2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)編程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題試題一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（30分）1.1函數(shù)圖像繪制與性質(zhì)分析（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$，請(qǐng)使用Python完成以下任務(wù)：（1）在區(qū)間$[-4,6]$上繪制函數(shù)圖像，要求標(biāo)注坐標(biāo)軸、函數(shù)表達(dá)式及極值點(diǎn)坐標(biāo)；（2）通過(guò)編程計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求解方程$f'(x)=0$的根；（3）判斷函數(shù)在區(qū)間$[0,4]$上的單調(diào)性，求出該區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。參考代碼框架：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromsympyimportsymbols,diff,solve#1.定義函數(shù)與導(dǎo)數(shù)x=symbols('x')f=x**3-3*x**2-9*x+5f_prime=diff(f,x)#2.求解導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)critical_points=solve(f_prime,x)#3.繪制函數(shù)圖像x_vals=np.linspace(-4,6,100)f_lambdified=lambdify(x,f,'numpy')y_vals=f_lambdified(x_vals)plt.figure(figsize=(10,6))plt.plot(x_vals,y_vals,label='$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$')plt.scatter(critical_points,[f.subs(x,cp)forcpincritical_points],color='red',label='極值點(diǎn)')#補(bǔ)充坐標(biāo)軸標(biāo)注、網(wǎng)格線(xiàn)及圖例代碼#4.計(jì)算區(qū)間最值interval=np.linspace(0,4,100)f_interval=f_lambdified(interval)max_val=np.max(f_interval)min_val=np.min(f_interval)1.2導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（15分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種圓柱形金屬容器（無(wú)蓋），容積為$1000\pi\\text{cm}^3$。已知材料成本與表面積成正比，編程求解：（1）容器底面半徑$r$與高$h$的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)半徑$r$為何值時(shí)，容器表面積最?。ň_到0.01cm）；（3）繪制表面積關(guān)于半徑的函數(shù)圖像，并標(biāo)注最小值點(diǎn)。提示：圓柱體積公式$V=\pir^2h$，表面積公式$S=\pir^2+2\pirh$二、立體幾何與空間向量（30分）2.1空間幾何體體積計(jì)算（15分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知四面體$ABCD$的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(0,3,0)$、$D(0,0,4)$。編程實(shí)現(xiàn)：（1）計(jì)算向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$的坐標(biāo)；（2）使用混合積公式計(jì)算四面體體積；（3）用VPython繪制該四面體的3D模型，要求標(biāo)注各頂點(diǎn)及棱。參考代碼：fromvpythonimport*#繪制坐標(biāo)系scene=canvas(title='四面體3D模型',width=800,height=600)axis_x=arrow(pos=vector(0,0,0),axis=vector(5,0,0),color=color.red,label='X')axis_y=arrow(pos=vector(0,0,0),axis=vector(0,5,0),color=color.green,label='Y')axis_z=arrow(pos=vector(0,0,0),axis=vector(0,0,5),color=color.blue,label='Z')#繪制四面體頂點(diǎn)vertices=[vector(0,0,0),vector(2,0,0),vector(0,3,0),vector(0,0,4)]labels=['A','B','C','D']forv,labinzip(vertices,labels):sphere(pos=v,radius=0.1,color=color.yellow)label(pos=v,text=lab,xoffset=10,yoffset=10)#繪制棱線(xiàn)edges=[(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)]fori,jinedges:curve(pos=[vertices[i],vertices[j]],color=color.white)2.2空間平面方程求解（15分）已知平面$\alpha$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P(1,2,3)$，且與向量$\vec{n}=(2,-1,4)$垂直。編程完成：（1）推導(dǎo)平面$\alpha$的一般方程$Ax+By+Cz+D=0$；（2）計(jì)算點(diǎn)$Q(5,1,2)$到平面$\alpha$的距離；（3）判斷直線(xiàn)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{2}$與平面$\alpha$的位置關(guān)系（平行/垂直/相交）。提示：點(diǎn)到平面距離公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$三、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析（30分）3.1概率分布模擬（15分）某射手射擊命中率為0.7，連續(xù)射擊10次，編程實(shí)現(xiàn)：（1）使用二項(xiàng)分布模擬10000次射擊試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)命中次數(shù)的頻率分布；（2）繪制頻率直方圖與理論概率分布圖（同一坐標(biāo)系）；（3）計(jì)算命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，并與理論值比較。