵點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F在BE上，∴△AFE∵四邊形ABCD是菱形，∴FE∵AD∴∠BEC∴BE∴BF作AM⊥BF于點(diǎn)M，作FN⊥AE于點(diǎn)∴AM∴AE∵S∴FN∴sin故答案為：4，696.通過(guò)幾何性質(zhì)中的等角關(guān)系間接求角的三角函數(shù)值錯(cuò)誤：對(duì)幾何圖形的性質(zhì)不熟悉，需要求三角函數(shù)值的角找不到已知條件和直角三角形的環(huán)境。注意：在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的幾何圖形的知識(shí)中，可以通過(guò)圖形的性質(zhì)找到所求角的等角，如通過(guò)平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角的性質(zhì)；通過(guò)全等三角形、相似三角形的性質(zhì)；通過(guò)特殊四邊形的性質(zhì)；圓周角的性質(zhì)等。要根據(jù)所給的已知條件使用合適的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)移所求角所在的位置。例7（2526九年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C，D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則tan∠BPC的值是【答案】2【分析】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，勾股定理的逆定理，求一個(gè)角的正切值，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．取格點(diǎn)E，連接AE、BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠BPC，證明【詳解】解：取格點(diǎn)E，連接AE、BE，如圖所示：根據(jù)圖形可知：BE∥∴∠ABE∵AE=22+2又∵22∴△ABE∴tan∠故答案為：2．例8（2021·湖南株洲·三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則cos∠【答案】5【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，圓周角定理，求余弦，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD=90°，∠【詳解】解：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD=90°∵AO=∴AD=2∵AB=4∴BD=∴cos∠故答案為：557.坡度的概念錯(cuò)誤：認(rèn)為坡度i=1：m是坡角的對(duì)邊比斜邊的結(jié)果。注意：坡度i=1：m表示的是在以坡角為α的斜坡直角三角形中，對(duì)邊比上鄰直角邊的結(jié)果。例9（2526九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，扶梯AB的坡度為4:3，滑梯CD的坡度為1:2．滑梯的高BE=CF，設(shè)AE=3米，BC=3米，【答案】8+45/【分析】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握坡比的定義是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度和已知條件即可求出BE、CF和DF，再根據(jù)勾股定理即可求出AB和【詳解】解：∵扶梯AB的坡度（BE與AE長(zhǎng)度之比）為4:3，AE=3∴BE=4∴AB=∵CF=BE=4米，CD的坡度（CF與DF長(zhǎng)度之比）為1:2∴FD=2∴CD=∴經(jīng)過(guò)的路程=AB故答案為：8+45．8.根據(jù)方位角的描述或根據(jù)仰角俯角的描述作圖探究錯(cuò)誤：不熟悉方位角的描述或仰角俯角的描述，也不能根據(jù)題意作圖，構(gòu)成三角形并解直角三角形。注意：一般關(guān)于方位角的數(shù)學(xué)問(wèn)題，或關(guān)于仰角俯角的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要進(jìn)行作圖，或連結(jié)關(guān)鍵點(diǎn)，或作垂線構(gòu)成直角三角形。比如如下方式，這些都是解決此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的方式。南偏東75°南偏東75°北偏東45°北偏西30°仰角30°俯角45°例10（2024九年級(jí)上·山東青島·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，【答案】75【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°∴∠PAB=90°，∴∠B在Rt△PAB中，PB=即：此時(shí)與燈塔P的距離約為75海里．故答案為：75．例11（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某翼裝飛行員從離水平地面高500米的A處出發(fā)，沿著俯角為30度的方向直線滑行160米到達(dá)D點(diǎn)，然后打開(kāi)降落傘以60度的俯角降落到地面上的B點(diǎn)．求他飛行的水平距離．【答案】運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離約為2203【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，得出四邊形ECFD是矩形，則EC=DF，進(jìn)而解Rt△【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分別為由已知可得∠ADE=30°，∵AC∴四邊形ECFD是矩形，∴EC在Rt△ADE中，∠ADE∴AEDE=∴CF∵EC∴EC在Rt△DBF中，∴BC=∴運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離約為22039.數(shù)學(xué)建模解決生活中的實(shí)際問(wèn)題錯(cuò)誤：實(shí)際生活中的物體，不能解構(gòu)成簡(jiǎn)單的幾何圖形，然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。注意：解構(gòu)實(shí)際應(yīng)用中的幾何圖形，然后作必要的輔助線（一般是連結(jié)線段或作垂線），結(jié)合求解直角三角形的知識(shí)求出必要的線段長(zhǎng)，解決實(shí)際問(wèn)題。