2025年線性代數(shù)相對論中的張量分析試題一、單項選擇題（每題4分，共40分）設(shè)四維時空的度規(guī)張量為(g_{\mu\nu})，其逆張量(g^{\mu\nu})滿足(g_{\mu\alpha}g^{\alpha\nu}=\delta^\nu_\mu)，則下列等式正確的是（）A.(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=0)B.(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=4)C.(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=g_{\mu\mu})D.(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=\det(g_{\mu\nu}))在狹義相對論中，洛倫茲變換矩陣(\Lambda^\mu_\nu)滿足正交條件(\Lambda^\mu_\alphag_{\mu\beta}\Lambda^\beta_\gamma=g_{\alpha\gamma})。若某慣性系(S')相對(S)系沿(x)軸以速度(v)運動，則(\Lambda^0_1)的表達式為（）A.(-\gammav/c)B.(\gammav/c)C.(-\gamma)D.(\gamma)（其中(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2})）設(shè)(A^\mu)為逆變向量，(B_\nu)為協(xié)變向量，則下列運算結(jié)果為標量的是（）A.(A^\muB^\nu)B.(A^\mug_{\mu\nu}B^\nu)C.(A^\mu\partial_\muB^\nu)D.(g_{\mu\nu}A^\muA^\nuB^\lambda)三維歐氏空間中，二階張量(T_{ij})的跡定義為(T_{ii})（愛因斯坦求和約定）。若(T_{ij}=\delta_{ij})（單位張量），則其跡為（）A.0B.1C.2D.3在廣義相對論中，克里斯托費爾符號(\Gamma^\lambda_{\mu\nu})的對稱性為（）A.(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda_{\nu\mu})B.(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=-\Gamma^\lambda_{\nu\mu})C.(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\Gamma^\mu_{\lambda\nu})D.無固定對稱性設(shè)(\phi)為標量場，(A^\mu)為逆變向量場，則協(xié)變導(dǎo)數(shù)(\nabla_\muA^\nu)的表達式為（）A.(\partial_\muA^\nu+\Gamma^\nu_{\mu\lambda}A^\lambda)B.(\partial_\muA^\nu-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}A^\lambda)C.(\partial_\muA^\nu+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}A^\lambda)D.(\partial_\muA^\nu-\Gamma^\nu_{\mu\lambda}A^\lambda)狹義相對論中，質(zhì)點的四維動量定義為(p^\mu=(E/c,\vec{p}))，其中(E)為能量，(\vec{p})為三維動量。則(p^\mup_\mu)的值為（）A.(m_0^2c^2)B.(-m_0^2c^2)C.(E^2/c^2-p^2)D.(0)（(m_0)為靜止質(zhì)量）設(shè)某二維曲面的度規(guī)為(ds^2=dr^2+r^2d\theta^2)，則非零的克里斯托費爾符號(\Gamma^\theta_{r\theta})為（）A.(1/r)B.(-1/r)C.(r)D.(-r)張量方程(T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu})的物理意義是（）A.張量對稱B.張量反對稱C.張量協(xié)變守恒D.張量散度為零在平直時空中，電磁場張量(F^{\mu\nu}=\partial^\muA^\nu-\partial^\nuA^\mu)，則其對偶張量(\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta})滿足（）A.(\tilde{F}^{\mu\nu}=F^{\mu\nu})B.(\tilde{F}^{\mu\nu}=-F^{\mu\nu})C.(\partial_\mu\tilde{F}^{\mu\nu}=0)D.(\partial_\mu\tilde{F}^{\mu\nu}=j^\nu)（(j^\nu)為四維電流密度）二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)三維空間中向量(\vec{A}=(1,2,3))，(\vec{B}=(4,5,6))，則二階張量(T_{ij}=A_iB_j)的分量(T_{23}=)________。狹義相對論中，能量-動量關(guān)系的四維形式為(p^\mup_\mu=)________，其在低速近似下可退化為牛頓力學的________公式。協(xié)變導(dǎo)數(shù)滿足萊布尼茨法則，即(\nabla_\mu(A^\nuB^\lambda)=)________。球坐標系中，線元(ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\thetad\phi^2)，則度規(guī)張量(g_{\phi\phi}=)，其逆張量分量(g^{\theta\theta}=)。