參考代碼：fromscipy.statsimportbinomimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltn,p=10,0.7simulations=10000#模擬試驗(yàn)np.random.seed(42)#設(shè)置隨機(jī)種子保證結(jié)果可復(fù)現(xiàn)results=np.random.binomial(n,p,simulations)#繪制頻率直方圖plt.figure(figsize=(10,6))counts,bins,_=plt.hist(results,bins=np.arange(0,11)-0.5,density=True,alpha=0.7,label='模擬頻率')#繪制理論分布x=np.arange(0,11)plt.plot(x,binom.pmf(x,n,p),'ro-',label='理論概率')#計(jì)算統(tǒng)計(jì)量sim_mean=np.mean(results)sim_var=np.var(results)theo_mean=n*ptheo_var=n*p*(1-p)3.2回歸分析（15分）某地區(qū)10年的人均收入與汽車(chē)銷(xiāo)量數(shù)據(jù)如下表：年份人均收入(萬(wàn)元)汽車(chē)銷(xiāo)量(千輛)20153.218.520163.521.220173.823.920184.226.520194.529.120204.932.320215.335.820225.739.220236.142.520246.545.8編程完成：（1）繪制散點(diǎn)圖，判斷銷(xiāo)量與收入的相關(guān)性；（2）建立線(xiàn)性回歸模型$y=ax+b$，求解系數(shù)$a$和$b$；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)人均收入為8萬(wàn)元時(shí)的汽車(chē)銷(xiāo)量，并繪制回歸直線(xiàn)。提示：使用最小二乘法，回歸系數(shù)計(jì)算公式：$$a=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{n\sumx^2-(\sumx)^2},\quadb=\bar{y}-a\bar{x}$$四、數(shù)列與數(shù)學(xué)建模（40分）4.1遞推數(shù)列的應(yīng)用（20分）某種細(xì)菌在理想環(huán)境下的繁殖規(guī)律為：初始數(shù)量為$N_0$，每天的增長(zhǎng)率$r$與當(dāng)前數(shù)量有關(guān)，滿(mǎn)足$r=0.2-0.0001N$（$N$為當(dāng)前數(shù)量，單位：萬(wàn)個(gè)）。編程模擬：（1）寫(xiě)出數(shù)量變化的遞推公式$N_{t+1}=f(N_t)$；（2）分別計(jì)算初始數(shù)量為100萬(wàn)、500萬(wàn)、1000萬(wàn)時(shí)，30天內(nèi)的數(shù)量變化；（3）繪制三種初始條件下的數(shù)量變化曲線(xiàn)，分析長(zhǎng)期趨勢(shì)。注意：當(dāng)增長(zhǎng)率$r\leq0$時(shí)，細(xì)菌數(shù)量將不再增加4.2優(yōu)化問(wèn)題（20分）某物流公司需要從倉(cāng)庫(kù)A向B、C、D三個(gè)門(mén)店配送貨物，各門(mén)店的需求量及運(yùn)輸成本如下表：門(mén)店需求量(噸)單位運(yùn)輸成本(元/噸)最大運(yùn)輸量(噸)B301240C451550D251030倉(cāng)庫(kù)A的最大發(fā)貨能力為100噸，編程求解：（1）建立總成本最低的線(xiàn)性規(guī)劃模型（列出目標(biāo)函數(shù)與約束條件）；（2）使用scipy.optimize.linprog求解最優(yōu)配送方案；（3）若D門(mén)店的單位成本上漲至14元/噸，最優(yōu)方案是否改變？參考代碼：fromscipy.optimizeimportlinprog#目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（成本）c=[12,15,10]#B,C,D的單位成本#約束條件A_ub=[[1,1,1]]#總運(yùn)輸量約束b_ub=[100]#最大發(fā)貨能力A_eq=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]#需求量約束b_eq=[30,45,25]bounds=[(0,40),(0,50),(0,30)]#各門(mén)店最大運(yùn)輸量#求解線(xiàn)性規(guī)劃result=linprog(c,A_ub=A_ub,b_ub=b_ub,A_eq=A_eq,b_eq=b_eq,bounds=bounds,method='highs')五、選做題（20分）5.1微分方程數(shù)值解已知微分方程$\frac{dy}{dx}=x^2-y$，初始條件$y(0)=1$，編程完成：（1）使用歐拉法在區(qū)間$[0,2]$上求解數(shù)值解（步長(zhǎng)0.01）；（2）繪制數(shù)值解與解析解$y=x^2-2x+3-e^{-x}$的對(duì)比圖像；（3）計(jì)算$x=2$處的數(shù)值解與解析解的絕對(duì)誤差。5.2分形幾何使用遞歸函數(shù)繪制科赫雪花曲線(xiàn)，編程實(shí)現(xiàn)：（1）定義函數(shù)koch_curve(length,depth)生成單邊曲線(xiàn)；（2）繪制深度為3的科赫雪花圖形；（3）計(jì)算該雪花圖形的面積與周長(zhǎng)（設(shè)初始邊長(zhǎng)為1）。提示：科赫曲線(xiàn)的生成規(guī)則：將線(xiàn)段三等分，中間段替換為等邊三角形的兩邊編程要求與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)代碼規(guī)范（20%）：變量命名規(guī)范，代碼縮進(jìn)一致，添加必要注釋算法實(shí)現(xiàn)（40%）：數(shù)學(xué)模型正確，算法邏輯清晰，結(jié)果準(zhǔn)確可視化效果（30%）：圖像標(biāo)注完整，圖表美觀(guān)易讀，能直觀(guān)展示數(shù)學(xué)規(guī)律創(chuàng)新拓展（10%）：在基礎(chǔ)要求上增加功能（如動(dòng)態(tài)演示、交互控件等）提交說(shuō)明：所有代碼需保存為.ipynb格式，包含運(yùn)行結(jié)果和圖像，文件命名格式"班級(jí)_學(xué)號(hào)_姓名.ipynb"，提交至課程管理平臺(tái)。附錄：Python數(shù)學(xué)庫(kù)常用函數(shù)參考NumPy：np.linspace(start,stop,num)：生成等間隔數(shù)組np.mean(arr)/np.var(arr)：計(jì)算均值/方差np.max(arr)/np.min(arr)：計(jì)算最大值/最小值SymPy：symbols('x')：定義符號(hào)變量diff(expr,var)：求導(dǎo)運(yùn)算integrate(expr,var)：積分運(yùn)算solve(eq,var)：解方程Matplotlib：plt.plot(x,y)：繪制折線(xiàn)圖plt.scatter(x,y)：繪制散點(diǎn)圖plt.