2025年線性代數(shù)學(xué)規(guī)劃教育試題一、單項選擇題（每題3分，共30分）設(shè)矩陣A通過初等行變換變?yōu)榫仃嘊，則下列結(jié)論正確的是（）A.r(A)>r(B)B.r(A)=r(B)C.r(A)<r(B)D.無法判定r(A)與r(B)的關(guān)系設(shè)A為n階方陣且|A|=0，則（）A.A中有一行元素全為零B.A有兩行（列）元素對應(yīng)成比例C.A中必有一行為其他行的線性組合D.A的任一行為其他行的線性組合設(shè)A是n階矩陣(n≥2)，A是A的伴隨矩陣，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.AA=|A|EB.|A*|=|A|C.(A*)T=(AT)*D.(A*)-1=(A-1)*下列不是n維向量組α1,α2,...,αm線性無關(guān)的充分必要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,...,km使得k1α1+k2α2+...+kmαm=0B.不存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,...,km使得k1α1+k2α2+...+kmαm=0C.向量組的秩等于mD.其中任意一個向量都不能用其他向量線性表示設(shè)A為4階矩陣，若矩陣A的秩r(A)=2，則A的伴隨矩陣A*的秩必為（）A.1B.2C.3D.0四階行列式$\begin{vmatrix}0&0&0&1\0&0&2&0\0&3&0&0\4&0&0&0\end{vmatrix}$的值等于（）A.24B.-24C.12D.-12設(shè)A為四階矩陣且|A|=2，則|A的伴隨矩陣|的值為（）A.4B.8C.16D.32設(shè)A為n階矩陣滿足A2=A，E為n階單位矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.A=OB.A=EC.若A不可逆則A=OD.|A|=0或|A|=1設(shè)A，B是兩個相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）A.A與B的秩相同B.A與B的特征值相同C.A與B的特征矩陣相似D.A與B的行列式相同設(shè)A為n階矩陣，則λ=0為A的特征值是A不可逆的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.既非充分又非必要條件D.充分必要條件二、填空題（每題3分，共18分）計算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$的值為________。設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，則A的逆矩陣A?1=________。二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?+5x?x?+6x?x?對應(yīng)的對稱矩陣為________。已知ε?=(1,0,0)?，ε?=(0,1,0)?，ε?=(0,0,1)?是歐氏空間R3的一組標準正交基，則向量α=(1,2,3)?在這組基下的坐標為________。已知矩陣A的特征值為1,2,3，則|A3-5A2+7A|=________。設(shè)α,β,γ均為3維列向量，記矩陣A=(α,β,γ)，B=(α+β,β+γ,γ+α)。如果|A|=2，則|B|=________。三、計算題（共60分）（一）（8分）設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix}$，求A?1。解析：通過初等行變換法求逆矩陣，構(gòu)造增廣矩陣(A|E)：$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\2&2&1&0&1&0\3&4&3&0&0&1\end{array}\right)$$第2行減去2×第1行，第3行減去3×第1行：$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\0&-2&-5&-2&1&0\0&-2&-6&-3&0&1\end{array}\right)$$第3行減去第2行：$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\0&-2&-5&-2&1&0\0&0&-1&-1&-1&1\end{array}\right)$$回代可得A?1=$\begin{pmatrix}1&3&-2\-3/2&-3&5/2\1&1&-1\end{pmatrix}$。（二）（10分）設(shè)向量組α?=(1,2,3,4)?，α?=(2,3,4,5)?，α?=(3,4,5,6)?，α?=(4,5,6,7)?，α?=(5,6,7,8)?。試求該向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并將其他向量用該極大無關(guān)組線性表示。解析：將向量組按列構(gòu)成矩陣，進行初等行變換化為行階梯形：$$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\2&3&4&5&6\3&4&5&6&7\4&5&6&7&8\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\0&-1&-2&-3&-4\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$秩為2，極大無關(guān)組可取α?,α?。線性表示式：α?=2α?-α?，α?=3α?-2α?，α?=4α?-3α?。（三）（12分）討論線性方程組解的情況，并在有無窮多解時求其通解。$$\begin{cases}x?+x?+x?=1\x?+2x?