2025年線性代數(shù)信度效度檢驗(yàn)版試題一、單項選擇題（每題4分，共40分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix})，若(r(A)=1)，則(t)的值為（）A.3B.6C.9D.12設(shè)(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A^*|=)（）A.-16B.-32C.16D.32向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)線性相關(guān)的充要條件是（）A.(t=6)B.(t\neq6)C.(t=3)D.(t\neq3)設(shè)(A)為(m\timesn)矩陣，非齊次線性方程組(Ax=b)有唯一解的充要條件是（）A.(r(A)=r(A|b)=m)B.(r(A)=r(A|b)=n)C.(r(A)=m)D.(r(A)=n)設(shè)(A)為3階矩陣，特征值為1，2，3，則(|A^2-2A|=)（）A.0B.6C.12D.24二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&6\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix})設(shè)(A)與(B)相似，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.(|A|=|B|)B.(r(A)=r(B))C.(A)與(B)有相同的特征向量D.(A)與(B)有相同的特征值設(shè)(A)為正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.(|A|=\pm1)B.(A^{-1}=A^T)C.(A)的特征值為1或-1D.(A)必為對稱矩陣齊次線性方程組(Ax=0)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為（）A.(n-r(A))B.(r(A)-n)C.(m-r(A))D.(r(A)-m)設(shè)(A)為3階實(shí)對稱矩陣，特征值為2，2，3，則(r(A-2E)=)（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（每題4分，共20分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}=)__________。設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&0\2&1\end{pmatrix})，則(A^n=)__________。向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(1,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,1)^T)的秩為__________。矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})的特征值為__________。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的標(biāo)準(zhǔn)形為__________。三、計算題（每題10分，共50分）1.計算行列式[D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}]解：將第2、3、4行加到第1行，得[D=\begin{vmatrix}10&10&10&10\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}]再將第1行乘-2、-3、-4分別加到第2、3、4行，得[D=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\0&1&2&-1\0&1&-2&-1\0&-3&-2&-1\end{vmatrix}=10\times1\times\begin{vmatrix}1&2&-1\1&-2&-1\-3&-2&-1\end{vmatrix}=10\times(-16)=-160]2.設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix})，求(A^{-1})。解：構(gòu)造增廣矩陣((A|E))，通過初等行變換化為((E|A^{-1}))：[(A|E)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\2&2&1&0&1&0\3&4&3&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&1&3&-2\0&1&0&-3/2&-3&5/2\0&0&1&1&1&-1\end{pmatrix}]故(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&3&-2\-3/2&-3&5/2\1&1&-1\end{pmatrix})。3.求向量組(\alpha_1=(1,2,1,0)^T)，(\alpha_2=(1,1,1,2)^T)，(\alpha_3=(3,4,3,4)^T)，(\alpha_4=(4,5,4,6)^T)的秩及一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。解：將向量組按列構(gòu)成矩陣，進(jìn)行初等行變換：[\begin{pmatrix}1&1&3&4\2&1&4&5\1&1&3&4\0&2&4&6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&3&4\0&-1&-2&-3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]秩為2，極大無關(guān)組為(\alpha_1,\alpha_2)，且(\alpha_3=3\alpha_1-2\alpha_2)，(\alpha_4=4\alpha_1-3\alpha_2)。4.設(shè)線性方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+ax_3=2\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}]討論(a)為何值時，方程組有唯一解、無解、無窮多解，并在無窮多解時求通解。解：系數(shù)行列式(D=(a-1)(a-2))。(a\neq1)且(a\neq2)時，唯一解；(a=1)時，無解；(a=2)時，無窮多解，通解為(x=(0,1,0)^T+k(1,-1,1)^T)（(k)為任意常數(shù)）。5.設(shè)(A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix})，求正交矩陣(P)使得(P^TAP=\Lambda)（對角矩陣）。解：特征多項式(|\lambdaE-A|=(\lambda-3)^2\lambda)，特征值(\lambda_1=\lambda_2=3)，(\lambda_3=0)。對(\lambda=3)，解((3E-A)x=0)，得特征向量(\alpha_1=(1,-1,0)^T)，(\alpha_2=(1,0,-1)^T)，正交化后為(\beta_1=(1,-1,0)^T)，(\beta_2=(1/2,1/2,-1)^T)；對(\lambda=0)，解(Ax=0)，得特征向量(\alpha_3=(1,1,1)^T)；單位化后構(gòu)造(P)，則(P^TAP=\text{diag}(3,3,0))。四、證明題（每題10分，共20分）1.設(shè)(A)為(n)階矩陣，且(A^2=A)，證明(r(A)+r(A-E)=n)。證明：由(A(A-E)=O)得(r(A)+r(A-E)\leqn)；又(r(A)+r(A-E)\geqr(A+(E-A))=r(E)=n)，故(r(A)+r(A-E)=n)。2.設(shè)(A)為實(shí)對稱矩陣，證明(A)正定的充要條件是存在可逆矩陣(P)，使得(A=P^TP)。證明：充分性：對任意(x\neq0)，(x^TAx=(Px)^T(Px)>0)，故(A)正定；必要性：(A)正定，則存在正交矩陣(Q)使得(A=Q^T\LambdaQ)，其中(\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n))，(\lambda_i>0)。令(P=\Lambda^{1/2}Q)，則(A=P^TP)。五、應(yīng)用題（10分）某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件利潤分別為3元、2元、1元。生產(chǎn)每件產(chǎn)品需消耗A、B兩種原料，消耗定額如下表：|產(chǎn)品|原料A（kg）|原料B（kg）||------|-------------|-------------||甲|1|2||乙|2|1||丙|1|1|現(xiàn)有原料A100kg，原料B120kg，問如何安排生產(chǎn)使利潤最大？（用線性方程組理論建模并求解）解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙分別為(x_1,x_2,x_3)件，目標(biāo)函數(shù)(z=3x_1+2x_2+x_3)，約束條件：[\begin{cases}x_1+2x_2+x_3\leq100\2x_1+x_2+x_3\leq120\x_1,x_2,x_3\geq0\end{cases}]化為標(biāo)準(zhǔn)形后用單純形法求解，得最優(yōu)解(x_1=40)，(x_2=20