2025年線性代數(shù)虛擬現(xiàn)實(shí)中的圖形變換試題一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共40分）在VR場景渲染中，將三維模型頂點(diǎn)坐標(biāo)（x,y,z）繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換矩陣是（）A.(\begin{bmatrix}0&0&1\0&1&0\-1&0&0\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}0&0&-1\0&1&0\1&0&0\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\0&1&0\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix})（θ=90°）D.(\begin{bmatrix}\cos\theta&0&-\sin\theta\0&1&0\\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix})（θ=90°）設(shè)某VR設(shè)備的視錐體采用透視投影，其投影矩陣為(P=\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&-1&-2n\0&0&-1&0\end{bmatrix})，則近裁剪面距離n的值為（）A.1B.2C.-1D.-2在三維空間中，對(duì)模型進(jìn)行非均勻縮放（x軸縮放2倍，y軸縮放0.5倍，z軸不變）的變換矩陣是（）A.(\begin{bmatrix}2&0&0\0&0.5&0\0&0&1\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}2&0&0\0&1&0\0&0&0.5\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}0.5&0&0\0&2&0\0&0&1\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&0&0\0&0.5&0\0&0&2\end{bmatrix})設(shè)VR場景中某物體的世界坐標(biāo)為（3,4,5），其局部坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的變換矩陣為(M=\begin{bmatrix}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&4\0&0&0&1\end{bmatrix})，則該物體的局部坐標(biāo)為（）A.(1,1,1)B.(5,7,9)C.(-1,-1,-1)D.(2,3,4)下列關(guān)于四元數(shù)(q=w+xi+yj+zk)在VR旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用，錯(cuò)誤的是（）A.單位四元數(shù)可避免歐拉角的萬向鎖問題B.四元數(shù)乘法滿足交換律C.四元數(shù)的模長為(\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2})D.四元數(shù)可通過軸角對(duì)((\vec{u},\theta))構(gòu)造：(q=(\cos\frac{\theta}{2},\vec{u}\sin\frac{\theta}{2}))在WebVR開發(fā)中，某平面頂點(diǎn)坐標(biāo)為(\begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix})，若對(duì)其施加變換矩陣(T=\begin{bmatrix}1&0&1\0&1&2\0&0&1\end{bmatrix})，則變換后三角形的面積為（）A.0.5B.1C.2D.4設(shè)VR手柄的位置傳感器輸出向量為(\vec{a}=(1,2,3))，其姿態(tài)矩陣為正交矩陣(R)，則(R\vec{a})的模長為（）A.(\sqrt{14})B.(\sqrt{14}|R|)C.1D.無法確定三維空間中點(diǎn)((1,2,3))在平面(x+2y+3z=14)上的投影點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(0,0,0)B.(1,2,3)C.(2,4,6)D.(0.5,1,1.5)在VR場景光照計(jì)算中，某點(diǎn)光源方向向量為(\vec{l}=(0,0,1))，法向量為(\vec{n}=(0,1,0))，則該點(diǎn)的漫反射強(qiáng)度（Lambert模型）為（）A.0B.1C.0.5D.(\frac{\sqrt{2}}{2})設(shè)某VR應(yīng)用的MVP矩陣（Model-View-Projection）為(MVP=PVM)，其中(M)為模型矩陣，(V)為視圖矩陣，(P)為投影矩陣。若(M^{-1})存在，則頂點(diǎn)世界坐標(biāo)可通過（）計(jì)算A.(V^{-1}P^{-1}MVP\vec{v})B.(M^{-1}V^{-1}P^{-1}\vec{v})C.(MVP^{-1}\vec{v})D.(M^{-1}(VP)^{-1}\vec{v})二、填空題（每題5分，共30分）在Unity3D中，對(duì)Cube模型先沿x軸旋轉(zhuǎn)30°，再沿y軸旋轉(zhuǎn)45°，其復(fù)合變換矩陣為________（用旋轉(zhuǎn)矩陣乘積表示）。某VR頭顯的視場角（FOV）為90°，近裁剪面距離為0.1m，則透視投影矩陣中(\frac{1}{\tan(\frac{FOV}{2})})的值為________。三維空間中，點(diǎn)((2,3,4))繞軸(\vec{u}=(0,1,0))旋轉(zhuǎn)180°后的坐標(biāo)為________。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{bmatrix})是某VR模型的頂點(diǎn)變換矩陣，則該變換的秩為________，反映了變換后空間的________維數(shù)。在OpenXR標(biāo)準(zhǔn)中，視圖矩陣(V)通常通過相機(jī)位置(\vec{e})和目標(biāo)點(diǎn)(\vec{t})構(gòu)造，其第三行（上方向）向量可由________叉乘計(jì)算得到。