+ax?=2\x?+4x?+a2x?=4\end{cases}$$解析：系數(shù)矩陣行列式|A|=(a-1)(a-2)。當a≠1且a≠2時，方程組有唯一解：x?=(a-3)/(a-2)，x?=1/(a-2)，x?=0。當a=1時，增廣矩陣秩為2，方程組有無窮多解，通解為x=(1,0,0)?+k(1,-1,0)?（k∈R）。當a=2時，增廣矩陣秩為3，系數(shù)矩陣秩為2，方程組無解。（四）（14分）設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}0&-1&1\-1&0&1\1&1&0\end{pmatrix}$，求正交矩陣P，使得P?1AP為對角矩陣。解析：特征多項式|λE-A|=(λ-1)2(λ+2)，特征值λ?=λ?=1，λ?=-2。λ=1時，解(1·E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α?=(-1,1,0)?，α?=(1,0,1)?，施密特正交化得β?=(-1/√2,1/√2,0)?，β?=(1/√6,1/√6,2/√6)?。λ=-2時，解(-2E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α?=(-1,-1,1)?，單位化得β?=(-1/√3,-1/√3,1/√3)?。正交矩陣P=(β?,β?,β?)，對角矩陣Λ=diag(1,1,-2)。（五）（16分）已知二次型f(x?,x?,x?)=2x?2+3x?2+3x?2+4x?x?，（1）寫出二次型的矩陣A；（2）求A的特征值與特征向量；（3）求正交變換x=Py將二次型化為標準形；（4）判定二次型的正定性。解析：（1）二次型矩陣A=$\begin{pmatrix}2&0&0\0&3&2\0&2&3\end{pmatrix}$。（2）特征值λ?=2，λ?=5，λ?=1；特征向量分別為α?=(1,0,0)?，α?=(0,1,1)?，α?=(0,-1,1)?。（3）正交矩陣P=$\begin{pmatrix}1&0&0\0&1/√2&-1/√2\0&1/√2&1/√2\end{pmatrix}$，標準形f=2y?2+5y?2+y?2。（4）特征值均為正數(shù)，二次型正定。四、證明題（10分）設(shè)向量組α?,α?,...,α?中前m-1個向量線性相關(guān)，后m個向量線性無關(guān)，試證：（1）α?可由向量組α?,...,α???線性表示；（2）α?不能由向量組α?,...,α???線性表示。證明：（1）因α?,...,α?線性無關(guān)，故其部分組α?,...,α???也線性無關(guān)。又α?,...,α???線性相關(guān)，故α?可由α?,...,α???線性表示。（2）反證法：若α?可由α?,...,α???線性表示，結(jié)合（1）知α?可由α?,...,α???線性表示，與α?,...,α?線性無關(guān)矛盾，故α?不能由α?,...,α???線性表示。五、應(yīng)用題（14分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A,B,C三種原料的數(shù)量（單位：kg）如下表所示：產(chǎn)品原料A原料B原料C利潤（元/件）甲1234乙2123丙3212每月原料供應(yīng)限額：A為100kg，B為120kg，C為150kg。如何安排生產(chǎn)使每月利潤最大？建立線性規(guī)劃模型并寫出對偶問題。解析：設(shè)每月生產(chǎn)甲x?件，乙x?件，丙x?件，目標函數(shù)maxz=4x?+3x?+2x?。約束條件：$$\begin{cases}x?+2x?+3x?≤100\2x?+x?+2x?≤120\3x?+2x?+x?≤150\x?,x?,x?≥0\end{cases}$$對偶問題：minw=100y?+120y?+150y?，約束條件：$$\begin{cases}y?+2y?+3y?≥4\2y?+y?+2y?≥3\3y?+2y?+y?≥2\y?,y?,y?≥0\end{cases}$$六、拓展題（16分）設(shè)V是實數(shù)域上所有2階對稱矩陣構(gòu)成的線性空間，定義內(nèi)積〈A,B〉=tr(A?B)（tr表示矩陣的跡）。（1）證明V是4維線性空間，并寫出一組基；（2）求基E??,E??,E??（其中E??為(i,j)位置元素為1其余為0的矩陣）的度量矩陣；（3）求矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2\2&3\end{pmatrix}$在該內(nèi)積下的長度。解析：（1）V的一組基為E??=$\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}$，E??=$\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$，E??=$\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}$，維數(shù)為3（注：原題目中“4維”為筆誤，2階對稱矩陣空間維數(shù)為3）。（2）度量矩陣G=$\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&1\end{pmatrix}$。（3）||A||=√〈A,A〉=√(12+2×22+32)=√(1+8+9)=√18=3√2。七、編程題（10分）用MATLAB編寫程序，實現(xiàn)以下功能：（1）生成隨機3階可逆矩陣A；（2）計算A的逆矩陣A?1及伴隨矩陣A*；（3）驗證AA?1=E及A*=|A|A?1。參考代碼：A=rand(3);whiledet(A)==0A=rand(3);endA_inv=inv(A);A_adj=det(A)*A_inv;disp('A*A_inv:');disp(A*A_inv);disp('A_adj-det