例12（2425九年級(jí)下·甘肅武威·期中）隨著多媒體教學(xué)的普及，很多教學(xué)場(chǎng)景都引入了投影儀(如圖1)，如圖2是投影儀安裝截面圖，某數(shù)學(xué)課題研究小組打算對(duì)投影屏幕下邊沿C離教室頂部的高度進(jìn)行測(cè)量，具體過(guò)程如下：方案設(shè)計(jì)：投影儀垂直于地面，先測(cè)量出吊臂AD、投影屏幕BC的長(zhǎng)度，再選取點(diǎn)A，C兩處分別測(cè)得∠BAC和∠ACB的度數(shù)(E，B，C，F(xiàn)在同一條直線上數(shù)據(jù)收集：通過(guò)測(cè)量得知：投影儀的光線夾角∠BAC=45°，∠ACB=30°，吊臂AD為0.5m問(wèn)題解決：求屏幕下邊沿C離教室頂部的高度CE(結(jié)果保留一位小數(shù))．參考數(shù)據(jù)：3根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．【答案】2.4米【分析】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能作出正確的輔助線．過(guò)B作BG⊥AC于G，過(guò)A作AH⊥EF于H，則利用三角函數(shù)知識(shí)在Rt△BCG中，算出BG與CG，在Rt△ABG中，算出AG，從而可得【詳解】解：過(guò)B作BG⊥AC于G，過(guò)A作AH⊥在Rt△BCG中，BG=BCsin30°=1.6×1在Rt△ABG中，AG=∴AC=AG+在Rt△ACH中，CH=∴CE=CH+答：屏幕下邊沿C離教室頂部的高度CE約為2.4米．例13（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是某小車(chē)側(cè)面示意圖，圖2是該車(chē)后備廂開(kāi)啟側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）且AC=BD，AF∥BE，sin∠BAF=0.8，箱蓋開(kāi)起過(guò)程中，點(diǎn)A，C，F(xiàn)不隨箱蓋轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)B，D，E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)B'，D'，E(1)求AB的長(zhǎng)度．(2)求CD【答案】(1)20(2)40【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BE于P，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于H，解Rt△（2）設(shè)CD=xcm，則AC=BD=20【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BE于P，過(guò)點(diǎn)B'作B則∠APB∵AF∥∴∠ABP∴sin∠在Rt△ABP中，設(shè)AP=4k，則∴BP=∴cos∠∴BP=由BE旋轉(zhuǎn)一定角度后得到B'E'可知：旋轉(zhuǎn)角度為90°，即∠BAB∵∠PAB+∠∴∠D∴B'∵BE⊥∴∠B∴四邊形B'∴PE∴BE∵BE∴75∴AB=20（2）解：設(shè)CD=xcm，則AC=BD∵∠D∴AC∴207解得x=20，或x∴CD'1．（2526九年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）sin30°的值是（

）A．1 B．33 C．12 D【答案】C【分析】本題考查了特殊三角形的三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用求解．根據(jù)特殊三角形的三角函數(shù)求解．【詳解】解：sin30°=1故選：C．2．（2526九年級(jí)上·山東·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，ACA．32 B．23 C．35【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A根據(jù)正切的定義解答即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，則tanA故選：B．3．（2526九年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，則BD的長(zhǎng)度為（A．53 B．52 C．5 D【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．連接AC交BD于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，OB=OD=【詳解】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=∴∠BAC∴在Rt△OB=∴BD=2故選：A．4．（2024九年級(jí)上·山東青島·專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示8×8的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)E，則∠AEDA．2 B．12 C．23 D【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，如圖，取格點(diǎn)K，連接AK，BK．觀察圖形可知AK⊥BK，BK=2AK，BK∥【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)K，連接AK，BK，則BK∥觀察圖形可得：AK=13，BK=2∴AK2+∴AK⊥∵BK∥∴∠AED∴tan∠故選：B．5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是一輛小汽車(chē)與墻平行停放的平面示意圖，汽車(chē)靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為a，一輛小汽車(chē)車(chē)門(mén)寬AO為b，當(dāng)車(chē)門(mén)打開(kāi)角度∠AOB為α?xí)r，車(chē)門(mén)邊緣的點(diǎn)A處與墻的距離為（