設(shè)(\phi(x^\mu))為標量場，則其協(xié)變導(dǎo)數(shù)(\nabla_\mu\phi=)________，這是因為標量場的協(xié)變導(dǎo)數(shù)與________導(dǎo)數(shù)等價。廣義相對論的愛因斯坦場方程為(G_{\mu\nu}=\frac{8\piG}{c^4}T_{\mu\nu})，其中(G_{\mu\nu})為________張量，(T_{\mu\nu})為________張量。三、計算題（共60分）（15分）在狹義相對論中，某粒子在慣性系(S)中的四維動量為(p^\mu=(E/c,p_x,0,0))。若慣性系(S')相對(S)沿(x)軸以速度(v)運動，求：（1）粒子在(S')系中的能量(E')和動量(p'x)；（2）驗證(p^\mup\mu)在洛倫茲變換下為不變量。（15分）已知三維歐氏空間中二階張量(T_{ij}=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})，求：（1）張量的跡(T_{ii})；（2）對稱部分(T_{(ij)}=\frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji}))和反對稱部分(T_{[ij]}=\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji}))；（3）(T_{(ij)})的跡是否等于(T_{ij})的跡？說明理由。（15分）設(shè)二維曲面的度規(guī)為(ds^2=du^2+(u^2+a^2)dv^2)（(a)為常數(shù)），求：（1）度規(guī)張量(g_{ij})及其逆張量(g^{ij})；（2）克里斯托費爾符號(\Gamma^u_{vv})和(\Gamma^v_{uv})；（3）協(xié)變向量(A_i=(A_u,A_v))的協(xié)變導(dǎo)數(shù)(\nabla_uA_v)。（15分）在廣義相對論中，自由質(zhì)點的運動方程為測地線方程：(\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}=0)，其中(\tau)為固有時。若時空為平直時空（(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}=0)），且質(zhì)點沿(x)軸做勻速運動，速度為(v)，初始位置(x(0)=0)，求：（1）質(zhì)點的世界線參數(shù)方程(x^\mu(\tau))；（2）證明質(zhì)點的四維速度(u^\mu=dx^\mu/d\tau)滿足(u^\muu_\mu=-c^2)。四、證明題（共20分）（10分）證明：任意二階張量(T_{\mu\nu})可分解為對稱部分與反對稱部分之和，即(T_{\mu\nu}=T_{(\mu\nu)}+T_{[\mu\nu]})，且分解唯一。（10分）證明：在狹義相對論中，電磁場張量(F^{\mu\nu})滿足麥克斯韋方程組的四維形式(\partial_\muF^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu)和(\partial_\mu\tilde{F}^{\mu\nu}=0)，其中(\tilde{F}^{\mu\nu})為對偶張量，(j^\nu)為四維電流密度。參考答案及評分標準（簡要提示）一、單項選擇題B2.A3.B4.D5.A6.A7.B8.A9.A10.C二、填空題12（(A_2=2)，(B_3=6)，(T_{23}=2×6=12)）(-m_0^2c^2)，(E\approxm_0c^2+\frac{1}{2}m_0v^2)((\nabla_\muA^\nu)B^\lambda+A^\nu(\nabla_\muB^\lambda))(r^2\sin^2\theta)，(1/r^2)(\partial_\mu\phi)，普通（或偏）愛因斯坦，能量-動量（或應(yīng)力-能量）三、計算題（1）(E'=\gamma(E-vp_x))，(p'_x=\gamma(p_x-vE/c^2))；（2）利用洛倫茲變換驗證(E'^2/c^2-p'^2_x=E^2/c^2-p^2_x)。（1）跡(T_{ii}=1+5+9=15)；（2）對稱部分(T_{(ij)}=\frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji}))，反對稱部分(T_{[ij]}=\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji}))；（3）相等，因為跡對對稱和反對稱部分的貢獻僅來自對稱部分。（1）(g_{ij}=\begin{pmatrix}1&0\0&u^2+a^2\end{pmatrix})，(g^{ij}=\begin{pmatrix}1&0\0&1/(u^2+a^2)\end{pmatrix})；（2）(\Gamma^u_{vv}=-u)，(\Gamma^v_{uv}=u/(u^2+a^2))；（3）(\nabla_uA_v=\partial_uA_v-\Gamma^\lambda_{uv}A_\lambda=\partial_uA_v-\Gamma^v_{uv}A_v=\partial_uA_v-\frac{u}{u^2+a^2}A_v)。（1）(x^\mu(\tau)=(c\tau,v\tau,0,0))（取(\tau=t/\gamma)）；（2）代入(u^\mu=dx^\mu/d\tau=(\gammac,\gammav,0,0))，計算得(u^\muu_\mu=-\gamma^2c^2+\gamma^2v^2=-\gamma^2c^2(1-v^2/c^2)=-c^2)。四、證明題構(gòu)造(T_{(\mu\nu)}=\frac{1}{2}(T_{\mu\nu}+T_{\nu\mu}))和(T_{[\mu\nu]}=\frac