2025年線性代數(shù)向量組的線性相關性試題一、單項選擇題（每題3分，共30分）設向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,t)^T$，$\alpha_3=(3,6,9)^T$線性相關，則常數(shù)$t$的取值范圍是（）A.$t=6$B.$t\neq6$C.$t=0$D.任意實數(shù)解析：向量組構成矩陣$\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&6\3&t&9\end{pmatrix}$，通過初等行變換化為$\begin{pmatrix}1&2&3\0&t-6&0\0&0&0\end{pmatrix}$。當$t=6$時秩為1，線性相關；當$t\neq6$時秩為2，仍線性相關（因向量個數(shù)3>秩2）。故無論$t$為何值，向量組均線性相關，選D。已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，則下列向量組中線性無關的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$B.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$C.$\alpha_1,2\alpha_2,3\alpha_3+\alpha_1$D.$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,2\alpha_1-3\alpha_2,4\alpha_3$解析：對選項A，設$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$，整理得$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$。由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$無關，得$k_1+k_3=0$，$k_1+k_2=0$，$k_2+k_3=0$，解得$k_1=k_2=k_3=0$，故線性無關，選A。設$A$為$m\timesn$矩陣，且$m<n$，則（）A.$A$的行向量組線性相關B.$A$的列向量組線性相關C.$A$的行向量組線性無關D.$A$的列向量組線性無關解析：根據(jù)定理“當向量個數(shù)大于維數(shù)時必線性相關”，$A$有$n$個列向量（維數(shù)$m$），因$n>m$，故列向量組線性相關，選B。向量組$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,1)^T$，$\alpha_4=(1,2,3)^T$的秩為（）A.1B.2C.3D.4解析：向量組構成矩陣的秩等于極大無關組個數(shù)。前三個向量構成的行列式$\begin{vmatrix}1&1&1\0&1&1\0&0&1\end{vmatrix}=1\neq0$，故秩為3，選C。設$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是齊次方程組$Ax=0$的基礎解系，則下列向量組中不是$Ax=0$基礎解系的是（）A.$\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$C.$\alpha_1,2\alpha_2,3\alpha_3$D.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$解析：基礎解系需線性無關且含3個向量。選項D中，$(\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_1)=0$，線性相關，故選D。設$A$為3階方陣，且$R(A)=2$，則$A$的列向量組中（）A.必有2個列向量線性無關B.任意2個列向量線性無關C.必有1個列向量為零向量D.任意1個列向量可由其他列向量線性表示解析：矩陣的秩等于列秩，故列向量組秩為2，存在2個線性無關的列向量，選A。向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$線性相關的充要條件是（）A.含有零向量B.有兩個向量對應分量成比例C.至少有一個向量可由其余向量線性表示D.每個向量可由其余向量線性表示解析：根據(jù)線性相關定義，選C。A、B是充分非必要條件，D是不必要條件。設$A,B$為$n$階方陣，且$AB=0$，則（）A.$A$的列向量組線性相關B.$B$的列向量組線性相關C.$A$與$B$的列向量組均線性相關D.以上都不對解析：若$A$可逆，則$B=0$，此時$B$的列向量組線性相關；若$A$不可逆，$R(A)<n$，$B$的列向量是$Ax=0$的解，解空間維數(shù)$n-R(A)\geq1$，故$B$的列向量組線性相關，選B。設向量$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性表示，但不能由$\alpha_1,\alpha_2$線性表示，則（）A.$\alpha_3$可由$\alpha_1,\alpha_2,\beta$線性表示B.$\alpha_3$不可由$\alpha_1,\alpha_2,\beta$線性表示C.$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_3$線性表示D.$\alpha_1$可由$\alpha_2,\alpha_3,\beta$線性表示解析：設$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$，因$\beta$不能由$\alpha_1,\alpha_2$表示，故$k_3\neq0$，則$\alpha_3=\frac{1}{k_3}\beta-\frac{k_1}{k_3}\alpha_1-\frac{k_2}{k_3}\alpha_2$，選A。設$n$維向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，則向量組$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$的秩為（）A.1B.2C.3D.與$n$有關解析：向量組$\beta_1,\beta_2,\beta_3$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性表示，矩陣$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{pmatrix}$，中間矩陣行列式為2≠0，可逆，故兩向量組等價，秩均為3，選C。二、填空題（每題3分，共18分）向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$，$\alpha_3=(3,6,k)^T$線性相關，則$k=$______。答案：9解析：向量組秩小于3，行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\2&4&6\3&6&k\end{vmatrix}=0$，解得$k=9$。設$\alpha=(1,2,3)$，$\beta=(3,2,1)$，則$\alpha$與$\beta$的內積為______，夾角余弦為______。答案：10，$\frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac{5}{7}$解析：內積$\alpha\cdot\beta=1\times3+2\times2+3\times1=10$，$||\alpha||=\sqrt{14}$，$||\beta||=\sqrt{14}$，夾角余弦$\cos\theta=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$。向量組$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(1,1,0)$的極大無關組為______。答案：$\alpha_1,\alpha_2$（或$\alpha_1,\alpha_3$，或$\alpha_2,\alpha_3$）解析：向量組秩為2，任意兩個向量線性無關。