A．a(chǎn)-bsinα B．a(chǎn)-btan【答案】A【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，解三角形求出【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)在Rt△ACO∴車(chē)門(mén)邊緣的點(diǎn)A處與墻的距離為a-故選：A．6．（2526九年級(jí)上·山東·階段練習(xí)）構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用，小康在計(jì)算tan22.5°時(shí)，構(gòu)造出如圖所示的圖形：在Rt△ACD中，∠C=90°，∠ABC=45°，延長(zhǎng)CB到D，BD=AB，連接A．2+1 B．2-1 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)比，二次根式分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì)．令BC=1，得出AC=BC【詳解】解：令BC=1∵∠C=90°，∴△ABC∴AC=由勾股定理得AB=∴BD=∴tan22.5°=AC故選：B．7．（2526九年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）河堤橫斷面如圖所示，斜坡AB的坡度=1:3，AB=6m，則BC【答案】3m【分析】本題考查了坡度的定義、銳角三角函數(shù)（正切函數(shù)）的應(yīng)用以及直角三角形中30°角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解坡度與直角三角形兩直角邊的比例關(guān)系，將坡度轉(zhuǎn)化為正切值求出銳角角度，再利用特殊角的直角三角形性質(zhì)計(jì)算直角邊長(zhǎng)度．Rt△ABC中，斜坡AB的坡度=1:3【詳解】解：Rt△ABC中，tan∠BAC=∴∠BAC∵BC⊥∴8．（2526九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA【答案】5【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．利用正弦值設(shè)．BC=2k，AB=3【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C∴BC設(shè)BC=2k，由勾股定理得：AC=∴cos故答案為：539．（2425九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，無(wú)人機(jī)于空中A處測(cè)得某建筑頂部B處的仰角為45°，測(cè)得該建筑底部C處的俯角為17°．若無(wú)人機(jī)的飛行高度AD為62m，則該建筑的高度BC為m．（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【答案】262【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角的含義并熟練地運(yùn)用三角函數(shù)解決問(wèn)題是關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則AD=CE=62m【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為∵AE⊥∴∠ADC∴四邊形ADCE是矩形，則AD=在Rt△AEC中，∴AE=在Rt△ABE中，∴BE=∴BC=∴該建筑的高度BC約為262m．故答案為：262．10．（2526九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，cosB=23【答案】3【分析】本題考查了直角三角形的邊角間關(guān)系及直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系．掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，是解決本題的關(guān)鍵．先根據(jù)銳角三角函數(shù)的邊角間關(guān)系，求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的斜邊中線與斜邊的關(guān)系得結(jié)論．【詳解】

解：在Rt△ABC∵cosB=23∴AB=6．∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，

∴CM=1故答案為311．（2526九年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）計(jì)算、化簡(jiǎn)求值：(1)sin60°+cos30°-tan60°；(2)先化簡(jiǎn)，再求值：a-4a÷a【答案】(1)0(2)1【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解．（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算求值即可；（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，求得a2-4【詳解】（1）解：sin60°+cos30°-tan60°==0；（2）解：a=======a∵a2即a2∴原式=a12．（2526九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，在圖①、圖②，圖③中，只用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖，只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法．(1)在圖①中畫(huà)∠ABC，使tan(2)在圖②中畫(huà)∠ABD，使tan(3)在圖③中畫(huà)∠ABE，使tan【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)見(jiàn)詳解【分析】該題是格點(diǎn)作圖題，考查了角的正切，相似三角形的性質(zhì)和判定．（1）取格點(diǎn)C，使AC=4，連接BC，則∠（2）取格點(diǎn)D，使AD=2，連接BD，則∠（3）取格點(diǎn)F,H，連接FH交AG于點(diǎn)E，連接BE，則【詳解】（1）解：如圖，∠ABC即為所求；tan（2）解：如圖，∠ABD即為所求；tan（3）解：如圖，∠ABE∵AF∥∴△FAE∵AF=1,∴AEEG∴AE=∴tan∠13．（2425九年級(jí)下·甘肅·課后作業(yè)）圖1是一臺(tái)工業(yè)用機(jī)械臂，圖2是其示意圖，O-A-B部分固定不變，BC部分可以旋轉(zhuǎn)，CD為鉛垂吊繩，OM表示水平地面，AO⊥OM于點(diǎn)O，且AO=70cm,∠BAO=160°,BC∥OM,CD=80cm．將BC繞點(diǎn)B向下旋轉(zhuǎn)45°，使得【答案】點(diǎn)B到水平地面OM的距離約為447.1cm【分析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握通過(guò)作輔助線將復(fù)雜線段分解，利用三角函數(shù)和矩形性質(zhì)計(jì)算各部分長(zhǎng)度，再求和得到最終距離是解題的關(guān)鍵．通過(guò)作輔助線，將點(diǎn)B到地面的距離分解為多個(gè)線段的和，利用三角函數(shù)和已知線段長(zhǎng)度分別計(jì)算各部分，最終求和得到總距離．