2025年線性代數(shù)行列式計算專題試題一、選擇題（每題5分，共20分）設(shè)矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$，則行列式$|A|$的值為（）A.-2B.2C.5D.-5若三階行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{vmatrix}=5$，則行列式$\begin{vmatrix}2a&2b&2c\d&e&f\g&h&i\end{vmatrix}$的值為（）A.5B.10C.20D.40下列行列式中，值為0的是（）A.$\begin{vmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{vmatrix}$B.$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$C.$\begin{vmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1\end{vmatrix}$D.$\begin{vmatrix}1&2\3&4\end{vmatrix}$設(shè)矩陣$B=\begin{bmatrix}2&1\-3&2\end{bmatrix}$，則$|B|$的值為（）A.7B.-7C.1D.-1二、填空題（每題5分，共20分）行列式$\begin{vmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{vmatrix}=$__________。設(shè)矩陣$C=\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}$，且$|C|=ad-bc=3$，則行列式$\begin{vmatrix}ka&kb\c&d\end{vmatrix}=$__________（其中$k$為常數(shù)）。若行列式$\begin{vmatrix}1&x\2&4\end{vmatrix}=0$，則$x=$__________。四階行列式中，元素$a_{23}$的代數(shù)余子式$A_{23}$的符號為__________（填“正”或“負”）。三、解答題（每題10分，共60分）9.計算二階行列式計算矩陣$D_1=\begin{bmatrix}5&-2\3&1\end{bmatrix}$的行列式值。解答步驟：根據(jù)二階行列式計算公式$|A|=ad-bc$，代入得：$D_1=5\times1-(-2)\times3=5+6=11$10.計算三階行列式計算行列式$D_2=\begin{vmatrix}2&3&5\4&6&7\1&2&3\end{vmatrix}$的值。解答步驟：（1）利用行列式性質(zhì)化簡：將第一行乘以-2加到第二行，得：$\begin{vmatrix}2&3&5\0&0&-3\1&2&3\end{vmatrix}$（2）按第二行展開（含兩個0元素，簡化計算）：$0\timesA_{21}+0\timesA_{22}+(-3)\timesA_{23}=-3\times(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}2&3\1&2\end{vmatrix}=-3\times(-1)\times(4-3)=3$11.利用三角化法計算行列式計算四階行列式$D_3=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$。解答步驟：（1）將第2、3、4行均加到第1行，提取公因子10：$10\times\begin{vmatrix}1&1&1&1\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$（2）第1行乘以-2、-3、-4分別加到第2、3、4行，得：$10\times\begin{vmatrix}1&1&1&1\0&1&2&-1\0&1&-2&-1\0&-3&-2&-1\end{vmatrix}$（3）按第一列展開后繼續(xù)三角化，最終得$D_3=160$12.抽象行列式計算已知矩陣$A$為三階方陣，且$|A|=2$，求$|3A|$的值。解答步驟：根據(jù)行列式性質(zhì)：$|kA|=k^n|A|$（$n$為矩陣階數(shù)），則：$|3A|=3^3|A|=27\times2=54$13.遞推法計算行列式計算$n$階行列式$D_n=\begin{vmatrix}a&b&0&\cdots&0\b&a&b&\cdots&0\0&b&a&\cdots&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&0&\cdots&a\end{vmatrix}$（主對角線為$a$，次對角線為$b$，其余元素為0）。解答步驟：（1）按第一行展開得遞推公式：$D_n=aD_{n-1}-b^2D_{n-2}$（2）初始條件：$D_1=a$，$D_2=a^2-b^2$（3）分情況討論：當$a\neq\pmb$時，$D_n=\frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2}$當$a=b$時，$D_n=(n+1)a^n$當$a=-b$時，$D_n=(n+1)(-b)^n$14.范德蒙行列式應(yīng)用計算行列式$D_4=\begin{vmatrix}1&1&1&1\1&2&3&4\1&4&9&16\1&8&27&64\end{vmatrix}$。解答步驟：該行列式為范德蒙行列式，形式為$V_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod_{1\leqj<i\leqn}(x_i-x_j)$，其中$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$，代入得：$D_4=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\times2\times3\times1\times2\times1=12$四、證明題（每題10分，共20分）15.證明行列式性質(zhì)證明：若行列式中有兩行元素對應(yīng)成比例，則行列式值為0。證明過程：設(shè)行列式$D$的第$i$行與第$j$行成比例，即$r_j=kr_i$（$k$為常數(shù)）。根據(jù)行列式性質(zhì)，將第$i$行乘以$-k$加到第$j$行，得新行列式$D'$，此時第$j$行元素全為0。按第$j$行展開$D'$，得$D'=0$，又因行列式經(jīng)行變換后值不變，故$D=D'=0$。16.證明代數(shù)余子式性質(zhì)證明：行列式某行元素與另一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0，即$\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=0$（$i\neqj$）。證明過程：構(gòu)造輔助行列式$D'$，將原行列式$D$的第$j$行替換為第$i$行元素，其余行不變。由于$D'$中有兩行元素相同（第$i$行與第$j$行），故$D'=0$。將$D'$按第$j$行展開，得$D'=\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=0$，即證。五、綜合應(yīng)用題（每題15分，共30分）17.線性方程組解的判定已知三元線性方程組：$\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=4\2x_1+5x_2+2x_3=3\3x_1+7x_2+8x_3=13\end{cases}$（1）寫出方程組的系數(shù)行列式$D$；（2）判斷方程組是否有唯一解，并說明理由。