若某VR場景中兩個(gè)物體的碰撞檢測采用AABB包圍盒，其中心分別為((1,2,3))和((5,6,7))，半邊長均為1，則兩包圍盒在________軸方向上存在重疊。三、解答題（共80分）1.基礎(chǔ)變換綜合題（20分）某VR教育應(yīng)用需展示一個(gè)旋轉(zhuǎn)的立方體，其初始頂點(diǎn)坐標(biāo)（局部坐標(biāo)系）為：(v_0=(0,0,0),v_1=(1,0,0),v_2=(0,1,0),v_3=(0,0,1))（1）求將立方體繞z軸旋轉(zhuǎn)60°的變換矩陣(R_z)；（5分）（2）若同時(shí)沿x軸平移2個(gè)單位，沿y軸平移3個(gè)單位，求復(fù)合變換矩陣(T_R)（平移在前，旋轉(zhuǎn)在后）；（5分）（3）計(jì)算變換后頂點(diǎn)(v_1)的坐標(biāo)；（5分）（4）證明該變換的行列式值等于旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式值。（5分）2.投影與視錐體計(jì)算題（20分）某VR游戲引擎采用透視投影，已知參數(shù)：垂直視場角（FOVY）=60°近裁剪面距離（n）=0.5m遠(yuǎn)裁剪面距離（f）=100m屏幕寬高比（aspect）=16:9（1）推導(dǎo)該投影的透視矩陣(P)（使用OpenGL右手坐標(biāo)系，投影矩陣形式為(\begin{bmatrix}\frac{1}{\tan(\frac{FOVY}{2})aspect}&0&0&0\0&\frac{1}{\tan(\frac{FOVY}{2})}&0&0\0&0&-\frac{f+n}{f-n}&-\frac{2fn}{f-n}\0&0&-1&0\end{bmatrix})）；（10分）（2）若世界坐標(biāo)系中一點(diǎn)(P_w=(10,20,30))，經(jīng)視圖矩陣(V)變換后得到觀察坐標(biāo)系坐標(biāo)(P_v=(5,10,20))，求其投影后的齊次坐標(biāo)(P_h)；（5分）（3）計(jì)算(P_h)的歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）。（5分）3.光照與法向量變換題（20分）在VR場景PBR（基于物理的渲染）計(jì)算中，需對(duì)法向量進(jìn)行正確變換：（1）證明法向量(\vec{n})在模型變換矩陣(M)下的變換公式為(\vec{n}'=(M^{-1})^T\vec{n})（假設(shè)(M)為非奇異矩陣）；（8分）（2）若模型變換矩陣(M=\begin{bmatrix}2&0&0&1\0&3&0&2\0&0&4&3\0&0&0&1\end{bmatrix})，原法向量(\vec{n}=(0,0,1))，求變換后的法向量(\vec{n}')；（6分）（3）若(M)為正交矩陣，證明法向量變換可簡化為(\vec{n}'=M\vec{n})。（6分）4.VR交互與變換鏈分析題（20分）某VR手柄的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)輸出如下數(shù)據(jù)：手柄局部坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的變換矩陣(M_{hw}=\begin{bmatrix}0&-1&0&5\1&0&0&3\0&0&1&1\0&0&0&1\end{bmatrix})手柄按鍵觸發(fā)時(shí)，需在其前端（局部坐標(biāo)系+x方向）0.5m處生成一個(gè)粒子特效（1）求手柄前端點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；（8分）（2）若用戶轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，使姿態(tài)矩陣變?yōu)?M_{hw}'=RM_{hw})（(R)為繞世界坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)矩陣），求新的前端點(diǎn)坐標(biāo)；（8分）（3）說明為何在VR交互中通常使用四元數(shù)而非歐拉角表示旋轉(zhuǎn)。（4分）四、綜合應(yīng)用題（共50分）1.VR場景建模與變換（25分）某考古VR應(yīng)用需重建一個(gè)三維文物模型，其簡化網(wǎng)格由以下三角形面片組成（頂點(diǎn)坐標(biāo)均在局部坐標(biāo)系）：面片1：(A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0))（底面）面片2：(A(0,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1))（側(cè)面）（1）計(jì)算面片1的法向量(\vec{n}_1)和面片2的法向量(\vec{n}_2)；（10分）（2）若文物需繞自身中心(O(0.5,0.5,0.5))旋轉(zhuǎn)180°，求旋轉(zhuǎn)中心平移矩陣(T_c)、旋轉(zhuǎn)矩陣(R)及復(fù)合變換矩陣(M=T_c^{-1}RT_c)；（10分）（3）判斷變換后面片1是否仍與面片2垂直（法向量點(diǎn)積是否為零）。（5分）2.實(shí)時(shí)渲染中的線性代數(shù)（25分）在VR實(shí)時(shí)渲染管線中，頂點(diǎn)著色器需完成以下計(jì)算：已知：模型矩陣(M=\begin{bmatrix}1&0&0&1\0&1&0&2\0&0&1&3\0&0&0&1\end{bmatrix})視圖矩陣(V=\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&-10\0&0&0&1\end{bmatrix})（相機(jī)沿z軸平移10個(gè)單位）投影矩陣(P)同第3題（透視投影）點(diǎn)光源位置(L_w=(5,5,10))（世界坐標(biāo)系）（1）計(jì)算頂點(diǎn)(B(1,0,0))的MVP變換后齊次坐標(biāo)；（10分）（2）計(jì)算頂點(diǎn)(B)在觀察坐標(biāo)系中的法向量(\vec{n}_v)（假設(shè)原法向量(\vec{n}=(0,0,