設$A$為$4\times5$矩陣，且$R(A)=3$，則$Ax=0$的基礎解系含______個解向量。答案：2解析：基礎解系維數(shù)$=n-R(A)=5-3=2$。設$\alpha_1=(1,a,1)^T$，$\alpha_2=(a,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,1,a)^T$線性無關，則$a$的取值范圍是______。答案：$a\neq1$且$a\neq-2$解析：行列式$\begin{vmatrix}1&a&1\a&1&1\1&1&a\end{vmatrix}=(a-1)^2(a+2)\neq0$，解得$a\neq1$且$a\neq-2$。設$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，$\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3$，則向量組$\alpha_1,\alpha_2,\beta$的秩為______。答案：3解析：$\beta$不能由$\alpha_1,\alpha_2$表示（因含$\alpha_3$），故$\alpha_1,\alpha_2,\beta$線性無關，秩為3。三、解答題（共52分）1.（10分）設向量組$\alpha_1=(1,1,1,3)^T$，$\alpha_2=(-1,-3,5,1)^T$，$\alpha_3=(3,2,-1,p+2)^T$，$\alpha_4=(-2,-6,10,p)^T$。（1）$p$為何值時，該向量組線性無關？（2）$p$為何值時，該向量組線性相關？并求出此時的秩和一個極大無關組。解析：對矩陣$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$作初等行變換：$$\begin{pmatrix}1&-1&3&-2\1&-3&2&-6\1&5&-1&10\3&1&p+2&p\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&3&-2\0&-2&-1&-4\0&6&-4&12\0&4&p-7&p+6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&3&-2\0&-2&-1&-4\0&0&-7&0\0&0&p-9&p-2\end{pmatrix}$$（1）當$p-9\neq0$即$p\neq9$時，秩為4，線性無關。（2）當$p=9$時，秩為3，線性相關。極大無關組可取$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$（此時$\alpha_4=2\alpha_2$）。2.（12分）設$\alpha_1=(1,0,2,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,0,1)^T$，$\alpha_3=(2,1,3,0)^T$，$\alpha_4=(2,5,-1,4)^T$，$\alpha_5=(1,-1,3,-1)^T$。求該向量組的秩及一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示。解析：矩陣$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)$初等行變換如下：$$\begin{pmatrix}1&1&2&2&1\0&2&1&5&-1\2&0&3&-1&3\1&1&0&4&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&2&2&1\0&2&1&5&-1\0&-2&-1&-5&1\0&0&-2&2&-2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&2&2&1\0&2&1&5&-1\0&0&0&0&0\0&0&1&-1&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&1&0\0&1&0&3&-1\0&0&1&-1&1\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$秩為3，極大無關組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$。表達式：$\alpha_4=\alpha_1+3\alpha_2-\alpha_3$，$\alpha_5=0\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3$。3.（10分）設$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，證明：向量組$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$線性無關。證明：設$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$，即$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$，整理得：$$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$$因$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$無關，故系數(shù)全為零：$$\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases}$$解得$k_1=k_2=k_3=0$，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$線性無關。4.（10分）設$A$是$m\timesn$矩陣，$B$是$n\timesm$矩陣，且$m>n$。證明：$AB$不可逆。證明：$R(AB)\leq\min{R(A),R(B)}\leqn$（因$A$列數(shù)為$n$，$B$行數(shù)為$n$）。又$AB$為$m$階方陣，$m>n$，故$R(AB)\leqn<m$，則$|AB|=0$，因此$AB$不可逆。5.（10分）設$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性無關，$\beta$可由$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$線性表示，且表示式中$\alpha_s$的系數(shù)不為零。證明：$\alpha_1,\cdots,\alpha_{s-1},\beta$線性無關。證明：設$\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$，且$k_s\neq0$。假設$t_1\alpha_1+\cdots+t_{s-1}\alpha_{s-1}+t_s\beta=0$，代入$\beta$得：$$(t_1+t_sk_1)\alpha_1+\cdots+(t_{s-1}+t_sk_{s-1})\alpha_{s-1}+t_sk_s\alpha_s=0$$因$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$無關，故$t_sk_s=0$，又$k_s\neq0$，則$t_s=0$。進而$t_1=\cdots=t_{s-1}=0$，因此$\alpha_1,\cdots,\alpha_{s-1},\beta$線性無關。四、證明題（共10分）設$A$為$n$階方陣，且$A^2=A$（冪等矩陣）。證明：$R(A)+R(A-E)=n$。證明：由$A^2=A$得$A(A-E)=0$，故$R(A)+R(A-E)\leqn$。又$E=A+(E-A)$，故$n=R(E)\leqR(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)$。綜上，$R(A)+R(A-E)=n$。五、綜合應用題（共10分）設三維向量空間$V$的基為$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,1)^T$。（1）求向量$\beta=(2,3,4)^T$在該基下的坐標；（2）設$\gamma$