解答步驟：（1）系數(shù)行列式$D=\begin{vmatrix}1&2&3\2&5&2\3&7&8\end{vmatrix}$（2）計算$D$：$D=1\times(5\times8-2\times7)-2\times(2\times8-2\times3)+3\times(2\times7-5\times3)=1\times(40-14)-2\times(16-6)+3\times(14-15)=26-20-3=3\neq0$根據(jù)克拉默法則，$D\neq0$時方程組有唯一解。18.幾何應(yīng)用：平行六面體體積已知空間向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,1,0)$，$\vec{c}=(0,1,2)$，求以$\vec{a},\vec,\vec{c}$為棱的平行六面體體積。解答步驟：體積$V$等于向量構(gòu)成的三階行列式的絕對值：$V=|\begin{vmatrix}1&2&3\2&1&0\0&1&2\end{vmatrix}|$計算行列式：$1\times(1\times2-0\times1)-2\times(2\times2-0\times0)+3\times(2\times1-1\times0)=1\times2-2\times4+3\times2=2-8+6=0$故體積$V=|0|=0$，說明三向量共面。六、高階行列式拓展（每題20分，共40分）19.三對角行列式計算計算$n$階三對角行列式$D_n=\begin{vmatrix}2&-1&0&\cdots&0\-1&2&-1&\cdots&0\0&-1&2&\cdots&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&0&\cdots&2\end{vmatrix}$。解答步驟：按第一行展開得遞推公式$D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$，特征方程為$r^2-2r+1=0$，根為$r=1$（二重根）。通解為$D_n=(A+Bn)1^n$，代入初始條件$D_1=2$，$D_2=3$，解得$A=1,B=1$，故$D_n=n+1$。20.分塊矩陣行列式設(shè)矩陣$M=\begin{bmatrix}A&O\C&B\end{bmatrix}$，其中$A$為$m$階方陣，$B$為$n$階方陣，$C$為$n\timesm$矩陣，$O$為零矩陣，證明$|M|=|A||B|$。證明過程：對$A$進行初等行變換化為上三角矩陣$U$，對應(yīng)初等矩陣乘積為$P$，則$PA=U$，且$|P||A|=|U|$。對$M$左乘分塊矩陣$\begin{bmatrix}P&O\O&E_n\end{bmatrix}$，得$\begin{bmatrix}U&O\CP&B\end{bmatrix}$，其行列式值為$|P||M|=|U||B|$。又因$|P||A|=|U|$，代入得$|M|=|A||B|$。七、拓展提高題（每題20分，共40分）21.含參數(shù)行列式計算計算行列式$D(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&-3\-2&\lambda-4&-5\-3&-5&\lambda-6\end{vmatrix}$，并求方程$D(\lambda)=0$的根。解答步驟：（1）展開行列式：$D(\lambda)=(\lambda-1)[(\lambda-4)(\lambda-6)-25]-(-2)[-2(\lambda-6)-15]+(-3)[10+3(\lambda-4)]$（2）化簡得：$D(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda^2-10\lambda-1)-2(2\lambda-27)-3(3\lambda-2)=\lambda^3-11\lambda^2+11\lambda+1$（3）因式分解得$D(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda^2-10\lambda-1)$，方程根為$\lambda=1$或$\lambda=5\pm\sqrt{26}$。22.行列式的幾何意義利用行列式證明：平面上三點$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$共線的充要條件是$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\x_2&y_2&1\x_3&y_3&1\end{vmatrix}=0$。證明過程：（1）必要性：若$A,B,C$共線，則向量$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$與$\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$共線，即$(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)=0$。（2）將行列式按第三列展開得：$\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1\x_3-x_1&y_3-y_1\end{vmatrix}=0$，與共線條件一致，故得證。八、實際應(yīng)用題（每題20分，共40分）23.電路網(wǎng)絡(luò)分析在如下電路中，已知各支路電流滿足基爾霍夫定律，列出電流方程組并計算行列式判斷解的唯一性。（電路圖描述：含3個回路，電阻分別為$R_1=1\Omega,R_2=2\Omega,R_3=3\Omega$，電壓源$U_1=5V,U_2=10V$）解答步驟：（1）設(shè)回路電流$I_1,I_2,I_3$，列方程組：$\begin{cases}(R_1+R_2)I_1-R_2I_2=U_1\-R_2I_1+(R_2+R_3)I_2-R_3I_3=0\-R_3I_2+R_3I_3=-U_2\end{cases}$（2）代入?yún)?shù)得：$\begin{cases}3I_1-2I_2=5\-2I_1+5I_2-3I_3=0\-3I_2+3I_3=-10\end{cases}$（3）系數(shù)行列式$D=\begin{vmatrix}3&-2&0\-2&5&-3\0&-3&3\end{vmatrix}=3(15-9)+2(-6-0)+0=18-12=6\neq0$，故方程組有唯一解。24.經(jīng)濟模型中的行列式應(yīng)用某市場有兩種商品A和B，其供需平衡方程為：$\begin{cases}Q_{dA}=10-2P_A+P_B\Q_{sA}=-2+3P_A\Q_{dB}=15+P_A-3P_B\Q_{sB}=-1+2P_B\end{cases}$其中$Q_d,Q_s,P$分別表示需求量、供給量和價格。求均衡價格$P_A,P_B$（提示：供需平衡時$Q_d=Q_s$）。解答步驟：（1）由$Q_{dA}=Q_{sA}$和$Q_{dB}=Q_{sB}$得方程組：$\begin{cases}5P_A-P_B=12\-P_A+5P_B=16\end{cases}$（2）系數(shù)行列式$D=\begin{vmatrix}5&-1\-1&5\end{vmatrix}=25-1=24$（3）克拉默法則解得：$P_A=\frac{\begin{vmatrix}12&-1\16&5\end{vmatrix}}{24}=\frac{60+16}{24